2021年天津市南开区中考数学一模试卷

这是一份2021年天津市南开区中考数学一模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）（﹣30）﹣（﹣20）的结果等于（ ）
A．10B．﹣10C．50D．﹣50
2．（3分）tan60°的值等于（ ）
A．B．C．3D．
3．（3分）据国家邮政局统计，2021年农历除夕和初一两天，全国快递处理超130 000 000件，与去年同期相比增长223%，快递的春节“不打烊”服务确保了广大用户能够顺利收到年货，欢度佳节．将130 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A．1.3×107B．13×107C．1.3×108D．0.13×109
4．（3分）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）如图所示的几何体，它的左视图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）估计﹣3的值在（ ）
A．1和2之间B．﹣1和0之间C．2和3之间D．﹣2和﹣1之间
7．（3分）方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），C（2，0）且∠AOC＝60°，则菱形OABC两对角线的交点D的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（，）C．（1，）D．（，）
9．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（a、y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，且﹣2＜a＜0，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y2＜y3
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝23°，则∠PFE的度数为（ ）
A．23°B．25°C．30°D．46°
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠使点B落在矩形内点F处，则下列说法错误的是（ ）
A．直线AE为线段BF的垂直平分线
B．∠EFC＝∠ECF
C．BE＝EF＝EC
D．CF＝
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，顶点坐标为（﹣1，m），与x轴的一个交点的坐标为（﹣3，0），给出以下结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④当﹣3＜x＜0时方程ax2+bx+c＝t有实数根，则t的取值范围是0＜t≤m．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）化简：2x2+1﹣3x+7﹣2x2+5x＝ ．
14．（3分）计算（+2）（﹣2）的结果等于 ．
15．（3分）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有 个．
16．（3分）已知一次函数y＝kx+6的图象经过点A（2，﹣2），则k的值为 ．
17．（3分）如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动．活动结束后，校教导处对本校八年级学生4月份的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，扇形统计图中的m的值为 ；
（Ⅱ）求本次抽取学生4月份“读书量”的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）已知该校八年级有700名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”为4本的学生人数．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP交⊙O于点C，连接BC．
（1）如图1，若∠P＝20°，求∠B的度数．
（2）如图2，过点A作弦AD⊥OP于点E，连接DC，若OE＝CD，求∠P的度数．
22．（10分）如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．
（1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；
（2）若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A'时，测得港口B在A'的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．
23．（10分）小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地，设小明出发x（min）后，到达距离甲地y（m）的地方，图中的折线表示的是y与x之间的函数关系．
（Ⅰ）甲、乙两地的距离为 ，a＝ ；
（Ⅱ）求小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式；
（Ⅲ）在小明从甲地出发的同时，小红从乙地步行至甲地，保持100m/min的速度不变，到甲地停止，当小明从甲地出发 min时，与小红相距200米．
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（3，0），（0，1）．点D是边BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线y＝﹣x+b交边OA于点E．
（Ⅰ）如图①，求点D和点E的坐标（用含b的式子表示）；
（Ⅱ）如图②，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，试探究矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；
（Ⅲ）矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D是在直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点N，DM∥y轴交AC于点M，求△DMN周长的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，点P为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接OP，OP与AC相交于点Q，求的最大值．
2021年天津市南开区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（﹣30）﹣（﹣20）的结果等于（ ）
A．10B．﹣10C．50D．﹣50
【分析】原式利用减法法则变形，计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣30+20
＝﹣10．
故选：B．
2．（3分）tan60°的值等于（ ）
A．B．C．3D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案．
【解答】解：tan60°＝×
＝3．
故选：C．
3．（3分）据国家邮政局统计，2021年农历除夕和初一两天，全国快递处理超130 000 000件，与去年同期相比增长223%，快递的春节“不打烊”服务确保了广大用户能够顺利收到年货，欢度佳节．将130 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A．1.3×107B．13×107C．1.3×108D．0.13×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：130000000＝1.3×108．
