人教版新课标A必修51.2 应用举例同步练习题

解三角形的实际应用举例——距离问题

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则14时两船之间的距离是

 (　　)

A.50 n mile　　　　　　　  B.70 n mile

C.90 n mile       D.110 n mile

【解析】选B. 到14时,轮船A和轮船B分别走了50 n mile,

30 n mile,由余弦定理得两船之间的距离为

l==70 n mile.

2.海洋中有A,B,C三座灯塔,其中A,B之间距离为a,在A处观察B,其方向是南偏东40°,观察C,其方向是南偏东70°,在B处观察C,其方向是北偏东65°,B,C之的距离是              (　　)

A.a   B.a 

C.a   D.a

【解析】选D.如图所示,由题意可知AB=a,∠BAC=70°-40°=30°,∠ABC= 40°+65°=105°,所以∠C=45°,在△ABC中,由正弦定理得=,即BC==a.

3.一艘海轮从A处出发,在A处观察灯塔C,其方向是南偏东85°.海轮以每小时60海里的速度沿南偏东40°方向直线航行,20分钟后到达B处.在B处观察灯塔C,其方向是北偏东65°.则B,C之间的距离是              (　　)

A.10海里   B.20海里

C.20海里   D.10海里

【解析】选C.A,B,C的位置如图所示:

因为C在A的南偏东85°的位置,故∠EAC=85°,

因为B在A的南偏东40°的位置,故∠EAB=40°,

所以∠CAB=45°.

因C在B的北偏东65°的位置,故∠DBC=65°,

因∠DBA=40°,故∠ABC=105°,即∠ACB=30°,

在△ABC中,=,AB=60×=20(海里),

故BC=20海里.

4.(2019·成都高一检测)如图所示,隔河可以看到对岸两目标A,B,但不能到达,现在岸边取相距4 km的C,D两点,测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,

∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),则两目标A,B间的距离为 (　　)

A. km    B. km 

C. km    D.2 km

【解析】选B.由已知,在△ACD中,∠CAD=30°,∠ACD=120°,

由正弦定理得,=,

所以AD===4 km,

在△BCD中,∠CBD=60°,

由正弦定理得,=,

所以BD=== km,

在△ABD中,由余弦定理得,

AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=,

解得:AB= km.

5.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图所示,测得AC的长度为4 m,

∠A=30°,则其跨度AB的长为 (　　)

A.12 m   B.8 m

C.3 m   D.4 m

【解析】选D.由已知∠A=∠B=30°,

所以∠C=180°-30°-30°=120°,

由正弦定理得,=,

即AB===4(m).

6.江岸边有一炮台高30米,江中有两条船,从炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距              (　　)

A.10米    B.100米

C.20米   D.30米

【解析】选D.如图,过炮台顶部A作水平面的垂线,垂足为B,

设A处观测小船C的俯角为45°,设A处观测小船D的俯角为30°,连接BC,BD.在Rt△ABC中,∠ACB=45°,可得BC=AB=30米,Rt△ABD中,∠ADB=30°,可得BD=AB=30米,在△BCD中,BC=30米,BD=30米,∠CBD=30°,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos 30°=900,所以CD=30米(负值舍去).

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离为12 n mile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为8 n mile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在东偏南30°,则

(1)A处与D处之间的距离为__________n mile; 

(2)灯塔C与D处之间的距离为__________n mile. 

【解析】(1)在△ABD中,AB=12,∠ADB=180°-120°=60°,∠BAD=75°,所以B=45°.

由正弦定理得AD===24(n mile).

故A处与D处之间的距离为24 n mile.

(2)在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°,

解得CD=8(n mile).故灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.

答案:(1)24　(2)8

8.(2019·烟台高一检测)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45°的方向上,仰角为α,行驶300米后到达B处,测得此山顶在北偏西15°的方向上,仰角为β,若β=45°,则此山的高度CD=__________米,仰角α的正切值为__________. 

