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    2020-2021学年第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理课时训练

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    这是一份2020-2021学年第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理课时训练,共6页。

    一、选择题
    1.已知方程x2sin A+2xsin B+sin C=0有重根,则△ABC的三边a,b,c的关系满足( )
    A.b=acB.b2=ac
    C.a=b=cD.c=ab
    【解析】 由方程有重根,∴Δ=4sin2B-4sin Asin C=0,即sin2B=sin Asin C,∴b2=ac.
    【答案】 B
    2.在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=eq \r(3),则角A的对边的长为( )
    A.eq \r(57) B.eq \r(37) C.eq \r(21) D.eq \r(13)
    【解析】 ∵S△ABC=eq \f(1,2)bcsin A=eq \f(1,2)×1×c×sin 60°=eq \r(3),∴c=4.由余弦定理a2=b2+c2-2bccs 60°=1+16-2×1×4×eq \f(1,2)=13.
    ∴a=eq \r(13).
    【答案】 D
    3.在△ABC中,a=1,B=45°,S△ABC=2,则此三角形的外接圆的半径R=( )
    A.eq \f(1,2)B.1
    C.2eq \r(2)D.eq \f(5\r(2),2)
    【解析】 S△ABC=eq \f(1,2)acsin B=eq \f(\r(2),4)c=2,∴c=4eq \r(2).
    b2=a2+c2-2accs B=1+32-8eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)=25,
    ∴b=5.∴R=eq \f(b,2sin B)=eq \f(5,2×\f(\r(2),2))=eq \f(5\r(2),2).
    【答案】 D
    4.在△ABC中,AC=eq \r(7),BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( )
    A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3\r(3),2)
    C.eq \f(\r(3)+\r(6),2)D.eq \f(\r(3)+\r(39),4)
    【解析】
    在△ABC中,由余弦定理可知:
    AC2=AB2+BC2-2AB·BCcs B,
    即7=AB2+4-2×2×AB×eq \f(1,2).
    整理得AB2-2AB-3=0.
    解得AB=-1(舍去)或AB=3.
    故BC边上的高AD=AB·sin B=3×sin 60°=eq \f(3\r(3),2).
    【答案】 B
    5.设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acs A,则sin A∶sin B∶sin C为( )
    A.4∶3∶2B.5∶6∶7
    C.5∶4∶3D.6∶5∶4
    【解析】 由题意知:a=b+1,c=b-1,
    所以3b=20acs A=20(b+1)·eq \f(b2+c2-a2,2bc)
    =20(b+1)·eq \f(b2+b-12-b+12,2bb-1),
    整理得7b2-27b-40=0,
    解之得:b=5(负值舍去),可知a=6,c=4.
    结合正弦定理可知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4.
    【答案】 D
    二、填空题
    6.在△ABC中,B=60°,AB=1,BC=4,则BC边上的中线AD的长为 .
    【解析】 画出三角形知AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cs 60°=3,∴AD=eq \r(3).
    【答案】 eq \r(3)
    7.有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm,其夹角α的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根,则此三角形的面积是 cm2.
    【解析】 解方程5x2-7x-6=0,得x=2或x=-eq \f(3,5),
    ∵|cs α|≤1,∴cs α=-eq \f(3,5),sin α=eq \f(4,5).
    故S△=eq \f(1,2)×3×5×eq \f(4,5)=6(cm2).
    【答案】 6
    8.(2016·郑州模拟)在△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为 .
    【解析】 由余弦定理得b2=a2+c2-2accs B,
    即49=a2+25-2×5×acs 120°.
    整理得a2+5a-24=0,解得a=3或a=-8(舍).
    ∴S△ABC=eq \f(1,2)acsin B=eq \f(1,2)×3×5sin 120°=eq \f(15\r(3),4).
