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2021年天津市和平区中考数学一模试卷
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这是一份2021年天津市和平区中考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年天津市和平区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项叫只有项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（﹣3）﹣（﹣6）的结果等于（ ）
A．3 B．﹣3 C．9 D．18
2．（3分）3tan30°的值等于（ ）
A． B．3 C． D．
3．（3分）将139 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．1.39×107 B．1.39×108 C．1.39×109 D．13.9×107
4．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）估计﹣2的值（ ）
A．在4和5之间 B．在3和4之间 C．在2和3之间 D．在1和2之间
7．（3分）计算﹣的结果为（ ）
A．1 B．3 C． D．
8．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）已知反比例函数y＝，当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（ ）
A．y＜0 B．﹣3＜y＜﹣1 C．﹣6＜y＜﹣2 D．2＜y＜6
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AB边上一点，将△CBD沿着CD折叠，点B恰好落在AC边上的点E处，若∠B＝70°，则∠ADE的大小为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
11．（3分）如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过点（1，0），（0，﹣1），其对称轴在y轴右侧．
有下列结论：
①a﹣b﹣1＝0；
②方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣；
③a＞1．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、（本大匹共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算（2a）4的结果等于 ．
14．（3分）计算：（+）（﹣）的结果等于 ．
15．（3分）一个不透明袋子中装有10个球，其中有5个红球，3个白球，2个黑球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是 ．
16．（3分）将直线y＝10x向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为 ．
17．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是边BC上一点，AE的垂直平分线分别交AB，BD，CD于点F，G，H．若GE＝5，则FH的长为 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A，O均在格点上，半圆O的半径为3，PT与半圆O相切于点T．
（Ⅰ）∠PTO的大小＝ （度）；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PT．并简要说明点T的位显是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组销售额数据，绘制出统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）该商场服装部营业员的人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数．
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．
22．（10分）如图，海中有一个小岛A，它的周围8nmile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行10nmile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
23．（10分）A市和B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台．已知从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为130元和200元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为100元和150元．
（Ⅰ）填空：
若从A市运往C市机器5台，
①从A市运往D市机器 台；
②从B市运往C市机器 台；
③从B市运往D市机器 台；
（Ⅱ）填空：
设从A市运往C市机器x台，总运费为y元，
①从A市运往D市机器 台；
②从B市运往C市机器 台；
③从B市运往D市机器 台；
④总运费y关于x的函数关系式为y＝ ；
⑤若总运费不超过2650元，共有 种不同的调运方案．
（Ⅲ）求使总运费最低的调运方案，最低总运费是多少？
24．（10分）已知矩形OABC在平面直角坐标系中，点A（1，0），点C（0，2），点O（0，0），把矩形OABC绕点O顺时针旋转135°，得到矩形ODEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．DE交y轴于点M．
（Ⅰ）如图①，求∠FOM的大小及OM的长；
（Ⅱ）将矩形ODEF沿y轴向上平移，得到矩形O'D'E'F'，点O，D，E，F的对应点分别为O'，D'，E'，F′．设OO'＝t（0＜t≤2）．
①如图②，直线D'E'与x轴交于点N，若CN∥BO，求t的值；
