数学人教B版 (2019)第五章 数列5.2 等差数列5.2.1 等差数列学案

第2课时　等差数列习题课

关键能力·素养形成

类型一　由递推公式写数列的项

【典例】1.已知数列{an}的前n项和为Sn满足a1=,an+2Sn·Sn-1=0(n≥2,n∈N+),则数列{an}的通项公式an=________. 

2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+2n.

(1)求{an}的通项公式;

(2)判断{an}是否为等差数列.

【思维·引】1.已知数列前n项和Sn和数列的第n项an的关系式,用等差数列定义证出数列是等差数列.

2.利用n=1时,a1=S1,当n≥2,n∈N+时an=Sn-Sn-1求an,用等差数列的定义证明.

【解析】1.因为an+2Sn·Sn-1=0,

所以an=-2Sn·Sn-1.

当n=1时,a1=.

当n≥2,n∈N+时,an=Sn-Sn-1,

所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1①.

因为a1=,所以SnSn-1≠0,

①式的两边同除以SnSn-1得:

-=-2即:-=2,

所以数列是首项为2,公差为2的等差数列,

所以=2+2(n-1)=2n,即:Sn=,

则an=-2SnSn-1=-(n≥2).

因为a1=不满足an=-(n≥2),

所以数列的通项公式为an=

答案:

2.(1)因为Sn=3n2+2n,

所以当n≥2时Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1,

所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n)-(3n2-4n+1)=6n-1.

又a1=S1=5,满足an=6n-1,

所以数列{an}的通项公式是an=6n-1.

(2)由(1)知,an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6,

所以{an}是等差数列.

　【素养·探】

　在关于已知数列的前n项和Sn求an的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,根据Sn与an的关系,由Sn求an.将本例2的条件“Sn=3n2+2n”改为“Sn=3n2+2n-1”,如何解答?

【解析】(1)因为Sn=3n2+2n-1,

所以当n≥2时Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)-1=3n2-4n,

所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n-1)-(3n2-4n)=6n-1.

又a1=S1=4,不满足an=6n-1,

所以数列{an}的通项公式是an=

(2)由(1)知,当n≥2时,

an+1-an=[6(n+1) -1]-(6n-1)=6,

但a2-a1=11-4=7≠6,

所以{an}不满足等差数列的定义,{an}不是等差数列.

【类题·通】

1.由Sn求通项公式an的步骤

第一步:令n=1,则a1=S1,求得a1;

第二步:令n≥2,则an=Sn-Sn-1;

第三步:验证a1与an的关系:

(1)若a1适合an,则an=Sn-Sn-1.

(2)若a1不适合an,则an=

2.Sn与an的关系式的应用

Snan

(1)“和”变“项”.

首先根据题目条件,得到新式(与条件所给项的和相邻),然后作差将“和”转化为“项”之间的关系,最后求通项公式.

(2)“项”变“和”.

首先将an转化为Sn-Sn-1,得到Sn与Sn-1的关系式,然后求Sn.

提醒:关于数列的式子中,如果含有如an-1,Sn-1,必须注明n≥2.

【习练·破】

　设正项数列{an}的前n项和为Sn,并且对于任意n∈N+,an与1的等差中项等于,求数列{an}的通项公式.

【解析】由题意知,=,得Sn=,

所以a1=S1=1,又因为an+1=Sn+1-Sn=[(an+1+1)2-(an+1)2],所以(an+1-1)2-(an+1)2=0.

即(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因为an>0,

所以an+1-an=2,

所以{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n-1.

【加练·固】

　　　数列{an}的前n项和Sn=-n2+n-1,求数列{an}的通项公式.

【解析】n=1时,a1=S1=-+1-1=-,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1

　=-n2+n-1-=

-3n+,因为a1=-不适合an=-3n+,

所以an=

类型二　实际应用题

【典例】《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则a1=              (　　)

A.23   B.32   C.35   D.38

【思维·引】儿子的岁数成等差数列,问题是知道公差及前9项和,求首项.

【解析】选C.由题意可得儿子的岁数成等差数列,设公差为d,其中公差d=-3,S9=207,即S9=9a1+×(-3)=207,

解得a1=35.

【内化·悟】

　解答等差数列实际应用问题的关键是什么?

提示:关键是将实际问题转化为等差数列问题,从而确定出等差数列的首项、公【类题·通】

　应用等差数列解决实际问题的一般思路

【习练·破】

　植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10 m,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________ m. 

【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,故所有同学往返的总路程为S=9×20+×20+10×20+×20=2 000.

答案:2 000

类型三　数列求和问题

角度1　裂项求和与并项求和问题

【典例】1.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于 (　　)

A.0     B.100

C.-100    D.10 200

2.等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.

(1)求{an}的通项公式.

(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.

【思维·引】1.先求出通项公式an,然后两项一组,即可求解数列的前100项的和.

2.(1)根据题意列方程组求首项和公差,写出通项公式;

(2)对bn进行适当变形,选择裂项相消法进行数列求和.

【解析】1.选B.因为an=f(n)+f(n+1),

所以由已知条件知an=

即an=

所以an=(-1)n·(2n+1),所以an+an+1=2(n是奇数),

所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+

(a99+a100)=2+2+2+…+2=100.

