高中数学第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布当堂检测题

这是一份高中数学第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布当堂检测题，共7页。


1．(多选题)把一个正态曲线M沿着横轴方向向右平移2个单位长度，得到一个新曲线N，则下列说法正确的是( )
A．曲线N仍是正态曲线
B．曲线M和曲线N的最高点的纵坐标相等
C．以曲线N为概率密度曲线的总体的期望，比以曲线M为概率密度曲线的总体期望大2
D．以曲线N为概率密度曲线的总体的方差，比以曲线M为概率密度曲线的总体方差大2
2．某厂生产的零件外径ξ～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9cm，9.3cm，则可认为( )
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常
B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上午、下午生产情况均正常
D．上午、下午生产情况均异常
3．设两个正态分布N(μ1，σ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )(σ1>0)和N(μ2，σ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2
4．若随机变量X的密度函数为f(x)＝eq \f(1,\r(2π))·e－eq \f(x2,2)，X在区间(－2，－1)和(1，2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为( )
A．p1>p2B．p1C．p1＝p2D．不确定
5．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，则P(2≤ξ<4)等于( )
A．0.3B．0.35
C．0.5D．0.7
6．某商场经营的某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布N(10，σ2)，根据检测结果可知P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为( )
A．10B．20
C．30D．40
7．已知随机变量落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．
8．若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9545，设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.15865，则σ＝________．
9．在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，现在已知该班同学中成绩在(80，85]的有17人，试估计该班成绩在90分以上的同学有多少人．
10．生产工艺过程中产品的尺寸偏差X(mm)～N(0，22)，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率．(精确到0.001)
[提能力]
11．已知检测某元件的测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，且ξ在(0，1)内取值的概率为0.4.任取这样的元件100个，测量结果在(0，2)内的元件个数的期望值为( )
A．40B．50
C．80D．90
12．设随机变量η服从正态分布N(1，σ2)，若P(η≤－1)＝0.2，则函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋x2＋η2x没有极值点的概率是( )
A．0.2B．0.3
C．0.7D．0.8
13．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．
eq \x(元件1)eq \x(元件3)eq \x(元件2)
14．随机变量X服从正态分布X～N(10，σ2)，P(X>12)＝m，P(8≤X≤10)＝n，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为________．
15．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数eq \(x,\s\up6(－))和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq \(x,\s\up6(－))，σ2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8附：eq \r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ[战疑难]
16．某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩(单位：分)X服从正态分布N(110，102)，记X∈(90，110]为事件A，X∈(80，100]为事件B，则P(B|A)＝________．(结果用分数表示)
附：P(μ－σ课时作业(十三)
1．解析：由正态曲线的性质，以及题设条件可知，两个曲线都是正态曲线，形态一样，说明方差相等，所以D错误，A正确，而位置是水平向右的平移，所以B正确，C正确．故选ABC.
答案：ABC
2．解析：因测量值ξ为随机变量，又ξ～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，记I＝(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.4，10.6)，9.9∈I，9.3∉I.∴上午生产情况正常，下午生产情况异常．故选A.
答案：A
3．解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2.故选A.
答案：A
4．解析：由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.故选C.
答案：C
5．解析：根据正态曲线的对称性及P(ξ<2)＝P(ξ>6)，得μ＝ eq \f(2＋6,2)＝4，则P(2≤ξ<4)＝ eq \f(1,2)P(2≤ξ<6)＝ eq \f(1,2)×(1－0.15×2)＝0.35.故选B.
答案：B
6．解析：∵大米质量ξ服从正态分布N(10，σ2)，∴正态曲线关于直线ξ＝10对称，∵P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，∴P(ξ<9.9)＝ eq \f(1－0.96,2)＝0.02，∴分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为0.02×1 000＝20.故选B.
答案：B
7．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称和随机变量落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.∴正态曲线f(x)在x＝0.2时，达到最高点．
答案：0.2
8．解析：∵P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7，∴P(ξ≥μ＋σ)＝ eq \f(1,2)×(1－0.682 7)＝0.158 65，∵ξ～N(1，σ2)，∴P(ξ≥1＋σ)＝0.158 65，∴1＋σ＝3，即σ＝2.
答案：2
9．解析：∵成绩服从正态分布N(80，52)，
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成绩在(75，85]内的同学约占全班同学的68.27%.则成绩在(80，85]内的同学占全班同学的34.135%.
设该班有x名同学，则x×34.135%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在(70，90]内的同学约占全班同学的95.45%.则成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%.
即有50×2.275%≈1(人)，即估计该班成绩在90分以上的同学有1人．
10．解析：由题意X～N(0，22)，
求得P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝0.954 5.
设Y表示5件产品中合格品个数，
则Y～B(5，0.954 5)，
所以P(Y≥5×0.8)＝P(Y≥4)＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) ·(0.954 5)4×0.045 5＋C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ·(0.954 5)5
≈0.188 8＋0.792 3≈0.981.
故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率约为0.981.
11．解析：∵ξ服从正态分布N(1，σ2)，且ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，由正态曲线的对称性可知ξ在(1，2)内取值的概率也为0.4，∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.4＋0.4＝0.8，任取这样的元件100个，测量结果在(0，2)内的期望值为100×0.8＝80.故选C.
答案：C
12．解析：∵函数f(x)＝ eq \f(1,3)x3＋x2＋η2x没有极值点，∴f′(x)＝x2＋2x＋η2＝0无解或有两个相等的实数根，∴Δ＝4－4η2≤0，解得η≤－1或η≥1.∵随机变量η服从正态分布N(1，σ2)，P(η≤－1)＝0.2，∴P(η≤－1或η≥1)＝0.2＋0.5＝0.7，故选C.
答案：C
13．解析：由三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000，502)得，三个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率为p＝ eq \f(1,2).使用寿命超过1 000小时的元件1或元件2正常工作的概率为p1＝1－(1－p)2＝ eq \f(3,4).那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为p2＝p1×p＝ eq \f(3,4)× eq \f(1,2)＝ eq \f(3,8).
答案： eq \f(3,8)
14．解析：依题意，知μ＝10，根据正态曲线的对称性及X在区间(－∞，＋∞)上的概率为1，知2P(X>12)＋2P(8≤X≤10)＝2m＋2n＝1，又m>0，n>0，所以 eq \f(1,m)＋ eq \f(2,n)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(2m＋2n)＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(n,m)＋\f(2m,n)))≥6＋4 eq \r(\f(n,m)·\f(2m,n))＝6＋4 eq \r(2)，当且仅当 eq \f(n,m)＝ eq \f(2m,n)，即n＝ eq \r(2)m时，等号成立．
答案：6＋4 eq \r(2)
15．解析：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 eq \(x,\s\up9(－))和样本方差s2分别为
eq \(x,\s\up9(－))＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)由(1)知，Z～N(200，150)，
所以P(187.8＝P(200－12.216．解析：由题意，P(A)≈0.475，P(B)≈ eq \f(1,2)(0.99－0.68)＝0.155，P(AB)≈ eq \f(1,2)(0.95－0.68)＝0.135，∴P(B|A)＝ eq \f(0.135,0.475)＝ eq \f(27,95).
答案： eq \f(27,95)