②若矩形O′D′E′F′与矩形OABC重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）．
25．（10分）已知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（Ⅱ）过点C作直线l∥x轴，动点P（t，3）在直线l上，
①连接BD，当点P在线段BD上时，过点P作PE∥y轴，与x轴交于点E．连接CE，把△PCE沿直线CE翻折，点P的对应点为P′，P'E与y轴交于点G，求CG的长；
②点N在抛物线上，且在第四象限，满足S△NBD＝S△ABD．动点Q（t，0）在x轴上，连接DP，PQ，QN，当t为何值时，DP+PQ+QN的值最小，并求出DP+PQ+QN的最小值．
2021年天津市和平区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项叫只有项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（﹣3）﹣（﹣6）的结果等于（ ）
A．3 B．﹣3 C．9 D．18
【分析】原式利用减法法则变形，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣3+6＝3，
故选：A．
2．（3分）3tan30°的值等于（ ）
A． B．3 C． D．
【分析】直接把tan30°＝代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝3×＝．
故选：A．
3．（3分）将139 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．1.39×107 B．1.39×108 C．1.39×109 D．13.9×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：139000000＝1.39×108．
故选：B．
4．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
5．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据简单组合体的三视图的意义进行判断即可．
【解答】解：选项A中的图形比较符合该组合体的俯视图，
故选：A．
6．（3分）估计﹣2的值（ ）
A．在4和5之间 B．在3和4之间 C．在2和3之间 D．在1和2之间
【分析】先估算出的大小，进而估算﹣2的范围．
【解答】解：∵25＜35＜36，
∴5＜＜6，
∴3＜﹣2＜4，
∴﹣2的值在3和4之间．
故选：B．
7．（3分）计算﹣的结果为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝，
故选：D．
8．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×2﹣②得：3y＝12，
解得：y＝4，
把y＝4代入①得：x+8＝14，
解得：x＝6，
则方程组的解为．
故选：A．
9．（3分）已知反比例函数y＝，当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（ ）
A．y＜0 B．﹣3＜y＜﹣1 C．﹣6＜y＜﹣2 D．2＜y＜6
【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．
【解答】解：∵k＝6＞0，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵当x＝﹣3时，y＝﹣2，
当x＝﹣1时，y＝﹣6，
∴当﹣3＜x＜﹣1时，﹣6＜y＜﹣2．
故选：C．
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AB边上一点，将△CBD沿着CD折叠，点B恰好落在AC边上的点E处，若∠B＝70°，则∠ADE的大小为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【分析】由折叠的性质可求得∠ACD＝∠BCD，∠BDC＝∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，即可解决问题
【解答】解：∵△CBD折叠到△CED，
∴∠B＝∠DEC＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°×2＝40°，
∴ADE＝∠DEC﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，
故选：B．
11．（3分）如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】作AH⊥OB于H．交OC于P，作PQ⊥OA于Q，可得PA+PQ＝PA+PH＝AH，根据垂线段最短，PA+PQ最小值为AH，
【解答】解：作AH⊥OB于H，交OC于P，作PQ⊥OA于Q，
∵∠OAB＝∠AOB＝15°，
∴PH＝PQ，
∴PA+PQ＝PA+PH＝AH，
∴PA+PQ的最小值为AH，
在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝6，∠ABH＝30°，
∴AH＝AB＝3，
∴PA+PQ的最小值为3，
故选：C．
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过点（1，0），（0，﹣1），其对称轴在y轴右侧．
有下列结论：
①a﹣b﹣1＝0；
②方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣；
③a＞1．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①由抛物线过点（1，0）），（0，﹣1），即可得出a+b﹣1＝0，结论①错误；
②由根与系数的关系得到1+m＝﹣，即可m＝﹣1﹣＝﹣＝﹣，结论②正确；
③由抛物线的对称性得出另一个交点的横坐标m＞﹣1，即可得到﹣＞﹣1，可得出a＞1，结论③正确．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过点（1，0），（0，﹣1），
∴a+b+c＝0，c＝﹣1，