2.(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.

因为所以

解得a1=1,d=.

所以{an}的通项公式为an=.

(2)bn===-,

所以Sn=++…+

=.

【素养·探】

　在裂项求和与并项求和有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过对数列通项结构特征的分析和适当变形,选择恰当的方法求和.

将本例1的条件改为“an=(-1)n(3n-2)”,试求a1+a2+…+a10.

【解析】a1+a2+…+a10

=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2)

=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+

(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.

角度2　求数列{|an|}的前n项的和

【典例】等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=-2an+25,求数列{|bn|}的前n项和.

【思维·引】(1)设等差数列的公差为d,由通项公式可得方程组,解方程组可得首项和公差,即可得到所求通项;

(2)求bn=-2an+25,分析{bn}中的项何时为正,何时为负,分情况求和.

【解析】(1)等差数列{an}的公差设为d,a2=4,a4+a7=15,可得解得则an=n+2.

(2)bn=-2an+25=21-2n,设{bn}的前n项和为Sn=n(19+21-2n)=20n-n2,

当n≤10时,数列{|bn|}的前n项和为20n-n2;

当n≥11时,数列{|bn|}的前n项和为S10-(Sn-S10)=2S10-Sn=200-20n+n2,

综上可得数列{|bn|}的前n项和为

Tn=

【类题·通】

1.裂项相消求和

(1)适用数列:形如(bn-an=d,d为常数)的数列可以用裂项求和.

(2)裂项形式:=.

(3)规律发现:一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形,如分离常数、有理化等;二是裂项后不是相邻项相消的,要写出前两组、后两组观察消去项、保留项.

(4)特殊裂项:

①==.

②=-.

③=.

④=1+.

2.关于并项法求数列的和

(1)适用形式:

①适用于形如an=(-1)nf(n)的摆动数列.

②项成周期变化的数列.

(2)求和方法:

①形如an=(-1)nf(n)的数列用并项法把相邻项的一正一负两项并作一项,从而使通项降次,得以转化为等差数列求解.

②针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求原数列的前n项和.

3.数列{|an|}的前n项和的三种类型的求解策略

(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.

(2)等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.

(3)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.

【习练·破】

　已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N+,满足a1+a2=10,S5=40.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=|13-an|,求数列{bn}的前n项和Tn.

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,

由题意知,a1+a2=2a1+d=10,

S5=5a3=40,即a3=8,所以a1+2d=8,

所以所以an=4+(n-1)·2=2n+2.

(2)令cn=13-an=11-2n,

bn=|cn|=|11-2n|=设数列{cn}的前n项和为Qn,则Qn=-n2+10n.

当n≤5时,Tn=b1+b2+…+bn=Qn=-n2+10n.

当n≥6时,Tn=b1+b2+…+bn=c1+c2+…+c5-(c6+c7+…+cn)=-Qn+2Q5=n2-10n+2(-52+10×5)=n2-10n+50.

【加练·固】

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=15,a5+a9=30.

(1)求an及Sn.

(2)若数列{bn}满足bn(Sn-n)=2(n∈N+),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<2.

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意可得

　即解得

则an=3+2(n-1)=2n+1,

所以Sn=3n+=n2+2n.

(2)由题意可得bn===2,

所以Tn=b1+b2+…+bn=2

=2<2.

2.等差数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn.

【解析】a1=S1=101,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+n--(n-1)2+(n-1)=-3n+104,a1=S1=101也适合上式,所以an=-3n+104,令an=0,n≈34.7,故n≥35时,an<0,n≤34时,an>0,

所以对数列{|an|},n≤34时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-n2+n,

当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=a1+a2+…+a34-a35-…-an=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=n2-n+3 502,

所以Tn=

课堂检测·素养达标

1.求值:1-3+5-7+9-11+…+2 017-2 019= (　　)

A.-2 020   B.-1 010   C.-505   D.1 010

【解析】选B.1-3+5-7+9-11+…+2 017-2 019

=(1+5+9+…+2 017)-(3+7+11+…+2 019)

=(1+2 017)-=-1 010.

2.+++…+= (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选B.原式=++…+==.

3.某第三方支付平台的会员每天登录该平台都能得到积分,第一天得1积分,以后只要连续登录每天所得积分都比前一天多1分.某会员连续登录两周,则他两周共得________积分. 

【解析】依题意可得该会员这两周每天所得积分依次成等差数列,故他这两周共得=105积分.

答案:105

4.在等差数列{an}中,a1>0,a10·a11<0,若此数列前10项和S10=36,前18项和S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18=________. 

【解析】由a1>0,a10·a11<0知d<0,且a10>0,a11<0,

所以T18=a1+a2+…+a10-a11-a12-…-a18

=2S10-S18=60.

答案:60

【新情境·新思维】

　在如图所示的数表中,已知每行、每列中的数都构成等差数列,设表中第n行第n列的数为an,求数列的前100项和S100.

【解析】由题意可知,第1列的数是首项为2,公差为2的等差数列,所以第1列第n行的数为2+2(n-1)=2n,

第n行是首项为2n,公差为n的等差数列,

所以第n行第n列的数为an=2n+n(n-1)=n2+n,

所以==-,

所以数列的前100项和S100=1-+-+…+-=1-=.