高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理学案设计

这是一份高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理学案设计，共6页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，规律方法，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．进一步熟练掌握正、余弦定理在解三角形中的应用．
2．掌握与三角函数有关的综合问题．
【自主预习】
1．正、余弦定理的应用原则
(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．
(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
2．有关正、余弦定理的综合问题需注意以下三点
(1)正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当的实现边角的统一．
(2)统一为“角”后要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形．
(3)求值时要注意方程思想的应用.
【互动探究】
正弦定理与余弦定理的综合运用
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acs B．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
解：(1)因为bsin A＝eq \r(3)acs B，
所以由正弦定理得sin Bsin A＝eq \r(3)sin Acs B．
在△ABC中，sin A≠0，
所以tan B＝eq \r(3).所以B＝eq \f(π,3)．
(2)因为sin C＝2sin A，所以由正弦定理得c＝2a．
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
得9＝a2＋4a2－2a·2acs eq \f(π,3)．
解得a＝eq \r(3)或a＝－eq \r(3)(舍去)．所以c＝2a＝2eq \r(3)．
【规律方法】利用正、余弦定理解三角形的注意点
正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用．抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．
1．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C＝________．
解析：因为3sin A＝5sin B，所以结合正弦定理的变形a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，得3a＝5b．
所以a＝eq \f(5,3)b.又b＋c＝2a，所以c＝eq \f(7,3)b．
根据余弦定理的推论cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
把a＝eq \f(5,3)b，c＝eq \f(7,3)b代入，化简得cs C＝－eq \f(1,2)．
所以C＝eq \f(2,3)π．
答案：eq \f(2,3)π
正、余弦定理与三角恒等变换的综合运用
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2 eq \f(B＋C,2)－cs 2A＝eq \f(7,2)．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝eq \r(3)，b＋c＝3，求b和c的值．
解：(1)由4sin2 eq \f(B＋C,2)－cs 2A＝eq \f(7,2)及A＋B＋C＝180°，得2[1－cs (B＋C)]－2cs2 A＋1＝eq \f(7,2)，
4(1＋cs A)－4cs2 A＝5，
即4cs2 A－4cs A＋1＝0．
所以(2cs A－1)2＝0.解得cs A＝eq \f(1,2)．
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°．
(2)由余弦定理，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)．
因为cs A＝eq \f(1,2)，所以eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)．
化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc．
将a＝eq \r(3)，b＋c＝3代入上式，得bc＝2．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＋c＝3，,bc＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝1，,c＝2，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,c＝1.))
【规律方法】解三角形问题一般可用以下步骤解答
第一步：边角互化. 利用正弦定理或余弦定理实现边角互化．
第二步：三角变换. 通过三角变换、化简、消元，从而向已知角(或边)转化．
第三步：由值求角. 代入求值．
第四步：反思回顾．查看关键点、易错点．
2．在△ABC中，BC＝eq \r(5)，AC＝3，sin C＝2sin A．
(1)求AB的值；
(2)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,4)))的值．
解：(1)在△ABC中，根据正弦定理eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)，
得AB＝eq \f(sin C,sin A)·BC＝2BC＝2eq \r(5)．
(2)在△ABC中 ，根据余弦定理得
cs A＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq \f(2\r(5),5)．
所以sin A＝eq \f(\r(5),5)．
由倍角公式得sin 2A＝2sin Acs A＝eq \f(4,5)，
cs 2A＝2cs2A－1＝eq \f(3,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,4)))＝sin 2Acs eq \f(π,4)－cs 2Asin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),10)．
【课堂练习】
1．在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是( )
A．(1,3) B．(2,3)
C．(eq \r(5)，3) D．(2eq \r(2)，3)
解析：由cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)<0，得c2>a2＋b2＝5. 所以c>eq \r(5).又c答案：C
2．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的值为( )
A．19 B．14
C．－18 D．－19
解析：由余弦定理，得cs B＝eq \f(AB2＋BC2－CA2,2·AB·BC)＝eq \f(72＋52－62,2×7×5)＝eq \f(19,35).所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→)) ||eq \(BC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝7×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19,35)))＝－19．
答案：D
3．在△ABC中，a2＋b2解析：由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)<0.所以C是钝角．所以由sin C＝eq \f(\r(3),2)，得C＝120°．
答案：120°
4．在△ABC中，已知cs A＝eq \f(3,5)，a＝4，b＝3，求角C．
解：A为b，c的夹角，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A．
所以16＝9＋c2－6×eq \f(3,5)c．
整理得5c2－18c－35＝0．
解得c＝5或c＝－eq \f(7,5)(舍去)．
由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(16＋9－25,2×4×3)＝0．
因为0°＜C＜180°，所以C＝90°．