人教版新课标A必修1第三章 函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例导学案

3．2.2　函数模型的应用举例

授课提示：对应学生用书第64页

[基础认识]

知识点　函数模型的应用

　(1)某商场销售一批优质衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件．于是商场经理决定每件衬衫降价15元．那么经理的决定正确吗？

提示：正确．

(2)我们已学过的函数有哪些？

提示：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数．　　　

　知识梳理　几种常用的函数模型：

一次函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；

反比例函数模型：y＝＋b，(k，b为常数，k≠0)；

二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；

指数型函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b>0且b≠1，a≠0)；

对数型函数模型：y＝alogbx＋c(a，b，c为常数，b>0且b≠1，a≠0)；

幂函数模型：y＝a·xα＋c(a，α，c为常数，a≠0)．

[自我检测]

　某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(　　)

A．300只　　　　　　　 B．400只

C．600只  D．700只

解析：将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.

答案：A

授课提示：对应学生用书第65页

探究一　二次函数模型

[例1]　在经济学中，函数f(x)的边际函数定义为M(x)＝f(x＋1)－f(x)，利润函数P(x)的边际利润函数定义为M1(x)＝P(x＋1)－P(x)，某公司最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．

(1)求利润函数P(x)及边际利润函数M1(x)．

(2)利润函数P(x)与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值？

(3)你认为本题中边际利润函数M1(x)取最大值的实际意义是什么？

[解析]　(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)＝－20x2＋2 500x－4 000(1≤x≤100，x∈N)．

M1(x)＝P(x＋1)－P(x)＝2 480－40x，(1≤x≤100，x∈N)

(2)∵P(x)＝－202＋74 125

∴当x＝62或63时，P(x)min＝74 120

又∵M1(x)是减函数，∴当x＝1时M1(x)max＝2 440

故P(x)与M1(x)不具有相等的最大值．

(3)边际利润函数M1(x)当x＝1时取最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即第2台报警系统利润最大，M1(x)是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比较，利润在减少．

方法技巧　利用二次函数模型解决问题的方法：

在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．

跟踪探究　1.某工厂生产一种机器的固定成本为5 000元，且每生产100部，需要增加投入2 500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为H(x)＝500x－x2，其中x是产品销售出的数量(0≤x≤500)．

(1)若x为年产量，y表示利润，求y＝f(x)的解析式；

(2)当年产量为何值时，工厂的年利润最大？其最大值是多少？

(3)当年产量为何值时，工厂有盈利？(已知＝4.65)

解析：(1)当0≤x≤500时，产品全部售出，

∴f(x)＝500x－x2－(5 000＋25x)，

即f(x)＝－x2＋475x－5 000，

当x>500时，产品只能售出500台，

∴f(x)＝500×500－×5002－(5 000＋25x)，

即，f(x)＝－25x＋120 000.

(2)当0≤x≤500时，f(x)＝－(x－475)2＋107 812.5，

当x>500时，f(x)＝120 000－25x<120 000－25×500＝107 500.

故当年产量为475台时取得最大利润，且最大利润为107 812.5元，最佳生产计划475台．

(3)若工厂有利润，则应用f(x)>5 000，

∴475x－x2>5 000，

整理得x2－950x＋10 000<0，解得10<x<940，

∵市场需求量为每年500部，

∴10<x≤500，故当年产量超过10部后，工厂有盈利．

探究二　分段函数模型的应用

[例2]　国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．

(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；

(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

[解析]　(1)设旅行团人数为x，飞机票价格为y元，

则y＝

即y＝

(2)设旅行社获利S元，

则S＝

即S＝

因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上，

当x＝30时，S取最大值12 000.

又S＝－10(x－60)2＋21 000在区间(30,75]上，当x＝60时，S取最大值21 000.

故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．

方法技巧　1.分段函数模型的应用

分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间．对每一个区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．需注意分段函数的最值是各区间上所得最值的最大者或最小者．

2．应用分段函数时的三个注意点

(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．

(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．

(3)分段函数的值域求法为：先求各段函数值的范围，再求各段函数值范围的并集.

跟踪探究　2.某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．

(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；

(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？

解析：(1)依题意得y＝

(2)设第二次服药在第一次服药后t1小时，

则－t1＋＝4，

解得t1＝4，

因而第二次服药应在11：00.

设第三次服药在第一次服药后t2小时，

则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，

即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，

解得t2＝9小时，

故第三次服药应在16：00.

设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3＞10)，

则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4，

解得t3＝13.5小时，

故第四次服药应在20：30.

探究三　指数、对数型函数模型

[例3]　声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．

(1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．

(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，能听到的最低声强为多少？

(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，这两位同学是否会影响其他同学休息？

[解析]　(1)当I＝10－6W/m2时，代入得Y＝10lg ＝10lg 106＝60，即声强级为60分贝．

(2)当Y＝0时，即为10lg＝0，

所以＝1，I＝10－12 W/m2，则能听到的最低声强为10－12 W/m2.

(3)当声强I＝5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lg＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息．

方法技巧　指数函数模型的应用

在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为

y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．

跟踪探究　3.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

解析：设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得×n≤，即n≤.

则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，

故n≥≈7.4，

考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．

授课提示：对应学生用书第66页

[课后小结]

1．解应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系，分析函数的性质，从而解决问题．解决问题时要注意自变量的取值范围．

2．(1)解应用题的一般思路可表示如下：

(2)解应用题的一般步骤：

①读：阅读并理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一步是基础；

②建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键；

③解：求解数学模型，得到数学结论，既要充分注意数学模型中字母的实际意义，也要注意巧思妙解，优化过程；

④答：将数学结论还原为实际问题的结论．