高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.2 导数及其几何意义导学案及答案

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将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．你能计算出第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义吗？
[提示] 略
知识点1 瞬时变化率与导数
(1)瞬时变化率
一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．简记为：当Δx→0时，eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)→k或eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝k．
(2)导数
①f(x)在x0处的导数记作f′(x0)；
②f′(x0)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)．
拓展：导数定义的理解
(1)函数应在x0处的附近有定义，否则导数不存在．
(2)在极限式中，Δx趋近于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但不能为0．当Δx>0(或Δx<0)时，Δx→0表示x0＋Δx从右边(或从左边)趋近于x0．
(3)函数在一点处的导数就是在该点附近的因变量的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量．
1．质点M的运动规律为s＝4t2，则质点M在t＝1时的瞬时速度为________．
8 [Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝4(1＋Δt)2－4＝4(Δt)2＋8(Δt)，
∴eq \f(Δs,Δt)＝4(Δt)＋8．
∴eq \(lim,\s\d8(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝8．]
知识点2 导数的几何意义
(1)割线的斜率
已知y＝f(x)图像上两点A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．
(2)导数的几何意义
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
(3)曲线的切线方程
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝________．
2 [由导数的几何意义可知f′(1)＝2．]
类型1 求函数在某点处的导数
【例1】 (1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；
(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
[思路点拨] 求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．
[解] (1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(3Δx－Δx2,Δx)＝3－Δx，
∴f′(－1)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) (3－Δx)＝3．
(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，
∴eq \f(Δy,Δx)＝6＋3Δx，∴f′(1)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) (6＋3Δx)＝6．
1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数k这一现象．
2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率eq \f(Δy,Δx)；
(3)求极限，得导数为f′(x0)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)．
简记为：一差、二比、三趋近．
[跟进训练]
1．求函数f(x)＝x－eq \f(1,x)在x＝1处的导数．
[解] ∵Δy＝(1＋Δx)－eq \f(1,1＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,1)))
＝Δx＋1－eq \f(1,1＋Δx)＝Δx＋eq \f(Δx,1＋Δx)，
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq \f(1,1＋Δx)，
∴f′(1)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2．
类型2 导数几何意义的应用
【例2】 (1)已知y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
(2)若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1
(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图像可知f′(xA)＜f′(xB)．
(2)由题意，知k＝f′(0)
＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b,Δx)＝1，
∴a＝1．
又(0，b)在切线上，
∴b＝1，故选A．]
1．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．
2．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
[跟进训练]
2．设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B．eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．－1
A [由题意可知，f′(1)＝2．
又eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(a1＋Δx2－a,Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) (aΔx＋2a)＝2a．故由2a＝2得a＝1．]
3．如图所示，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＝______，f′(5)＝________．
3 －1 [由图像知f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)等于在该点P处切线的斜率，故f′(5)＝－1．]
类型3 求曲线的切线方程
1．如何求曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
[提示] y－y0＝k(x－x0)．即根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率k，再由直线方程的点斜式求出切线方程．
2．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？
[提示] 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
[提示] 不一定．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示．
【例3】 (对接教材P70例4)已知曲线C：f(x)＝x3．
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．
[思路点拨] (1)eq \x(求f′1)→eq \x(求切点)→eq \x(点斜式方程求切线)
(2)eq \x(设切点x0，y0)→eq \x(求f′x0)→eq \x(\a\al(由f′x0＝\f(y0－1,x0－1),求x0，y0))→eq \x(写切线方程)
[解] (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1)．
f′(1)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(1＋Δx3－1,Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0))[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3．
∴k＝f′(1)＝3．
∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．
(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)，由题意可知kPQ＝f′(x0)，
即eq \f(y0－1,x0－1)＝3xeq \\al(2,0)，又f (x0)＝xeq \\al(3,0)，所以eq \f(x\\al(3,0)－1,x0－1)＝3xeq \\al(2,0)，即2xeq \\al(2,0)－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－eq \f(1,2)．
