第六章-6.1 导数-6.1.2 导数及其几何意义（课件PPT）

第六章6.1导数 6.1.2 导数及其几何意义学习目标1.了解瞬时速度的概念，了解导数的实际背景，理解导数的概念，体会导数的思想及其内涵.2.会应用定义求简单函数的导数.3.掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程.4.掌握导数几何意义的简单应用.核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算新知学习在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题.问题探究    为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.    事实上，由 可以发现，    总结归纳：瞬时变化率与导数 注意事项（1）平均变化率反映的是函数在某一区间的性质，而瞬时变化率反映的是函数在某一个点的性质.（2）平均变化率随Δx的变化而变化，瞬时变化率是一个常量，它不随Δx的变化而变化.归纳提升  即时巩固 即时巩固尝试与发现已知函数f（x）＝x2+x，设自变量在x＝0处的改变量为Δx.（1）依照定义求出f ′（0）；（2）设M（0+Δx，f（0+Δx））为函数图像上一点，探讨Δx无限接近于0时，直线OM具有什么样的性质.   总结归纳1.如图所示，设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点，则称直线PP0为曲线S的割线，如果P无限接近于P0时，割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l，则称直线l为曲线S在点P0处的切线. 思考以前初中学过的曲线在某点处切线的定义是什么？与此处切线的定义有什么不同？提示：初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一的公共点时，称直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，直线叫做圆的切线.但因为圆是一种特殊的曲线，所以圆的切线定义不适用于一般的曲线.如图中的曲线C，直线l1与曲线C有唯一的公共点M，但l1不是曲线C的切线；l2虽然与曲线C有不止一个公共点，但l2是曲线C在点N处的切线.导数的几何意义f ′（x0）就是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处（也称在x＝x0处）的切线的斜率，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是 y-f（x0）＝f ′（x0）（x-x0）.    即时巩固以“以直代曲”从几何上理解瞬时变化率如果函数y＝f（x）在x0处的导数为f ′（x0），且在x0处自变量的改变量为Δx，对应的函数值改变量为Δy＝f（x0+Δx）-f（x0），则f（x0+Δx）＝f（x0）+Δy.如图所示，此时曲线y＝f（x）在x0处的切线l的斜率为f ′（x0），因此AC＝Δx，CD＝f ′（x0）Δx.又因为BC＝Δy，可以看出，当Δx很小时，Δy可用 f ′（x0）Δx来近似表示，即Δy≈f ′（x0）Δx，因此f（x0+Δx）≈f（x0）+f ′（x0）Δx.这就说明，在x＝x0的附近，自变量的改变量Δx很小时，因变量改变量的近似值为 f ′（x0）Δx，这与前面所说的瞬时变化率的实际意义是相同的.此时，也就能用f（x0），f ′（x0）和Δx的值来得到f（x0+Δx）的近似值，而且Δx越小，近似效果越好.这种求近似值的方法，本质上是用x＝x0处的切线代替了x＝x0附近的曲线y＝f（x），因此也是使用了“以直代曲”的方法.典例剖析   例2　如图，函数y＝f（x）的图像在点P处的切线方程是y＝-2x+9，点P的横坐标是4， 则f（4）+f ′（4）＝　　　　.解析 ∵ 函数f（x）的图像在点P处的切线为y＝-2x+9，∴ k切＝-2＝f ′（4）.又∵ f（4）＝1，∴ f（4）+f ′（4）＝-1.答案 -1       类题通法求曲线y＝f（x）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程的方法1.若曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率存在，则斜率k＝f ′（x0），切线方程为y-y0＝f ′（x0）·（x-x0）.2.若曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线斜率不存在，则切线方程为x＝x0，此时f ′（x0）也不存在.例6　已知函数f（x）＝ax2+1（a>0），g（x）＝x3+bx.若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值. 随堂小测      AC-2BABCD  课堂小结知识清单：瞬时变化率；导数的定义；导数的几何意义；求切线方程.方法归纳：求曲线在某一点处的切线方程的方法.常见误区：求曲线在某一点处的切线方程要注意，切线斜率是否存在要进行讨论.谢 谢！