故选：C．
4．（3分）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
5．（3分）如图所示的几何体，它的左视图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从几何体的左面看，底层是两个小矩形，上层是一个较大的矩形．
故选：D．
6．（3分）估计﹣3的值在（ ）
A．1和2之间B．﹣1和0之间C．2和3之间D．﹣2和﹣1之间
【分析】先估算出的大小，进而估算出的范围．
【解答】解：∵16＜21＜25，
∴，
∴，
∴﹣3的值在1和2之间．
故选：A．
7．（3分）方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②×2得：7x＝21，
解得：x＝3，
把x＝3代入②得：6﹣y＝1，
解得：y＝5，
则方程组的解为．
故选：A．
8．（3分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），C（2，0）且∠AOC＝60°，则菱形OABC两对角线的交点D的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（，）C．（1，）D．（，）
【分析】先求出点A坐标，由中点坐标公式可求解．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥OC于E，
∵点O（0，0），C（2，0），
∴OC＝2，
∵四边形ABCO是菱形，
∴OA＝OC＝2，AD＝CD，
∵∠AOC＝60°，AE⊥OC，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝AO＝1，AE＝OE＝，
∴点A（1，），
∵AD＝CD，
∴点D（，），
故选：B．
9．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（a、y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，且﹣2＜a＜0，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y2＜y3
【分析】利用k＜0，在图象的每一支上，y随x的增大而增大，双曲线在第二四象限，分别分析即可得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中的k＝﹣4＜0，
∴在图象的每一支上，随x的增大而增大，双曲线在第二四象限，
∵﹣2＜a＜0，
∴y2＞y1＞0，
∵C（3，y3）在第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝23°，则∠PFE的度数为（ ）
A．23°B．25°C．30°D．46°
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形．
【解答】解：在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝BC，PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝23°，
∴∠PEF＝∠PFE＝23°．
故选：A．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠使点B落在矩形内点F处，则下列说法错误的是（ ）
A．直线AE为线段BF的垂直平分线
B．∠EFC＝∠ECF
C．BE＝EF＝EC
D．CF＝
【分析】连接BF，由折叠的性质可判断选项A，B，C，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，进而证明HF是△CEF的高，根据勾股定理求出CF的长．
【解答】解：连接BF，作FG⊥BC，
∵将△ABE沿AE折叠使点B落在矩形内点F处，
∴AB＝AF，BE＝EF，
∴直线AE是线段BF的垂直平分线，故选项A不合题意；
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3＝EC＝EF，故选项B不合题意；
∴∠EFC＝∠ECF，故选项C不合题意；
又∵AB＝4，
∴AE＝＝＝5，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）
∴BH＝＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
根据勾股定理得，CF＝＝＝，故选项D符合题意，
故选：D．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，顶点坐标为（﹣1，m），与x轴的一个交点的坐标为（﹣3，0），给出以下结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④当﹣3＜x＜0时方程ax2+bx+c＝t有实数根，则t的取值范围是0＜t≤m．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，故ab＞0，而c＞0，故abc＞0正确，符合题意；
②由图象可以看出，x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0正确，符合题意；
③若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，函数的对称轴为：x＝﹣1，点C比点B离对称轴近，故则y1＜y2正确，符合题意；
④当﹣3＜x＜0时方程ax2+bx+c＝t有实数根，即y＝ax2+bx+c与y＝t有交点，故则t的取值范围是0＜t≤m正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）化简：2x2+1﹣3x+7﹣2x2+5x＝ 2x+8 ．
【分析】先确定同类项，然后再利用合并同类项法则进行计算即可．
【解答】解：2x2+1﹣3x+7﹣2x2+5x
＝（2x2﹣2x2）+（﹣3x+5x）+（1+7）
＝2x+8．
故答案为：2x+8．
14．（3分）计算（+2）（﹣2）的结果等于 7 ．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（）2﹣22
＝11﹣4
＝7．
故答案为7
15．（3分）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有 6 个．
【分析】球的总数乘以红球所占球的总数的比例即为红球的个数．
【解答】解：红球个数为：40×15%＝6个．
故答案为：6．
16．（3分）已知一次函数y＝kx+6的图象经过点A（2，﹣2），则k的值为 ﹣4 ．
【分析】把点A的坐标代入一次函数解析式求出即可．
【解答】解：把点A（2，﹣2）代入y＝kx+6，得﹣2＝2k+6，
解得k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
17．（3分）如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为 ．
【分析】①当点P在点D时，y＝AB×AD＝×a×a＝8，解得：a＝4，②当点P在点C时，y＝EP×AB＝×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，③当x＝7时，y＝S正方形ABCD﹣（S△ABE+S△ECP+S△APD，即可求解．
【解答】解：设正方形的边长为a，
①当点P在点D时，y＝AB×AD＝×a×a＝8，解得：a＝4，
②当点P在点C时，y＝EP×AB＝×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，
③当x＝7时，如下图所示：
此时，PC＝1，PD＝7﹣4＝3，