∴a+b﹣1＝0，结论①错误；
②由①知，a+b＝1，
设抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）与x轴的另一交点为（m，0），
∴1，m是方程ax2+bx+c＝0的两个根，
∴1+m＝﹣，
∴m＝﹣1﹣＝﹣＝﹣，结论②正确；
③∵抛物线过点（1，0），对称轴在y轴右侧．
∴另一个交点的横坐标m＞﹣1，
由②可知．m＝﹣，
∴﹣＞﹣1，
∴a＞1，结论③正确．
故选：C．
二、（本大匹共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算（2a）4的结果等于 16a4 ．
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：（2a）4＝16a4．
故答案为：16a4．
14．（3分）计算：（+）（﹣）的结果等于 3 ．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝5﹣2
＝3．
故答案为3．
15．（3分）一个不透明袋子中装有10个球，其中有5个红球，3个白球，2个黑球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵一个不透明袋子中装有10个球，其中有3个白球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是．
故答案为：．
16．（3分）将直线y＝10x向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为 y＝10x+3 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将直线y＝10x向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为y＝10x+3．
故答案为：y＝10x+3．
17．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是边BC上一点，AE的垂直平分线分别交AB，BD，CD于点F，G，H．若GE＝5，则FH的长为 5 ．
【分析】过点H作HM⊥AB，垂足为M，设FH交AE于N，连接AG，CG，利用垂直平分线的性质和正方形的性质，证明△ABE≌△HMF和△ABG≌△CBG，利用全等三角形的性质，求得∠AGE＝90°，再利用勾股定理可求．
【解答】解：过点H作HM⊥AB，垂足为M，设FH交AE于N，连接AG，CG，如图
∵FH是AE的垂直平分线，
∴∠ANF＝90°，AN＝NE，AG＝GE，
∴∠BAE+∠AFN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝BC，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠AFN＝∠AEB，
∵HM⊥AB，
∴∠AMH＝∠HMF＝90°，
∴四边形ADHM是矩形，
∴AD＝HM＝AB，
在△ABE和△HMF中，
，
∴△ABE≌△HMF（AAS），
∴FH＝AE，
∵G在AE的垂直平分线HF上，
∴GA＝GE＝5，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABG＝∠CBG＝45°，
在△ABG和△CBG中，
，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠GAB＝∠GCB，
∴GE＝GC，
∴∠GEC＝∠GCE，
∴∠GEC＝∠GAB，
∵∠GEC+∠GEB＝180°，
∴∠GAB+∠GEB＝180°，
∴∠AGE＝360°﹣∠ABE﹣（∠BAG+∠GEB）＝360°﹣90°﹣180°＝90°，
∵GA＝GE＝5，
在Rt△AGE中，AE＝＝5，
∴FH＝AE＝5，
故答案为：5．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A，O均在格点上，半圆O的半径为3，PT与半圆O相切于点T．
（Ⅰ）∠PTO的大小＝ 90 （度）；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PT．并简要说明点T的位显是如何找到的（不要求证明） 如图，取格点C，连接PC即为切线，切点是T，线段PT即为所求作 ．
【分析】（Ⅰ）利用切线的性质判断即可．
（Ⅱ）如图，取格点C，连接PC即为切线，切点是T，线段PT即为所求作．
【解答】解：（Ⅰ）∠PTO的大小＝90（度）；
故答案为：90．
（Ⅱ）如图，取格点C，连接PC即为切线，切点是T，线段PT即为所求作．
理由：等腰三角形的高相等，可以证明高OT＝高CH＝3，推出PC是⊙O的切线．
故答案为：如图，取格点C，连接PC即为切线，切点是T，线段PT即为所求作．
三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥2 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≤4 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 2≤x≤4 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥2；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤4；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为2≤x≤4．
故答案为：x≥2，x≤4，2≤x≤4．
20．（8分）某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组销售额数据，绘制出统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）该商场服装部营业员的人数为 25 ，图①中m的值为 28 ；
（Ⅱ）求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数．
【分析】（Ⅰ）根据条形统计图中的数据，可以计算出该商场服装部营业员的人数，再根据扇形统计图中的数据，可以得到m的值；
