高中人教版新课标A1.1 正弦定理和余弦定理练习题

课时训练2　余弦定理

一、利用余弦定理解三角形

1.在△ABC中,a=1,B=60°,c=2,则b等于(　　)

A.1 B. C. D.3

答案:C

解析:b2=a2+c2-2accos B=1+4-2×1×2×=3,故b=.

2.在△ABC中,c2-a2-b2=ab,则角C为(　　)

A.60° B.45°或135°

C.150° D.30°

答案:C

解析:∵cos C==-,∴C=150°.

3.在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于　　　　. 

答案:120°

解析:由正弦定理可得a∶b∶c=3∶5∶7,不妨设a=3,b=5,c=7,则c边最大,∴角C最大.

∴cos C==-.

∵0°<C<180°,∴C=120°.

4.(2015河南郑州高二期末,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=sin C,B=30°,b=2,则边c=　　　　　. 

答案:2

解析:∵在△ABC中,sin A=sin C,∴a=c.

又B=30°,由余弦定理,得cos B=cos 30°=,解得c=2.

二、判断三角形形状

5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b+c=2ccos2,则△ABC是(　　)

A.直角三角形 B.锐角三角形

C.钝角三角形 D.等腰三角形

答案:A

解析:∵b+c=2ccos2,且2cos2=1+cos A,

∴b+c=c(1+cos A),即b=ccos A.

由余弦定理得b=c·,

化简得a2+b2=c2,

∴△ABC是直角三角形.

6.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是(　　)

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.不能确定

答案:A

解析:由sin2A+sin2B<sin2C,得a2+b2<c2,

所以cos C=<0,

所以∠C为钝角,

即△ABC为钝角三角形.

7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=2bcos C,试判断△ABC的形状.

解法一:∵cos C=,代入a=2bcos C,

得a=2b·,

∴a2=a2+b2-c2,即b2-c2=0.

∴b=c.∴△ABC为等腰三角形.

解法二:根据正弦定理=2R,

得a=2Rsin A,b=2Rsin B,

代入已知条件得2Rsin A=4Rsin Bcos C,

即sin A=2sin Bcos C,

∵A=π-(B+C),∴sin A=sin(B+C).

∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C.

∴sin Bcos C-cos Bsin C=0.∴sin(B-C)=0.

又-π<B-C<π,∴B-C=0,即B=C.

∴△ABC是等腰三角形.

三、正弦定理、余弦定理的综合应用

8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为(　　)

A.- B. C. D.-

答案:A

解析:∵2sin B=3sin C,∴2b=3c.

又b-c=,∴a=2c,b=c.

∴cos A==-.

9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A=　　　　. 

答案:

解析:∵sin C=2sin B,

∴由正弦定理得c=2b.

∵a2-b2=bc,

∴cos A=

=,

∴A=.

10.(2015山东威海高二期中,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足4acos B-bcos C=ccos B.

(1)求cos B的值;

(2)若ac=12,b=3,求a,c.

解:(1)已知等式4acos B-bcos C=ccos B,利用正弦定理,得4sin Acos B-sin Bcos C=sin Ccos B,

整理,得4sin Acos B=sin(B+C),

即4sin Acos B=sin A,

∵sin A≠0,∴cos B=.

(2)∵ac=12,b=3,cos B=,

∴由b2=a2+c2-2accos B,

得a2+c2=24,

联立a2+c2=24与ac=12,解得a=c=2.

(建议用时:30分钟)

1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C= ,则sin B=(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:由已知根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4,

∴c=2,即B=C,

∴sin B=.

2.(2015河北邯郸三校联考,3)在△ABC中,如果sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,那么cos C等于(　　)

A. B.- C.- D.-

答案:D

解析:由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶3∶4,

可设a=2k,b=3k,c=4k(k>0),

由余弦定理可得cos C==-,故选D.

3.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则(　　)

A.a>b

B.a<b

C.a=b

D.a与b的大小关系不能确定

答案:A

解析:由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得2a2=a2+b2+ab,∴a2-b2=ab>0,∴a2>b2,∴a>b.

4.△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则的值为(　　)

A.19 B.14 C.-18 D.-19

答案:A

解析:cos B=,

∴=||||cos B=7×5×=19.

5.在不等边三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,如果sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角A的取值范围为(　　)

A. B.

C. D.

答案:D

解析:由题意得sin2A<sin2B+sin2C,

再由正弦定理得a2<b2+c2,即b2+c2-a2>0,

则cos A=>0,

∵0<A<π,∴0<A<.

又a为最大边,∴A>.

因此得角A的取值范围是.

6.已知在△ABC中,2B=A+C,b2=ac,则△ABC的形状为　　　　　. 

答案:等边三角形

解析:∵2B=A+C,又A+B+C=180°,∴B=60°.

又b2=ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 60°=a2+c2-ac,

∴有a2+c2-ac=ac,从而(a-c)2=0,

∴a=c,故△ABC为等边三角形.

7.(2015北京高考,12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=　　　　　. 

答案:1

解析:在△ABC中,由正弦定理知,=2cos A·=2cos A×cos A,

再根据余弦定理,得cos A=,

所以=1.

8.在△ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccos A+accos B+abcos C的值为　　　　. 

答案:

解析:由余弦定理得bccos A+accos B+abcos C=.

9.在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试判定△ABC的形状.

解:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,

得(a+b)2-c2=3ab,

即a2+b2-c2=ab.

∴cos C=.

∵0°<C<180°,∴C=60°.

∵A+B+C=180°,

∴sin C=sin(A+B).

又∵2cos Asin B=sin C,

∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,

∴sin(A-B)=0.

∵A,B均为△ABC的内角,∴A=B.

因此△ABC为等边三角形.

10.在△ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=,求b.

解:由正弦定理得=2cos A,

∴.

又a+c=10,∴a=4,c=6.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,

得,

∴b=4或b=5.

当b=4时,∵a=4,∴A=B.

又C=2A,且A+B+C=π,

∴A=,与已知cos A=矛盾,

不合题意,舍去.

当b=5时,满足题意,∴b=5.