人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理当堂检测题

§1.1.2　余弦定理

1.在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab，则C等于

A.30°　　　  B.45°　　　  C.150°　　　  D.135°

解析　在△ABC中，由于已知a2＋b2＝c2＋ab，

则由余弦定理可得cos C＝＝＝，

所以C＝45°，故选B.

答案　B

2.在△ABC中，a＝4，b＝4，C＝30°，则c2等于

A.32－16         B.32＋16

C.16           D.48

解析　由余弦定理得

c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋42－2×4×4×＝32－16.

答案　A

3.边长为5，7，8的三角形中，最大角与最小角之和为

A.90°      B.120°     C.135°     D.150°

解析　设边长为5，7，8的对角分别为A，B，C，

则A＜B＜C.

由题意cos B＝＝.

所以cos(A＋C)＝－cos B＝－，所以A＋C＝120°.

答案　B

4．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝

A．4     B.     C.     D．2

解析　因为cos＝，所以cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.故选A.

答案　A

5.在△ABC中，若a＝b，c＝b，则角C＝________.

解析　由余弦定理可知

cos C＝＝＝－.

又∵C∈(0，π)，∴C＝.

答案　

[限时45分钟；满分80分]

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则C＝

A.150°　　　  B.120°　　　  C.60°　　　  D.30°

解析　cos C＝＝＝－，

所以C＝120°.

答案　B

2.已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大角为

A.60°     B.90°     C.120°     D.150°

解析　由余弦定理得cos C＝＝＝－，

∵0°＜C＜180°，∴C＝150°，

故三角形的最大角是150°.

答案　D

3.若△ABC的内角A，B，C所对边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为

A.      B.8－4     C.1      D.

解析　由(a＋b)2－c2＝4得a2＋b2－c2＝4－2ab，而a2＋b2－c2＝2abcos C，且C＝60°，

则a2＋b2－c2＝ab，所以ab＝.

答案　A

4.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段

A.能组成直角三角形       B.能组成锐角三角形

C.能组成钝角三角形       D.不能组成三角形

解析　最长线段为7，且5＋6＞7，因此能构成三角形.∵52＋62－72＝12＞0，由余弦定理，长为7的边所对的角为锐角，即最大角为锐角，则该三角形一定为锐角三角形.

答案　B

5.在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于

A.1      B.      C.2      D.4

解析　bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2.

答案　C

6.(能力提升)在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为

A.      B.      C.      D.

解析　由余弦定理得cos A＝，解得AC＝3或AC＝－8(舍去).由正弦定理得＝＝.

答案　D

二、填空题(每小题5分，共15分)

7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于________.

解析　cos C＝－cos(A＋B)＝－，

所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝32＋22－2×3×2×＝17，

所以c＝.

答案　

8.在△ABC中，若三个内角A，B，C满足sin2A＝sin2B＋sin Bsin C＋sin2C，则角A等于________.

解析　由条件及正弦定理得a2＝b2＋bc＋c2，

即＝－，由余弦定理得cos A＝－，

又∵A∈(0，π)，∴A＝.

答案　

9.(能力提升)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.

解析　在△ABC中，cos A＝＝＝，

由正弦定理可知＝＝＝＝1.

答案　1

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10.(11分)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a＋c＝2b，且2cos 2B－8cos B＋5＝0，求角B的大小，并判断△ABC的形状.

解析　因为2cos 2B－8cos B＋5＝0，

所以4cos2B－8cos B＋3＝0，

所以cos B＝或cos B＝(舍去).

因为B∈(0°，180°)，所以B＝60°，

所以由余弦定理得cos B＝＝，

又因为a＋c＝2b，

所以a2＋c2－＝ac，

所以4a2＋4c2－(a2＋c2＋2ac)＝4ac，

所以3a2＋3c2－6ac＝0，

所以(a－c)2＝0，

所以a＝c，所以△ABC为等边三角形.

11.(12分)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.

(1)求cos A的值；

(2)求c的值.

解析　(1)由正弦定理得＝，

所以＝，＝，

即cos A＝.

(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

所以32＝(2)2＋c2－2×2c×，

即c2－8c＋15＝0，解得c＝5或c＝3.

当c＝3时，因为a＝3，

所以a＝c，即A＝C，

又因为B＝2A，故A＝C＝B，

又因为A＋C＋B＝π，

故2B＝π，即B＝，所以b＝＝3，这与b＝2矛盾，

故c＝3不合题意舍去.因此c＝5.

12.(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.

(1)求的值；

(2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长.

解析　(1)由正弦定理可设＝＝＝k，

则＝＝，

所以＝，

即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，

化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C).

又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A，

因此＝2.

(2)由＝2，得c＝2a.由余弦定理及cos B＝，

得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2，

所以b＝2a.

又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.