必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理同步训练题

　余 弦 定 理

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.在△ABC中,b=,c=3,B=30°,则a= (　　)

A.     B.2

C.或2   D.2

【解析】选C.由余弦定理:b2=a2+c2-2accos B可得:

3=a2+9-6a×,解得:a=或2.

2.(2019·丹东高一检测)在△ABC中,cos A=,AC=3AB,则sin C= (　　)

A.    B.   C.   D.

【解析】选A.因为cos A=,所以sin A=.

又BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=AB2+9AB2-2AB·3AB·=8AB2,

BC=2AB,又=,

所以sin C=·sin A=×=.

3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=,a=7,c=6,则b=

 (　　)

A.8   B.7   C.6   D.5

【解析】选D.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,

所以49=b2+36-2b·6·,整理得5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-(舍去).

4.在△ABC中,sin=,AB=1,AC=5,则BC= (　　)

A.2   B.  C.  D.4

【解析】选D.因为sin =,

所以cos A=1-2sin2=1-2×=-,

因为AB=1,AC=5,

所以由余弦定理可得:

BC=

==4.

5.(2019·鹤岗高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A=              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.因为sin C=2sin B,由正弦定理可得c=2b,代入a2-b2=bc可得a2=7b2.

由余弦定理的推论可得cos A===.

所以A=.

6.(2019·玉溪高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a∶b∶c=4∶3∶2,则= (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选D.由题意==,

a∶b∶c=4∶3∶2,设a=4k,b=3k,c=2k,

由余弦定理可得,cos C==,

则==.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,a=,c=,则b=________. 

【解析】由余弦定理可得a2=6=b2+5-2·b·cos ,解得b=或b=(舍去).

答案:

8.(2018·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=, b=2,A=60°,则sin B=____________,c=____________.  

【解析】由正弦定理=,得sin B==.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得c2-2c-3=0,

则c=3或c=-1(舍去).

答案:　3

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.在△ABC中,已知sin C=,a=2,b=2,求边c.

【解析】因为sin C=,且0<C<π,

所以C为或.

当C=时,cos C=,此时,

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4,即c=2.

当C=时,cosC=-,

此时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=28,

即c=2.

所以边c的长为2或2.

10.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C所对的边,

cos C(acosB+bcos A)+c=0.

(1)求角C.

(2)若a=,b=2,求sin(B-C)的值.

【解析】(1)由已知及正弦定理得

cos C(sin Acos B+sin Bcos A)+sin C=0,

所以cosCsin C+sin C=0,

因为sin C≠0,所以cos C=-,因为0<C<π,

所以C=.

(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,

即c2=2+4+4,所以c=.

由=得sin B=,cos B=,

所以sin(B-C)=×-×=-.

(45分钟　75分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.在△ABC中,若b=3,c=1,cos A=,则a= (　　)

A.2   B.2   C.8  D.12

【解析】选B.因为b=3,c=1,cos A=.所以由余弦定理可得a2=b2+c2-

2bccos A=9+1-2×3×1×=8,解得a=2.

2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知+=1,则C为

 (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选B.在△ABC中,已知+=1,由正弦定理可得+=1,通分整理得a2+b2-c2=ab,又由余弦定理得cos C==,因为C∈(0,π),所以C=.

3.在△ABC中,D为边BC的中点,AB=2,AC=4,AD=,则∠BAC为 (　　)

A.30°   B.60°   C.120°   D.150°

【解析】选B.如图,设BD=CD=x.

在△ABD和△ACD中,由余弦定理及诱导公式,得

,

即14+2x2=20,解得x=,即BC=2.

则cos∠BAC==,

所以∠BAC=60°.

4.在△ABC中,=c2,sin A·sin B=,则△ABC一定是 (　　)

A.等边三角形  　　　B.等腰三角形但不是等边三角形

C.直角三角形  　　　D.等腰直角三角形

【解析】选A.由=c2⇒a3+b3-c3=(a+b-c)c2⇒a3+b3-c2(a+b)=0⇒(a+b)(a2+b2-ab-c2)=0.因为a+b>0,所以a2+b2-c2-ab=0.(1)

由余弦定理(1)式可化为a2+b2-(a2+b2-2abcos C)-ab=0,得cos C=,∠C=60°.