（Ⅱ）根据条形统计图中的数据，可以计算出这组数的平均数，得到相应的众数和中位数．
【解答】解：（Ⅰ）该商场服装部营业员有2+5+7+8+3＝25（人），
m%＝1﹣8%﹣20%﹣32%﹣12%＝28%，
即m＝28，
故答案为：25，28；
（Ⅱ）＝＝15.6（万元），
众数是18万元，
中位数是15万元，
由上可得，统计的这组销售额数据的平均数是15.6万元、众数是18万元、中位数是15万元．
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠CDB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系可得答案；
（2）由半径的关系可得∠ODB＝∠OBD，再利用∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°可得∠CDB＝20°，最后根据直角三角形锐角互余可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝56°，
∴∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣56°＝34°，
在⊙O中，∠COB＝2∠CDB＝2×34°＝68°．
（II ）∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
即∠ODC+∠CDB＝∠OBD，
∵∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，
∴20°+∠CDB＝2∠CDB，
∴∠CDB＝20°，
∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
在Rt△CDE中，∠DCE＝90°﹣∠CDE＝90°﹣20°＝70°．
22．（10分）如图，海中有一个小岛A，它的周围8nmile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行10nmile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
【分析】过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据正弦的定义求出AE，比较大小得到答案．
【解答】解：过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，
由题意得，∠CBA＝60°，∠EAD＝30°，
∴∠ABD＝30°，∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠ADE﹣∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝AB＝10nmile，
在Rt△ADE中，sin∠ADE＝，
∴AE＝AD•sin∠ADE＝5（nmile），
∵5＞8，
∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
23．（10分）A市和B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台．已知从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为130元和200元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为100元和150元．
（Ⅰ）填空：
若从A市运往C市机器5台，
①从A市运往D市机器 7 台；
②从B市运往C市机器 5 台；
③从B市运往D市机器 1 台；
（Ⅱ）填空：
设从A市运往C市机器x台，总运费为y元，
①从A市运往D市机器 （12﹣x） 台；
②从B市运往C市机器 （10﹣x） 台；
③从B市运往D市机器 （x﹣4） 台；
④总运费y关于x的函数关系式为y＝ ﹣20x+2800 ；
⑤若总运费不超过2650元，共有 3 种不同的调运方案．
（Ⅲ）求使总运费最低的调运方案，最低总运费是多少？
【分析】（Ⅰ）（Ⅱ）根据题意填空即可；
（Ⅲ）根据表格中的数据可以表示出总的运输费用，然后根据题目中的数据和一次函数的性质，可以求得最低运输费用和此种情况下的调运方案．
【解答】解：（Ⅰ）若从A市运往C市机器5台，
①从A市运往D市机器7台；
②从B市运往C市机器5台；
③从B市运往D市机器1台；
故答案为：7；5；1；
（Ⅱ）设从A市运往C市机器x台，总运费为y元，
①从A市运往D市机器（12﹣x）台；
②从B市运往C市机器（10﹣x）台；
③从B市运往D市机器（x﹣4）台；
④总运费y关于x的函数关系式为y＝130x+200（10﹣x）+100（10﹣x）+150（x﹣4）＝﹣20x+2800；
⑤由题意，得﹣20x+2800≤2650，
解得x≥7.5，
∴x可取8、9、10，
故若总运费不超过2650元，共有3种不同的调运方案．
故答案为：（12﹣x）；（10﹣x）；（x﹣4）；﹣20x+2800；3；
（Ⅲ）∵从A市运往C市机器x台，运往D市机器（12﹣x）台；
从B市运往C市机器（10﹣x）台，运往D市机器（x﹣4）台；
∴4≤x≤10，
∵﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝10时，y取最小值，y的最小值是2600，
答：使得总运费最低的方案是：A市运往C市机器为10台，A市运往D市机器为2台，B市运往C市机器为0台，B市运往D市机器6台，此时总运费为2600元．
24．（10分）已知矩形OABC在平面直角坐标系中，点A（1，0），点C（0，2），点O（0，0），把矩形OABC绕点O顺时针旋转135°，得到矩形ODEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．DE交y轴于点M．
（Ⅰ）如图①，求∠FOM的大小及OM的长；
（Ⅱ）将矩形ODEF沿y轴向上平移，得到矩形O'D'E'F'，点O，D，E，F的对应点分别为O'，D'，E'，F′．设OO'＝t（0＜t≤2）．
①如图②，直线D'E'与x轴交于点N，若CN∥BO，求t的值；