当x＝7时，y＝S正方形ABCD﹣（S△ABE+S△ECP+S△APD）＝4×4﹣（4×1+1×3+4×3）＝．
故答案为：．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 6 ．
【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，依据A与A'关于BC对称，可得AD＝A'D，进而得出AD+DE＝A'D+DE，当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，依据AD+DE的最小值为3，即可得到2AD+CD的最小值为6．
【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，AA'＝2，∠C＝30°，
∴Rt△CDE中，DE＝CD，即2DE＝CD，
∵A与A'关于BC对称，
∴AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，
∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，
此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'＝×2＝3，
∴AD+DE的最小值为3，
即2AD+CD的最小值为6，
故答案为：6．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤2 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞0 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 0＜x≤2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤2；
（Ⅱ）解不等式②，得x＞0；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如下：
（Ⅳ）原不等式组的解集为0＜x≤2．
故答案为：x≤2，x＞0，0＜x≤2．
20．（8分）每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动．活动结束后，校教导处对本校八年级学生4月份的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 60 ，扇形统计图中的m的值为 35 ；
（Ⅱ）求本次抽取学生4月份“读书量”的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）已知该校八年级有700名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”为4本的学生人数．
【分析】（Ⅰ）根据1本的人数和所占的百分比求出总人数，再用读3本的人数除以总人数求出m的值即可；
（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义即可得出答案；
（Ⅲ）用八年级的总人数乘以“读书量”为4本的学生人数所占的百分比即可．
【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为3÷5%＝60（人），
m%＝×100%＝35%，即m＝35．
故答案为：60，35；
（Ⅱ）读4本的人数有：60×20%＝12（人），
本次所抽取学生4月份“读书量”的平均数是：＝3（本）；
根据统计图可知众数为3本；
把这些数从小到大排列，中位数是第30、31个数的平均数，
则中位数是＝3（本）；
（Ⅲ）根据题意得：700×20%＝140（人），
答：该校八年级学生中4月份“读书量”为4本的学生人数大约是140人．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP交⊙O于点C，连接BC．
（1）如图1，若∠P＝20°，求∠B的度数．
（2）如图2，过点A作弦AD⊥OP于点E，连接DC，若OE＝CD，求∠P的度数．
【分析】（1）利用切线的性质得到∠PAB＝90°，则利用互余计算出∠AOP＝70°，然后根据圆周角定理得到∠B的度数；
（2）如图2，连接DB，OD，根据垂径定理得到AE＝ED，＝，则可判断OE为△ABD的中位线，所以OE＝BD，从而得到CD＝DB．所以，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，然后根据切线的性质得到∠PAO＝90°，则利用互余可求出∠P的度数．
【解答】解：（1）∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠PAB＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣20°＝70°，
∴∠B＝∠AOC＝×70°＝35°；
（2）如图2，连接DB，OD，
∵弦AD⊥OP于点E，
∴AE＝ED，＝，
∵OA＝OB，AE＝DE，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE＝BD，
∵OE＝CD，
∴CD＝DB．
∴，
∴，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣60°＝30°．
22．（10分）如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．
（1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；
（2）若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A'时，测得港口B在A'的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．
【分析】（1）延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，由直角三角形的性质和锐角三角函数的定义求出AC即可；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，证出A′B平分∠CBA，得A'E＝A'N，设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，证出A'C＝2A'N＝x，由题意得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，
由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则CD＝BC＝60海里，
∵cs∠ACD＝＝cs30°＝，
即＝，
∴AC＝40（海里），
答：此时点A到军港C的距离为40海里；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：
由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，
∵A'E∥CD，
∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，
∴∠BA′A＝45°，
∵∠BA'E＝75°，
∴∠ABA'＝15°，
∴∠2＝15°＝∠ABA'，
即A′B平分∠CBA，
∴A'E＝A'N，
设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，
∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，
∴A'C＝2A'N＝x，
∵A'C+AA'＝AC，
∴x+x＝40，
解得：x＝60﹣20，
∴AA'＝（60﹣20）海里，
答：此时渔船的航行距离为（60﹣20）海里．
