高中数学人教版新课标A必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理当堂检测题

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这是一份高中数学人教版新课标A必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理当堂检测题，共8页。

课时过关·能力提升
基础巩固
1.在△ABC中,下列关系一定成立的是( ).
A.a>bsin A
B.a≤bsin A
C.aD.a≥bsin A
答案:D
2.在△ABC中,若A=60°,a=43,b=42,则B等于( ).
A.45°或135°B.135°
C.45°D.以上答案都不对
答案:C
3.在△ABC中,若sin A>sin B,则角A与角B的大小关系是( ).
A.A>BB.A答案:A
4.在△ABC中,若a∶b∶c=2∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于( ).
A.2∶5∶6B.6∶5∶2
C.6∶2∶5D.不确定
解析:由正弦定理,知sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶5∶6.
答案:A
5.在△ABC中,a=20,A=45°,B=75°,则边c的长为 .
解析:C=180°-45°-75°=60°.
由正弦定理得asinA=csinC,即20sin45°=csin60°,
故c=20sin60°sin45°=20×3222=106.
答案:106
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=1,A=π3,则B=_____________.
解析:由正弦定理得asinA=bsinB,
所以3sinπ3=1sinB,
解得sin B=12,所以B=5π6或B=π6,
又因为a=3,b=1,所以B答案:π6
7.在△ABC中,A=2π3,a=3c,则bc=_____________________.
解析:由正弦定理知sinAsinC=ac=3,即sin C=sin2π33=12,又a>c,可得C=π6,
∴B=π-2π3-π6=π6,∴b=c,即bc=1.
答案:1
8.在△ABC中,若B=2A,a∶b=1∶3,则A=_____________________.
解析:∵B=2A,∴sin B=sin 2A,
∴sin B=2sin Acs A,
∴sinAsinB=12csA.
由正弦定理,得ab=sinAsinB=13,
∴12csA=13,∴cs A=32.
又0°答案:30°
9.在△ABC中,a=5,B=45°,C=105°,求边c的长.
解:由三角形内角和定理,知A+B+C=180°,
故A=180°-(B+C)=180°-(45°+105°)=30°.
由正弦定理,得c=a·sinCsinA
=5·sin105°sin30°
=5·sin(60°+45°)sin30°
=5·sin60°cs45°+cs60°sin45°sin30°
=52(6+2).
10.在△ABC中,已知a=2,b=2,A=30°,解此三角形.
解:由asinA=bsinB,得sin B=bsinAa=2sin30°2=22.
∵0°∴B=45°或B=135°.
当B=45°时,
C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°.
∵csinC=asinA,
∴c=asinCsinA=2sin105°sin30°=2×6+2412=3+1.
当B=135°时,
C=180°-(A+B)=180°-(30°+135°)=15°,
∴c=asinCsinA=2sin15°sin30°=2×6-2412=3-1.
综上可得,B=45°,C=105°,c=3+1或B=135°,C=15°,c=3-1.
能力提升
1.在△ABC中,A=60°,a=13,则a+b+csinA+sinB+sinC等于( ).
解析:由a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,得a+b+csinA+sinB+sinC=2R=asinA=13sin60°=2393.
答案:B
2.在△ABC中,A=60°,a=3,b=2,则B等于( )
A.45°或135°B.60°
C.45°D.135°
解析:由asinA=bsinB,得sin B=bsinAa=2sin60°3=22.
∵a>b,∴A>B,B<60°,∴B=45°.
答案:C
3.★在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果m=(a2,b2),n=(tan A,tan B),且m∥n,那么△ABC一定是( ).
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
解析:由m∥n得a2tan B=b2tan A,
结合正弦定理有sin2Bsin2A=tanBtanA,
∴sinBsinA=csAcsB.
∴sin 2A=sin 2B.
∴2A=2B或2A+2B=π.
∴A=B或A+B=π2,
即△ABC是等腰三角形或直角三角形.故选D.
答案:D
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3bcs A=ccs A+acs C,则tan A的值是( )
A.-22B.-2C.22D.2
解析:由正弦定理,得b=2Rsin B,c=2Rsin C,a=2Rsin A,
则3(2Rsin B)cs A=2Rsin Ccs A+2Rsin Acs C,
则有3sin Bcs A=sin(C+A)=sin B.
又∵sin B≠0,则cs A=13>0,
∴A为锐角,∴sin A=1-cs2A=1-19=223,则有tan A=sinAcsA=22313=22.
答案:C
5.在△ABC中,B=30°,C=120°,则a∶b∶c= .
解析:由题意得A=180°-B-C=30°,
则sin A=12,sin B=12,sin C=32,
∴a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶3.
答案:1∶1∶3
6.在△ABC中,b=1,c=3,C=2π3,则a= .
解析:由正弦定理,得3sin2π3=1sinB,∴sin B=12.
∵C为钝角,∴B必为锐角,∴B=π6,∴A=π6,
∴a=b=1.
答案:1
7.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(3,-1),n=(cs A,sin A),若m⊥n,且acs B+bcs A=csin C,则角B= .
解析:由题意知m·n=0,
∴3cs A-sin A=0.
∴tan A=3,A=π3.
又acs B+bcs A=csin C,
∴由正弦定理,得sin Acs B+sin Bcs A=sin2C,
即sin(A+B)=sin2C,sin(π-C)=sin2C,sin C=sin2C.
∴sin C=1.∴C=π2.∴B=π6.
答案:π6
8.★已知△ABC为锐角三角形,角A,B,C分别对应边a,b,c,且a=2bsin A,求cs A+sin C的取值范围.
解:设R为△ABC外接圆的半径.
∵a=2bsin A,
∴2Rsin A=4Rsin Bsin A.
∵sin A≠0,∴sin B=12.
∵B为锐角,∴B=π6.
令y=cs A+sin C=cs A+sin[π-(B+A)]
=cs A+sinπ6+A
=cs A+sinπ6cs A+csπ6sin A
=32cs A+32sin A=3sinA+π3.
由△ABC为锐角三角形,知π2-B∴π3∴2π3∴12∴32<3sinA+π3<32,即32∴cs A+sin C的取值范围是32,32.

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