②若矩形O′D′E′F′与矩形OABC重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）．
【分析】（Ⅰ）利用旋转变换的性质求解即可．
（Ⅱ）①根据t＝MM′＝OM﹣OM′，求出OM，OM′可得结论．
②当＜t≤2﹣1时，重叠部分是五边形O′MPAQ，如图③中，利用分割法求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵把矩形OABC绕点O顺时针旋转135°，得到矩形ODEF，
∴∠COF＝135°，∠DOF＝∠D＝90°，OD＝OA，
∴∠FOM＝180°﹣∠COF＝45°，
∵A（1，0），
∴OA＝OD＝1，
∵∠DOM＝90°﹣45°＝45°，
∴OM＝OD＝．
（Ⅱ）①∵四边形OABC是矩形，
∴CB＝OA＝1，CB∥OA，
∵CN∥OB，
∴四边形CNOB是平行四边形，
∴NO＝CB＝1，
设D′E′交y轴于M′，则MM′＝t，
∵四边形ODEF是矩形，
∴OF∥DE，
∵D′E′∥DE，
∴OF∥D′E′，
∴∠NM′O∠FOM＝45°，
∴∠ONM′＝90°﹣∠NM′O＝90°﹣45°＝45°，
∵∠NM′O＝∠ONM′，
∴OM′＝ON＝1，
∴t＝MM′＝OM﹣OM′＝﹣1．
②当＜t≤2﹣1时，重叠部分是五边形O′MPAQ，如图③，此时S＝S梯形OO′QA﹣S△OPM＝•（t+t﹣1）•1﹣•（t﹣）2＝﹣t2+（+1）t﹣．
25．（10分）已知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（Ⅱ）过点C作直线l∥x轴，动点P（t，3）在直线l上，
①连接BD，当点P在线段BD上时，过点P作PE∥y轴，与x轴交于点E．连接CE，把△PCE沿直线CE翻折，点P的对应点为P′，P'E与y轴交于点G，求CG的长；
②点N在抛物线上，且在第四象限，满足S△NBD＝S△ABD．动点Q（t，0）在x轴上，连接DP，PQ，QN，当t为何值时，DP+PQ+QN的值最小，并求出DP+PQ+QN的最小值．
【分析】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；
（Ⅱ）①证明∠PEC＝∠ECG＝∠CEP′，故GE＝CG，在Rt△CEP′中，m2＝（3﹣m）2+1.52，解得m＝，即可求解；
②由S△NBD＝S△ABD求出点N的坐标为（5，﹣12）；将点D向下平移3个单位得到点D′（1，1），当D′、Q、N三点共线时，DP+PQ+QN的值最小，进而求解．
【解答】解：（Ⅰ）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3①，
则函数的对称轴为x＝1，当x＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝4，故点D（1，4）；
（Ⅱ）①如图1，由B、D的坐标得，直线BD的表达式为y＝﹣2x+6，
当y＝3＝﹣2x+6时，x＝，故点P点的坐标为（，3），
∴CP＝1.5＝CP′，CO＝PE＝3，
∵△PCE沿直线CE翻折，点P的对应点为P′，
∴∠PEC＝∠P′EC，
∵PE∥y轴，
∴∠PEC＝∠ECG＝∠CEP′，故GE＝CG，
设CG＝m＝GE，则P′G＝3﹣m，
在Rt△CEP′中，m2＝（3﹣m）2+1.52，解得m＝，
CG＝；
②连接BD，过点A作AN∥BD交抛物线于点N，此时，S△NBD＝S△ABD．
∵AN∥BD，故AN的表达式为y＝﹣2（x+1）②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点N的坐标为（5，﹣12）；
由点P的坐标知，PQ＝3，故将点D向下平移3个单位得到点D′（1，1），当D′、Q、N三点共线时，DP+PQ+QN的值最小，
理由：∵D′D＝PQ＝3，D′D∥PQ，故四边形DD′QP为平行四边形，
则PD＝D′Q，
故DP+PQ+QN＝D′Q+3+QN＝3+D′N，
由点D′、N的坐标得，直线D′N的表达式为y＝﹣x+，
令y＝﹣x+＝0，解得x＝＝t，
即t＝时，DP+PQ+QN的值最小，最小值为3+D′N＝3+＝3+．
2021年天津市和平区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项叫只有项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（﹣3）﹣（﹣6）的结果等于（ ）
A．3 B．﹣3 C．9 D．18
2．（3分）3tan30°的值等于（ ）
A． B．3 C． D．
3．（3分）将139 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．1.39×107 B．1.39×108 C．1.39×109 D．13.9×107
4．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）估计﹣2的值（ ）
A．在4和5之间 B．在3和4之间 C．在2和3之间 D．在1和2之间
7．（3分）计算﹣的结果为（ ）
A．1 B．3 C． D．
8．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）已知反比例函数y＝，当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（ ）
A．y＜0 B．﹣3＜y＜﹣1 C．﹣6＜y＜﹣2 D．2＜y＜6
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AB边上一点，将△CBD沿着CD折叠，点B恰好落在AC边上的点E处，若∠B＝70°，则∠ADE的大小为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
11．（3分）如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过点（1，0），（0，﹣1），其对称轴在y轴右侧．
有下列结论：
①a﹣b﹣1＝0；
②方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣；