【解析】设山的高度CD=x(米),

由题可得:∠CAB=45°,∠ABC=105°,AB=300(米), ∠CBD=45°,

在△ABC中,可得:∠ACB=180°-45°-105°=30°,利用正弦定理可得:

==,解得:CB=300(米),

AC=150 (米),

在Rt△BCD中,由∠CBD=45°,

可得:x=CB=300(米),

在Rt△ACD中,可得:tan α===-1.

答案:300　-1

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.甲船自某港出发时,乙船在离港7海里的海上驶向该港,已知两船的航向成120°角,甲、乙两船航速之比为2∶1,求两船间距离最短时,各离该海港多远?

【解析】如图所示,甲船由A港沿AE方向行驶,乙船由D处向A港行驶,显然∠EAD=60°.

设乙船航行到B处行驶了s海里,此时A船行驶到C处,则AB=7-s,AC=2s,

而∠EAD=60°,

由余弦定理,得BC2=4s2+(7-s)2-4s(7-s)cos 60°=7(s-2)2+21(0≤s<7).

所以s=2时,BC最小为,此时AB=5,AC=4.

即甲船离港4海里,乙船离港5海里.

故两船间距离最短时,甲船离港4海里,乙船离港5海里.

10.如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1 km.

(1)试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间距离会相等?

(2)求B,D间的距离.

【解题指导】(1)在△ADC中,∠DAC=30°,计算可得∠BCD=60°,则CB是△CAD底边AD的中垂线,BD=BA;

(2)在△ABC中,由正弦定理计算可得AB,进而求BD.

【解析】(1)在△ADC中,∠DAC=30°,

∠ADC=60°-∠DAC=30°,

所以CD=AC=0.1.

 又∠BCD=180°-60°-60°=60°,

所以CB是△CAD底边AD的中垂线,

所以BD=BA.

(2)在△ABC中,

由正弦定理得:=,

即AB==.

所以BD=.

答:B,D间的距离是km.

(45分钟　75分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据,较适宜的是 (　　)

A.a,c,α   B.b,c,α

C.c,a,β   D.b,α,γ

【解析】选D.由b,α,γ,可利用正弦定理求出BC.

2.张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是

 (　　)

A.2 km   B.3 km   C.3 km  D.2 km

【解析】选B.由条件知AB=24×=6(km).

在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6 km,

∠ABS=180°-75°=105°,所以∠ASB=45°.

由正弦定理知=,

所以BS==3 km.

3.在相距2 km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为              (　　)

A. km  B. km  C. km  D.2 km

【解析】选A.由A点向BC作垂线,垂足为D,设AC=x km,

因为∠CAB=75°,∠CBA=60°,

所以∠ACB=180°-75°-60°=45°,

所以AD=x km,

所以在Rt△ABD中,AB·sin 60°=x,

x=.

4.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,起吊的货物与岸的距离AD为              (　　)

A.30 m  B. m  C.15 m   D.45 m

【解析】选B.在△ABC中,AC=15 m,AB=5 m,BC=10 m,由余弦定理得

cos ∠ACB===-,

所以sin ∠ACB=.又∠ACB+∠ACD=180°,

所以sin ∠ACD=sin ∠ACB=.在Rt△ACD中,

AD=ACsin ∠ACD=15×=(m).

【误区警示】解答本题若选择求∠ABC的余弦值,再解Rt△ABD求AD,则运算量较大,极易出错.

5.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)

A.a km   B.a km

C.a km   D.2a km

【解析】选B.在△ABC中,AC=BC=a km,

∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,

所以AB=

=

=a (km).

二、填空题(每小题5分,共20分)

6.一轮船向正北方向航行,某时刻在A处测得灯塔M在正西方向且相距20海里,另一灯塔N在北偏东30°方向,继续航行20海里至B处时,测得灯塔N在南偏东60°方向,则两灯塔MN之间的距离是________海里. 

【解析】由题设有AM=20,AB=20,∠BAN=30°,∠ABN=60°,所以∠ANB=90°, AN=20×=10.

而∠MAN=120°,

故MN2=1 200+300-2×20×10×,

所以MN=10.

答案:10

7.某船在行驶过程中开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东75°的方向航行15海里后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是________海里. 