23．（10分）小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地，设小明出发x（min）后，到达距离甲地y（m）的地方，图中的折线表示的是y与x之间的函数关系．
（Ⅰ）甲、乙两地的距离为 2000m ，a＝ 14 ；
（Ⅱ）求小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式；
（Ⅲ）在小明从甲地出发的同时，小红从乙地步行至甲地，保持100m/min的速度不变，到甲地停止，当小明从甲地出发 6或 min时，与小红相距200米．
【分析】（Ⅰ）根据图象可知甲、乙两地的距离为2000m，根据以相同的速度原路返回，可知a＝24﹣10＝14；
（Ⅱ）设y与x解析式为y＝kx+b，把（14，2000）与（24，0）代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（Ⅲ）先求出小明骑自行车的速度，再根据题意列方程解答即可．
【解答】解：（Ⅰ）由图象可知，甲、乙两地的距离为2000m；a＝24﹣10＝14；
（Ⅱ）设y＝kx+b，
把（14，2000）与（24，0）代入得：
，
解得：k＝﹣200，b＝4800，
则y＝﹣200x+4800；
（Ⅲ）小明骑自行车的速度为：2000÷10＝200（m/min），
根据题意，得（200+100）x＝2000﹣200或（200+100）x＝2000+200，
解得x＝6或x＝，
即小明从甲地出发6分钟或分钟，与小红相距200米．
故答案为：（Ⅰ）2000m；14；（Ⅲ）6或．
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（3，0），（0，1）．点D是边BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线y＝﹣x+b交边OA于点E．
（Ⅰ）如图①，求点D和点E的坐标（用含b的式子表示）；
（Ⅱ）如图②，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，试探究矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；
（Ⅲ）矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．
【分析】（1）根据题意得出点D纵坐标为1，点E的纵坐标为0，代入解析式即可；
（2）如图根据菱形的性质和勾股定理从而得出结论；
（3）分两种情况得出菱形面积的最大和最小值．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴CB∥x轴，
由点A，C的坐标分别为（3，0），（0，1）．
可得点D的纵坐标为1，
当y＝1时，y＝+b，
解得：x＝2b﹣2，
∴D的坐标为（2b﹣2，1）
当y＝0时，y＝+b，
解得：x＝2b，
∴E的坐标为（2b，0）
（Ⅱ）CB与O1A1的交点为M，C1B1与OA的交点为N，如图：
∵四边形OABC，四边形O1A1B1C1是矩形，
∴CB∥OA，C1B1∥O1A1，
∴四边形DMEN是平行四边形，
∵矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，
∴∠1＝∠2，
∵CB∥OA，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴DM＝ME，
∴平行四边形DMEN是菱形，
过点D作DH⊥OA于点H，
由D（2b﹣2，1），E（2b，0），
可知CD＝2b﹣2，OE＝2b，OH＝CD＝2b﹣2，
∴EH＝OE﹣OH＝2b﹣（2b﹣2）＝2，
设菱形DMEN的边长为m，
在Rt△DHN中，DH＝1，HN＝EH﹣NE＝2﹣m，DN＝m，
由DH2+HN2＝DN2，得12+（2﹣m）2＝m2，
解得：m＝，
∴，
所以重叠部分菱形DMEN的面积不变，为；
（Ⅲ）当NE＝1时，菱形面积的最小值是1；
当NE＝时，菱形面积的最大值是．（D与C重合，A与E重合，设DN＝AN＝x，在Rt△DNO中利用勾股定理列出方程计算）
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D是在直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点N，DM∥y轴交AC于点M，求△DMN周长的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，点P为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接OP，OP与AC相交于点Q，求的最大值．
【分析】（1）根据抛物线经过A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三点，法一：代入抛物线解析式即可；
法二利用交点式得y＝a（x﹣4）（x+1）（a≠0），将C（0，4）坐标代入即可计算；
法三根据A（4，0）、B（﹣1，0）利用对称轴方程即可求解；
（2）延长DM交x轴于点H，根据题意证明△DMN是等腰直角三角形，然后求出直线AC的解析式为y＝﹣x+4，设D（m，﹣m2+3m+4），∴M（m，﹣m+4），根据等腰三角形的性质即可得结论；
（3）法一：过PM∥y轴交AC于点M，由题意，设P（m，﹣m2+3m+4），∴M（m，﹣m+4），根据平行线分线段成比例定理列式计算即可；
法二：设Q（m，﹣m+4），P（n，﹣n2+3n+4），求出直线OP的解析式，将P（n，﹣n2+3n+4）坐标代入列式计算即可．
【解答】解：（1）法一：依题意，得，
解之，得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．
法二：依题意，得y＝a（x﹣4）（x+1）（a≠0），
将C（0，4）坐标代入得，
﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．
法三：依题意，得，
解之，得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）如图1，延长DM交x轴于点H，
∵OA＝OC＝4，OA⊥OC，DM∥y轴交AC于点M，
∴∠OAC＝45°，∠AHM＝90°，
∵DN⊥AC于点N，
∴∠AMH＝∠DMN＝45°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴．
设直线AC的解析式为y＝kx+b'（k≠0），
将A（4，0）、C（0，4）两点坐标代入得，
解得，
所以直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
设D（m，﹣m2+3m+4），
∴M（m，﹣m+4），
∴DM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，DM最大值为4，
此时D（2，6），
∵△DMN是等腰直角三角形，
∴△DMN周长＝，
∴△DMN周长的最大值为，
此时D（2，6）．
（3）法一：如图2，过PM∥y轴交AC于点M，
设P（m，﹣m2+3m+4），
∴M（m，﹣m+4），
∴PM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∵PM∥OC，
∴，
∴，
∵，
∴当m＝2时，的最大值为1．
法二：如图2，设Q（m，﹣m+4），P（n，﹣n2+3n+4），
∴．
设直线OP的解析式为y＝kx（k≠0），
将Q（m，﹣m+4）点代入得，
∴直线OP的解析式，
将P（n，﹣n2+3n+4）坐标代入得，，
所以，
化简得，
∴，
∵
∴当n＝2时，的最大值为1．
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日期：2021/4/22 5:17:04；用户：数学31；邮箱：yingfa093@xyh.cm；学号：38559246