③a＞1．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、（本大匹共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算（2a）4的结果等于 ．
14．（3分）计算：（+）（﹣）的结果等于 ．
15．（3分）一个不透明袋子中装有10个球，其中有5个红球，3个白球，2个黑球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是 ．
16．（3分）将直线y＝10x向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为 ．
17．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是边BC上一点，AE的垂直平分线分别交AB，BD，CD于点F，G，H．若GE＝5，则FH的长为 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A，O均在格点上，半圆O的半径为3，PT与半圆O相切于点T．
（Ⅰ）∠PTO的大小＝ （度）；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PT．并简要说明点T的位显是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组销售额数据，绘制出统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）该商场服装部营业员的人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数．
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．
22．（10分）如图，海中有一个小岛A，它的周围8nmile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行10nmile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
23．（10分）A市和B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台．已知从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为130元和200元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为100元和150元．
（Ⅰ）填空：
若从A市运往C市机器5台，
①从A市运往D市机器 台；
②从B市运往C市机器 台；
③从B市运往D市机器 台；
（Ⅱ）填空：
设从A市运往C市机器x台，总运费为y元，
①从A市运往D市机器 台；
②从B市运往C市机器 台；
③从B市运往D市机器 台；
④总运费y关于x的函数关系式为y＝ ；
⑤若总运费不超过2650元，共有 种不同的调运方案．
（Ⅲ）求使总运费最低的调运方案，最低总运费是多少？
24．（10分）已知矩形OABC在平面直角坐标系中，点A（1，0），点C（0，2），点O（0，0），把矩形OABC绕点O顺时针旋转135°，得到矩形ODEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．DE交y轴于点M．
（Ⅰ）如图①，求∠FOM的大小及OM的长；
（Ⅱ）将矩形ODEF沿y轴向上平移，得到矩形O'D'E'F'，点O，D，E，F的对应点分别为O'，D'，E'，F′．设OO'＝t（0＜t≤2）．
①如图②，直线D'E'与x轴交于点N，若CN∥BO，求t的值；
②若矩形O′D′E′F′与矩形OABC重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）．
25．（10分）已知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（Ⅱ）过点C作直线l∥x轴，动点P（t，3）在直线l上，
①连接BD，当点P在线段BD上时，过点P作PE∥y轴，与x轴交于点E．连接CE，把△PCE沿直线CE翻折，点P的对应点为P′，P'E与y轴交于点G，求CG的长；
②点N在抛物线上，且在第四象限，满足S△NBD＝S△ABD．动点Q（t，0）在x轴上，连接DP，PQ，QN，当t为何值时，DP+PQ+QN的值最小，并求出DP+PQ+QN的最小值．
2021年天津市和平区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项叫只有项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（﹣3）﹣（﹣6）的结果等于（ ）
A．3 B．﹣3 C．9 D．18
【分析】原式利用减法法则变形，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣3+6＝3，
故选：A．
2．（3分）3tan30°的值等于（ ）
A． B．3 C． D．
【分析】直接把tan30°＝代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝3×＝．
故选：A．
3．（3分）将139 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．1.39×107 B．1.39×108 C．1.39×109 D．13.9×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：139000000＝1.39×108．
故选：B．
4．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
5．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据简单组合体的三视图的意义进行判断即可．
【解答】解：选项A中的图形比较符合该组合体的俯视图，
故选：A．
6．（3分）估计﹣2的值（ ）
A．在4和5之间 B．在3和4之间 C．在2和3之间 D．在1和2之间
【分析】先估算出的大小，进而估算﹣2的范围．
【解答】解：∵25＜35＜36，
∴5＜＜6，
∴3＜﹣2＜4，
∴﹣2的值在3和4之间．
故选：B．
