高中人教版新课标A第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理练习题

1.1.1　正弦定理

1.在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c等于

A.1　 　 　  B.　 　 　  C.3　 　   　D.

解析　C＝180°－30°－15°＝135°，

c＝＝＝3.应选C.

答案　C

2.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a＝2b，则的值是

A.      B.      C.1      D.

解析　由正弦定理，＝＝，

所以＝2＝2×＝.故选D.

答案　D

3.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC等于

A.4     B.2     C.      D.

解析　由正弦定理得＝，

所以AC＝＝＝2.故选B.

答案　B

4.△ABC中，已知a＝，b＝2，B＝45°，则角A等于

A.30°或150°        B.60°或120°

C.60°          D.30°

解析　因为a＝，b＝2，B＝45°，所以＝，

可得sin A＝sin 45°＝，

又a＜b，可得A＜B，所以∠A＝30°.故选D.

答案　D

5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a＝________.

解析　在△ABC中，由正弦定理，有＝，

所以sin C＝＝，

所以C＝30°或150°(舍去).

所以A＝30°，所以a＝c＝.

答案　

[限时45分钟；满分80分]

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.若A＝30°，B＝45°，BC＝3，则AC＝

A.　　 　   B.3　　 　  C.4　　 　  D.6

解析　由＝，得＝，

则AC＝＝6.

答案　D

2.在△ABC中，b＋c＝＋1，C＝45°，B＝30°，则

A.b＝1，c＝        B.b＝，c＝1

C.b＝，c＝1＋       D.b＝1＋，c＝

解析　∵＝＝＝＝2，

∴b＝1，c＝.

答案　A

3.在△ABC中，已知c＝，A＝，a＝2，则b＝

A.＋1          B.或

C.＋1或－1        D.－1

解析　由正弦定理可得sin C＝＝，

又c＞a，所以C＞A，所以C＝或，

当C＝时，B＝，b＝＝＋1，

当C＝时，B＝，b＝＝－1，故选C.

答案　C

4.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(＋1)，且sin B＋sin C＝sin A，则a＝

A.      B.2      C.4      D.2

解析　根据正弦定理，sin B＋sin C＝sin A可化为b＋c＝a，

∵△ABC的周长为4(＋1)，

∴解得a＝4.故选C.

答案　C

5.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cos B等于

A.      B.      C.      D.

解析　在△ABC中，因为

所以

所以cos B＝.

答案　B

6.(能力提升)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin B＝csin C且sin2A＝sin2B＋sin2C，则该三角形是

A.等腰直角三角形        B.等边三角形

C.锐角三角形         D.钝角三角形

解析　因为bsin B＝csin C，所以b·b＝c·c，即b＝c，

又sin2A＝sin2B＋sin2C，

所以a2＝b2＋c2，

即△ABC为直角三角形；

而b＝c，所以△ABC为等腰直角三角形.

答案　A

二、填空题(每小题5分，共15分)

7.在△ABC中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝________.

解析　由正弦定理＝，得＝，

所以sin B＝，又a＞b，所以∠B＝.

答案　

8.在△ABC中，A＝60°，a＝，则＝________.

解析　由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，得＝2R＝＝＝.

答案　

9.(能力提升)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________.

解析　由正弦定理及bcos C＋ccos B＝2b，

可得sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B，

即sin(B＋C)＝2sin B，

所以sin A＝2sin B，故＝＝2.

答案　2

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10.(11分)在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30°，求a.

解析　由正弦定理，得＝，

得sin B＝＝.

因为b＞c，

所以B＞C＝30°，

所以B＝60°或120°.

当B＝60°时，A＝90°，

a＝＝＝12.

当B＝120°时，A＝30°，a＝＝＝6.

所以a＝6或12.

11.(12分)△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝－lg，且B为锐角，试判断此三角形的形状.

解析　因为lg sin B＝－lg，所以sin B＝，

又因为0°＜B＜90°，所以B＝45°，

由lg a－lg c＝－lg，得＝.

由正弦定理得＝，

即2sin(135°－C)＝sin C，

即2(sin 135°cos C－cos 135°sin C)＝sin C.

所以cos C＝0，得C＝90°.

又因为B＝45°，所以A＝45°，

从而△ABC是等腰直角三角形.

12.(12分)(2016·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin 2B＝bsin A.

(1)求B；

(2)若cos A＝，求sin C的值.

解析　(1)在△ABC中，由＝，

可得asin B＝bsin A，

又由asin 2B＝bsin A，

得2asin Bcos B＝bsin A＝asin B，

所以cos B＝，得B＝.

(2)由cos A＝，可得sin A＝，

则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)

＝sin＝sin A＋cos A＝.