①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0．
②当x0＝－eq \f(1,2)时，切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))，相应的切线方程为y＋eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，即3x－4y＋1＝0．
1．(变结论)本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[解] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝3x－2，,y＝x3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－8，))
从而求得公共点为P(1，1)或M(－2，－8)，
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．
2．(变条件)求曲线f(x)＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程．
[解] 设切点为Q(a，a2＋1)，eq \f(fa＋Δx－fa,Δx)＝eq \f(a＋Δx2＋1－a2＋1,Δx)＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a．因此，eq \f(a2＋1－0,a－1)＝2a，解得a＝1±eq \r(2)，所求的切线方程为y＝(2＋2eq \r(2))x－(2＋2eq \r(2))或y＝(2－2eq \r(2))x－(2－2eq \r(2))．
利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
[跟进训练]
4．已知直线l：y＝4x＋a和曲线f(x)＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．
[解] 设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx3－2x0＋Δx2＋3－x\\al(3,0)－2x\\al(2,0)＋3,Δx)＝3xeq \\al(2,0)－4x0．
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－4x0＝4，
解得x0＝－eq \f(2,3)或x0＝2，
∴切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(49,27)))或(2，3)．
当切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(49,27)))时，
有eq \f(49,27)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＋a，
∴a＝eq \f(121,27)．
当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5．
因此切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(49,27)))时，a＝eq \f(121,27)，
切点坐标为(2，3)时，a＝－5．
1．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)等于( )
A．1 B．－1 C．－3 D．3
D [由题意知f′(2)＝3．]
2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )
A．7 m/sB．6 m/s
C．5 m/sD．8 m/s
C [∵eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(1－3＋Δt＋3＋Δt2－1－3＋32,Δt)＝5＋Δt，
∴eq \(lim,\s\d8(Δt→0))eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d8(Δt→0)) (5＋Δt)＝5(m/s)．]
3．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是( )
A．圆B．抛物线
C．椭圆D．直线
D [结合导数的几何意义可知，该函数的图像是平行或重合于x轴的直线，故选D．]
4．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为__________．
45° [设切线的倾斜角为α，则
tan α＝f′(x0)＝1，
又α∈[0°，180°)，
∴α＝45°．]
5．曲线f(x)＝eq \f(2,x)在点(－2，－1)处的切线方程为________．
x＋2y＋4＝0 [f′(－2)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(f－2＋Δx－f－2,Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(\f(2,－2＋Δx)＋1,Δx)＝eq \(lim,\s\d8(Δx→0)) eq \f(1,－2＋Δx)＝－eq \f(1,2)，
∴切线方程为y＋1＝－eq \f(1,2)(x＋2)，即x＋2y＋4＝0．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．瞬时速度与平均速度有何区别与联系？
[提示] 区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态．
联系：瞬时速度是平均速度的极限值．
2．将这一节中切线的定义同解析几何中圆锥曲线的切线定义进行比较，说出两者的区别与联系．
[提示] 以前学过的切线的定义是“与封闭曲线只有一个交点的直线叫作曲线的切线”，这种定义适用于圆和椭圆，但是对抛物线和双曲线并不适用，也就是说这种定义不适用于一般的曲线．而本节中切线的定义是“曲线与割线的一个交点趋于另一个固定交点时的极限位置”，是从极限的角度定义的．这种定义通过逼近的方法，真正反映了切线的本质．如图中的曲线C，直线l1与曲线C有唯一的公共点M，但l1不是曲线C的切线；直线l2虽然与曲线C有不止一个公共点，但l2是曲线C在点N处的切线．
3．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系是怎样的？
[提示] 曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：
提醒：导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢．
高中数学“导数的由来”
导数是高中数学的重要内容，也是高考考查的重点，它给我们解决复杂函数问题带来了很多的方便．导数是微积分中的重要基础概念．当函数y＝f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数， 记作f′(x0)．
导数是函数的局部性质．一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率．如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率．导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近．例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度．
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数．若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导．然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导．
对于可导的函数f(x)，f′(x)也是一个函数，称作f的导函数．寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导．实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则．反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分．微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的．求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念．
大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》．在作切线时，他构造了差分f(A＋E)－f(A)，发现的因子E就是我们所说的导数f′(A)．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解瞬时变化率、导数的概念．(重点、难点)
2．理解导数的几何意义．(重点、难点)
3．会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程．(易混点)
1．借助瞬时变化率的学习，培养数学抽象的素养．
2．通过导数的几何意义，提升直观想象、数学运算的素养．
曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况
切线的斜率k
切线的倾斜角
f′(x0)>0
上升
k>0
锐角
f′(x0)<0
下降
k<0
钝角
f′(x0)＝0
平坦
k＝0
零角(切线与x轴平行或重合)