高中人教版新课标A3.2.1几类不同增长的函数模型导学案及答案

3．2　函数模型及其应用

3．2.1　几类不同增长的函数模型

授课提示：对应学生用书第62页

[基础认识]

知识点　几类不同增长的函数模型

　在教材第三章的章首图中，我们看到一大群喝水、嬉戏的兔子，但正是这群兔子曾使澳大利亚人伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带到澳大利亚几只兔子，由于澳大利亚牧草茂盛，而且没有兔子的天敌，于是兔子数目急速增加，不到100年，数量达到75亿只，这75亿只兔子吃掉了相当于7.5亿只羊所吃的牧草，草原的载畜量大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲畜，这使澳大利亚人头痛不已．直到20世纪50年代，科学家采用粘液瘤病毒杀死了90%的野兔，才使澳大利亚人松了一口　气．从数学上来看，这个问题可以用函数模型来体现野兔的增长情况．

(1)对函数y1＝100x，y2＝log100x，y3＝x100，y4＝100x，当x越来越大时，增长速度最快的应该是哪一个函数？

提示：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y4＝100x增长速度最快．

(2)若x∈(0,1)，则2x，x，lg x的大小关系是什么？

提示：在同一坐标系内画出函数y＝2x，y＝x和y＝lg x的图象即可得出结论，即2x＞x＞lg x.

　知识梳理　指数函数、对数函数和幂函数的增长差异

一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．

随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．

因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有logax<xn<ax(a>1，n>0)．

[自我检测]

1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是__________．

答案：y＝2x(x∈N*)

2．如图所示的曲线反映的是__________函数模型的增长趋势．

答案：幂函数或对数型

授课提示：对应学生用书第63页

探究一　函数模型的增长差异

[例1]　(1)下列函数中随x增大而增长速度最快的是(　　)

A．y＝2 019ln x　　　　　 B．y＝x2 019

C．y＝  D．y＝2 019·2x

(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：

则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(　　)

A．y1，y2，y3  B．y2，y1，y3

C．y3，y2，y1  D．y1，y3，y2

[解析]　(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝2 019·2x增长速度最快．

(2)通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.

[答案]　(1)D　(2)C

方法技巧　1.指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．

2．对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．

3．幂函数模型y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．

跟踪探究　1.函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；

(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 019)，g(2 019)的大小．

解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.

(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2 019>x2.

从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，

所以f(6)<g(6)．

当x>x2时，f(x)>g(x)，

所以f(2 019)>g(2 019)．

又g(2 019)>g(6)，

所以f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6)．

探究二　方案的择优问题

[例2]　某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．

方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；

方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．

(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；

(2)若工厂每月生产6 000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？

[解析]　设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知

y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000.

y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.

(1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000，

∵y1<y2，∴应选择方案二处理污水．

(2)当x＝6 000时，

y1＝114 000，y2＝108 000，

∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水．

方法技巧　不同函数模型的选取标准

不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：

(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；

(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；

(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；

(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．

因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．

跟踪探究　2.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(　　)

A．y＝0.2x  B．y＝(x2＋2x)

C．y＝  D．y＝0.2＋log16x

解析：将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．

答案：C

授课提示：对应学生用书第64页

[课后小结]

1．常见的函数模型及增长特点．

(1)直线y＝kx＋b(k＞0)模型，其增长特点是直线上升；

(2)对数函数y＝logax(a＞1)模型，其增长缓慢；

(3)指数函数y＝ax(a＞1)模型，其增长迅速．

2．函数模型选取的择优意识

解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．

[素养培优]

　图形信息题的求解误区

如图的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有(　　)

A．1个　　　　　　　　 B．2个

C．3个  D．4个

易错分析：不能准确的从图形中提取信息，不会把水的高度的变化速度与图象的变化趋势结合起来，是本题的求解误区．

自我纠正：图1不对，因为正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的．

图2正确．因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加得快，上面增加得慢，即图象应越来越缓．

图3正确．球是对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加得越来越慢；上半球恰好相反，所以水的高度增加得越来越快，即图象先平缓再变陡．

图4正确．图中几何体两头宽，中间窄，所以水的高度增加，先快后慢，即图象先变陡再平缓．

答案：C