高中数学6.1.2 导数及其几何意义课后练习题

【基础】6.1.2 导数及其几何意义-1随堂练习

一．填空题

1．已知函数的图像在点处的切线过点（2，11），则____．

2．已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围为______

3．已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为______.

4．已知函数，若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是_____.

5．函数在处的切线方程是____________.

6．已知函数，若函数在处的切线方程为，则的值为______．

7．曲线在点处的切线的倾斜角为_____．

8．若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是_______.

9．曲线在点处的切线方程为________.

10．曲线在点处的切线方程为___________

11．已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.

12．已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为____________.

13．若倾斜角为的直线l与曲线相切于点，则__________.

14．已知函数，若函数的图像在点处的切线方程为，则______.

15．函数(其中e为自然对数的底数)的图象在点处的切线方程为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】分析：求出函数的导数，，而,根据点斜式得到直线方程，利用切线的方程经过的点求解即可．

详解：函数的导数为：，，而，

切线方程为：，因为切线方程经过（2，11），

所以

解得．

故答案为：2.

【点睛】

这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.

2．【答案】

【解析】函数有三个零点，可转化为与直线有三个交点，对 分类讨论，当时不满足条件，当时求出过原点与函数在上的切线，数形结合即可求解.

详解：如图，函数恰有三个零点，等价于方程，有三个解，

即函数与函数的图象有三个交点，又有为过原点的直线

由图可知，当时，函数的图象与函数的图象没有有三个交点，不满足条件.

当时, 当且仅当为的切线的时候，方程恰有两个解，

故而，令为的切线，设切点为，

则切线的方程为，

由于切线过原点，所以，即，此时直线的斜率为，

由题意知，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义，函数切线的求法，函数的零点个数的判定，数形结合的思想，属于中档题.

3．【答案】1

【解析】分析：根据题意，对函数求导，利用函数在某点处导数为切线的斜率，计算即可求解.

详解：由题意，

所以，得.

故答案为：1

【点睛】

本题考查导数的几何意义是切线斜率，属于基础题.

4．【答案】

【解析】分析：根据题意，，画出的图象，将方程有三个不同的实数解转化为与有三个交点，利用导数法和平移法得出与的图象有2个交点时的值，即可得出方程有三个不同的实数解，实数的取值范围.

详解：解：由题可知，，

作出的图象如下：

由于方程有三个不同的实数解，

则与有三个交点，

由于与直线平行，则需将直线向上或向下平移，

当与且的图象相切时，与的图象有2个交点，

而，

所以当时，解得：或0，

且，，

则当过切点时，，此时，

当过切点时，，此时，

要使得与有三个交点，

只需将向下平移或将向上平移即可，此时或，

所以方程有三个不同的实数解，则或，

即实数的取值范围是：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查方程的零点个数问题，将方程零点个数转化为函数的交点个数问题，考查数形结合思想和运算能力.

5．【答案】

【解析】分析：求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.

详解：，则，，.

因此，函数在处的切线方程是，

即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.

6．【答案】4

【解析】分析：由切线方程可知，，由此构造方程求得，进而得到结果.

详解：，，解得：；

由切线方程可知，，解得：；

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据曲线在某一点处的切线方程求解参数值的问题，关键是明确切线方程能够提供给我们函数值和导数值两个条件.

7．【答案】

【解析】分析：求得的导数，将代入，可得切线的斜率，再由直线的斜率公式，计算可得所求倾斜角．

详解：函数的导数为，

可得曲线在点处的切线的斜率为，

则切线的倾斜角满足，，解得.

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题．

8．【答案】

【解析】设，，求出的导数，判断直线恒过定点，设直线与曲线相切于，由切线的斜率和切点在直线上和曲线上列方程组，解方程可得，再由题意可得当时，求得，通过图象观察，即可得到的范围.

详解：设，，

由题意可得的图象在直线的下方，

，恒过定点，

设直线与曲线相切于点，则

，消去可得：

解得：或（舍去），

则切线的斜率为，解得，

又由题设原不等式无整数解，

由图象可知当时，，，

由，可得，

由直线绕着点旋转，

可得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查不等式解法问题，注意运用数形结合的方法，结合导数的运用：求切线的斜率，以及直线恒过定点，考查运算能力和观察能力，难度较大.

9．【答案】

【解析】求导，求出切线的斜率 ，用直线方程的点斜式，即可求解.

详解：,

所以切线方程为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查切线的几何意义，属于基础题.

10．【答案】

【解析】求导，将代入导函数，可求出切线的斜率，进而利用点斜式，可求出切线方程.

详解：点在曲线上，

求导得，当时，，

则切线斜率为1，所以切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

11．【答案】2

【解析】分析：求出导函数，利用可求得．

详解：由已知，∵曲线在处的切线与直线平行，∴，．

故答案为：2.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，掌握导数几何意义是解题基础．

12．【答案】2

【解析】根据曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，令导数，解得的值，即为得出结果．

详解：解：由于，则，

由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，

曲线的一条切线斜率是3，

令导数，可得，

所以切点的横坐标为2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查导数的几何意义和曲线上某点处的切线斜率的意义，属于基础题．

13．【答案】

【解析】分析：根据题意，利用导数几何意义，直线l的斜率等于曲线在点处的导数，计算即可求解.

详解：根据题意，曲线，其导数，

∴，，

则 ,

解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.

14．【答案】

【解析】由题求导代值表示，，由函数的图象在点处的切线方程为，且由导数的几何意义可解得答案.

详解：由已知可得切点，则，，由

，由

，则，

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数导数的几何意义，属于简单题.

15．【答案】

【解析】因为，所以，

所以切线方程为：，即，

故答案为：.