由正弦定理==,得sin A=,

sin B=,

所以sin A·sin B==,

所以=1,ab=c2,

将ab=c2代入(1)式得,a2+b2-2ab=0,

即(a-b)2=0,a=b.

又因为ab=c2,所以a2=c2,c=a=b,所以△ABC是等边三角形.

5.设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,c=2,cos=,则b=

 (　　)

A.1   B.   C.2   D.4

【解析】选D.因为a=2,c=2,cos=,

所以cos A=2cos2-1=2×-1=,

所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,

可得:(2)2=b2+22-2×b×2×,

可得:b2-3b-4=0,

所以解得:b=4或-1(舍去).

二、填空题(每小题5分,共20分)

6.在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,则sin A=________. 

【解析】由余弦定理得cos A====,因为A为△ABC一内角,

所以sin A===.

答案:

7.(2019·衡水高二检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其外接圆的直径为d,且满足bcos A+acos B-4ccos C=0,则=__________. 

【解析】由bcos A+acos B-4ccos C=0及余弦定理,

得b·+a·-4ccos C=0,

得+-4ccos C=0,

得c-4ccos C=0,即c=0,

所以cos C=,所以sin C=.

由正弦定理,得=d,则=sin C=.

答案:

8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,BC边上的高与BC边长相等,则++的最大值是________. 

【解析】在△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,所以++=.

因为由余弦定理得a2=c2+b2-2bccos A,

所以=.

又因为在△ABC中,BC边上的高与BC边的长相等,

所以bcsin A=a2,即bcsin A=a2.

所以==2sin A+2cos A=2sin≤2.

则++的最大值为2.

答案:2

9.已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则的取值范围是________. 

【解析】由b2=a(a+c)及余弦定理可得c-a=2acos B,由正弦定理得sin C-

sin A=2sin Acos B,

因为A+B+C=π,所以sin(B+A)-sin A=2sin Acos B,所以sin(B-A)=sin A,

因为△ABC是锐角三角形,所以B-A=A,即B=2A.

因为0<B<,<A+B<π,那么:<A<,则=sin A∈.

答案:

三、解答题(每小题10分,共30分)

10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b·cos A=c·cos A+a·cos C.

(1)求角A的大小.

(2)若a=,b+c=4,求bc的值.

【解析】(1)根据正弦定理得2b·cos A=c·cos A+a·cos C,

即2cos Asin B=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B,

因为sin B≠0,所以cos A=,

因为0°<A<180°,

所以A=60°.

(2)由余弦定理得7=a2=b2+c2-2bc·cos 60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,

把b+c=4代入得bc=3,

故bc=3.

11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2c=a+2bcos A.

(1)求角B.

(2)若c=7,bsin A=,求b.

【解析】(1)由已知及正弦定理可得2sin C=sin A+2sin Bcos A,

所以2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+2sin Bcos A,

即2sin Acos B=sin A,

因为sin A≠0,所以cos B=.

又0<B<π,故B=.

(2)在△ABC中,由正弦定理可得=,

所以asin B=bsin A=,

由(1)知B=,

所以a=2,

由余弦定理可得,b2=a2+c2-2accos B=19,

所以b=.

12.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=,b=,4a-

3cos A=0.

(1)求a的值.

(2)若B=λA,求λ的值.

【解析】(1)因为4a-3cos A=0,故4a=3cos A,

由余弦定理得4a=3×,

因为c=,b=,所以12a2+80a-147=0,

解得a=或a=-(舍去),故a=.

(2)由(1)可知cos A=×=,

所以sin A=,故cos 2A=cos2 A-sin2 A=,

因为a=,c=,b=,

所以cos B==,所以cos 2A=cos B,

因为△ABC中,c>b>a,故B=2A,

即λ的值为2.