    【答案】 eq \f(15\r(3),4)
    三、解答题
    9.已知△ABC的三内角满足cs(A+B)cs(A-B)=1-5sin2C,求证:a2+b2=5c2. 【导学号:05920063】
    【证明】 由已知得cs2Acs2B-sin2Asin2B=1-5sin2C,
    ∴(1-sin2A)(1-sin2B)-sin2Asin2B=1-5sin2C,
    ∴1-sin2A-sin2B=1-5sin2C,
    ∴sin2A+sin2B=5sin2C.
    由正弦定理得,所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2R)))2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2R)))2=5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2R)))2,
    即a2+b2=5c2.
    10.(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.
    (1)求C和BD;
    (2)求四边形ABCD的面积.
    【解】 (1)由题设及余弦定理得
    BD2=BC2+CD2-2BC·CDcs C=13-12cs C,①
    BD2=AB2+DA2-2AB·DAcs A=5+4cs C.②
    由①,②得cs C=eq \f(1,2),故C=60°,BD=eq \r(7).
    (2)四边形ABCD的面积
    S=eq \f(1,2)AB·DAsin A+eq \f(1,2)BC·CDsin C
    =eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×1×2+\f(1,2)×3×2))·sin 60°=2eq \r(3).
    [能力提升]
    1.已知锐角△ABC中,|eq \(AB,\s\up14(→))|=4,|eq \(AC,\s\up14(→))|=1,△ABC的面积为eq \r(3),则eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(AC,\s\up14(→))的值为( )
    A.2B.-2
    C.4D.-4
    【解析】 由题意S△ABC=eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up14(→))||eq \(AC,\s\up14(→))|sin A=eq \r(3),
    得sin A=eq \f(\r(3),2),又△ABC为锐角三角形,
    ∴cs A=eq \f(1,2),∴eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(AC,\s\up14(→))=|eq \(AB,\s\up14(→))||eq \(AC,\s\up14(→))|cs A=2.
    【答案】 A
    2.在斜三角形ABC中,sin A=-eq \r(2)cs B·cs C,且tan B·tan C=1-eq \r(2),则角A的值为( )
    A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(3π,4)
    【解析】 由题意知,sin A=-eq \r(2)cs B·cs C=sin(B+C)=sin B·cs C+cs B·sin C,在等式-eq \r(2)cs B·cs C=sin B·cs C+cs B·sin C两边除以cs B·cs C得tan B+tan C=-eq \r(2),tan(B+C)=eq \f(tan B+tan C,1-tan Btan C)=-1=-tan A,所以角A=eq \f(π,4).
    【答案】 A
    3.(2015·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3eq \r(15),b-c=2,cs A=-eq \f(1,4),则a的值为 .
    【解析】 在△ABC中,由cs A=-eq \f(1,4)可得sin A=eq \f(\r(15),4),
    所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)bc×\f(\r(15),4)=3\r(15),,b-c=2,,a2=b2+c2-2bc×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,4))),))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=8,,b=6,,c=4.))
    【答案】 8
    4.(2015·陕西高考)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,eq \r(3)b)与n=(cs A,sin B)平行.
    (1)求A;
    (2)若a=eq \r(7),b=2,求△ABC的面积.
    【解】 (1)因为m∥n,所以asin B-eq \r(3)bcs A=0,
    由正弦定理,得sin Asin B-eq \r(3)sin Bcs A=0,
    又sin B≠0,从而tan A=eq \r(3).
    由于0(2)法一 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccs A,
    而a=eq \r(7),b=2,A=eq \f(π,3),
    得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0.
    因为c>0,所以c=3.
    故△ABC的面积为eq \f(1,2)bcsin A=eq \f(3\r(3),2).
    法二 由正弦定理,得eq \f(\r(7),sin \f(π,3))=eq \f(2,sin B),从而sin B=eq \f(\r(21),7).
    又由a>b,知A>B,所以cs B=eq \f(2\r(7),7).
    故sin C=sin(A+B)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B+\f(π,3)))
    =sin Bcs eq \f(π,3)+cs Bsin eq \f(π,3)=eq \f(3\r(21),14).
    所以△ABC的面积为eq \f(1,2)absin C=eq \f(3\r(3),2).
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