【解析】以O点为原点建立平面直角坐标系,如图所示,

设南偏东30°方向为射线OM,船沿南偏东75°方向航行15海里后到达A点,

过点A作x轴平行线,交y于点D,交OM于B点,则B为灯塔.

∠DOA=75°,cos∠DOA=,

所以OD=OAcos 75°=,

又sin∠DOA=,

所以AD=OAsin 75°=,

又∠DOB=30°,tan∠DOB=,

所以BD=ODtan 30°=,

所以AB=AD-BD=5(海里).

答案:5

8.如图,船甲以每小时30公里的速度向正东航行,船甲在A处看到另一船乙在北偏东60°的方向上的B处,且AB=30公里,正以每小时5公里的速度向南偏东60°的方向航行,行驶2小时后,甲、乙两船分别到达C、D处,则CD等于________公里.  

【解析】过B作BE⊥AC交AC于E,

故BE=15,AE=45,AC=30×2=60,

所以CE=15,BD=5×2=10,

由于BDsin 60°=10×=15=CE,故CD∥BE,

所以CD=BE-BDcos60°=15-5=10.

答案:10

9.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步,欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为________平方千米. 

【解析】设三角形沙田的三个顶点为A,B,C,其对应边的边长分别为a=13里,b=14里,c=15里,则cos C==,sin C=,S=21×106 m2=21(平方千米).

答案:21

三、解答题(每小题10分,共30分)

10.如图,一艘船由A岛以v海里/小时的速度往北偏东10°的B岛行驶,计划到达B岛后停留10分钟后继续以相同的速度驶往C岛.C岛在B岛的北偏西65°的方向上,C岛也在A岛的北偏西20°的方向上.上午10时整,该船从A岛出发.上午10时20分,该船到达D处,此时测得C岛在北偏西35°的方向上.如果一切正常,此船何时能到达C岛?(精确到1分钟)

【解析】在△ACD中,∠CAD=30°,∠ADC=135°,根据正弦定理得,=,

即CD=AD.

在△BCD中,∠BCD=30°,∠CBD=105°,

根据正弦定理得,==,

即DB+BC=CD.

所以DB+BC=AD,

即DB+BC=AD

=AD=(1+)AD,

从而,此船行驶DB和BC共需20(1+)分钟.

故由A岛出发至到达C岛全程需要50+20分钟.

即该船于11时18分到达岛.(说明:11时19分,也正确.)

11.如图所示,在平面四边形ABCD中,AC与BD为其对角线,已知BC=1,

且cos∠BCD=-.

(1)若AC平分∠BCD,且AB=2,求AC的长.

(2)若∠CBD=45°,求CD的长.

【解析】(1)若对角线AC平分∠BCD,

即∠BCD=2∠ACB=2∠ACD,

所以cos∠BCD=2cos2∠ACB-1=-,

因为cos∠ACB>0,所以cos∠ACB=,

因为在△ABC中,BC=1,AB=2,cos∠ACB=,

所以由余弦定理AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos∠ACB,即AC2-AC-3=0,

解得AC=,或AC=-(舍去),

所以AC的长为.

(2)因为cos∠BCD=-,

所以sin∠BCD==,

又因为∠CBD=45°,所以sin∠CDB=sin(180°-∠BCD-45°)=sin(∠BCD+45°)

=(sin∠BCD+cos∠BCD)=,

所以在△BCD中,由正弦定理得=,

可得CD==5,即CD的长为5.

12.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=.

(1)求索道AB的长;

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

【解题指导】(1)在△ABC中,由cos A和cos C可得sin A和sin C,从而求得sin B,由正弦定理=,可得AB;

(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,由余弦定理得d2=200(37t2-70t+50),结合二次函数即可得最值.

【解析】(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,

所以sin A=,sin C=.

从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)

=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.

由正弦定理=,

得AB=×sin C=×=1 040(m).

所以索道AB的长为1 040 m.

(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,

所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),

因0≤t≤,即0≤t≤8.

故当t=min时,甲、乙两游客距离最短.