7．（3分）计算﹣的结果为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝，
故选：D．
8．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×2﹣②得：3y＝12，
解得：y＝4，
把y＝4代入①得：x+8＝14，
解得：x＝6，
则方程组的解为．
故选：A．
9．（3分）已知反比例函数y＝，当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（ ）
A．y＜0 B．﹣3＜y＜﹣1 C．﹣6＜y＜﹣2 D．2＜y＜6
【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．
【解答】解：∵k＝6＞0，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵当x＝﹣3时，y＝﹣2，
当x＝﹣1时，y＝﹣6，
∴当﹣3＜x＜﹣1时，﹣6＜y＜﹣2．
故选：C．
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AB边上一点，将△CBD沿着CD折叠，点B恰好落在AC边上的点E处，若∠B＝70°，则∠ADE的大小为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【分析】由折叠的性质可求得∠ACD＝∠BCD，∠BDC＝∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，即可解决问题
【解答】解：∵△CBD折叠到△CED，
∴∠B＝∠DEC＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°×2＝40°，
∴ADE＝∠DEC﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，
故选：B．
11．（3分）如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】作AH⊥OB于H．交OC于P，作PQ⊥OA于Q，可得PA+PQ＝PA+PH＝AH，根据垂线段最短，PA+PQ最小值为AH，
【解答】解：作AH⊥OB于H，交OC于P，作PQ⊥OA于Q，
∵∠OAB＝∠AOB＝15°，
∴PH＝PQ，
∴PA+PQ＝PA+PH＝AH，
∴PA+PQ的最小值为AH，
在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝6，∠ABH＝30°，
∴AH＝AB＝3，
∴PA+PQ的最小值为3，
故选：C．
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过点（1，0），（0，﹣1），其对称轴在y轴右侧．
有下列结论：
①a﹣b﹣1＝0；
②方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣；
③a＞1．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①由抛物线过点（1，0）），（0，﹣1），即可得出a+b﹣1＝0，结论①错误；
②由根与系数的关系得到1+m＝﹣，即可m＝﹣1﹣＝﹣＝﹣，结论②正确；
③由抛物线的对称性得出另一个交点的横坐标m＞﹣1，即可得到﹣＞﹣1，可得出a＞1，结论③正确．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过点（1，0），（0，﹣1），
∴a+b+c＝0，c＝﹣1，
∴a+b﹣1＝0，结论①错误；
②由①知，a+b＝1，
设抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）与x轴的另一交点为（m，0），
∴1，m是方程ax2+bx+c＝0的两个根，
∴1+m＝﹣，
∴m＝﹣1﹣＝﹣＝﹣，结论②正确；
③∵抛物线过点（1，0），对称轴在y轴右侧．
∴另一个交点的横坐标m＞﹣1，
由②可知．m＝﹣，
∴﹣＞﹣1，
∴a＞1，结论③正确．
故选：C．
二、（本大匹共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算（2a）4的结果等于 16a4 ．
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：（2a）4＝16a4．
故答案为：16a4．
14．（3分）计算：（+）（﹣）的结果等于 3 ．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝5﹣2
＝3．
故答案为3．
15．（3分）一个不透明袋子中装有10个球，其中有5个红球，3个白球，2个黑球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵一个不透明袋子中装有10个球，其中有3个白球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率是．
故答案为：．
16．（3分）将直线y＝10x向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为 y＝10x+3 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将直线y＝10x向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为y＝10x+3．
故答案为：y＝10x+3．
17．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是边BC上一点，AE的垂直平分线分别交AB，BD，CD于点F，G，H．若GE＝5，则FH的长为 5 ．
【分析】过点H作HM⊥AB，垂足为M，设FH交AE于N，连接AG，CG，利用垂直平分线的性质和正方形的性质，证明△ABE≌△HMF和△ABG≌△CBG，利用全等三角形的性质，求得∠AGE＝90°，再利用勾股定理可求．
【解答】解：过点H作HM⊥AB，垂足为M，设FH交AE于N，连接AG，CG，如图
∵FH是AE的垂直平分线，
∴∠ANF＝90°，AN＝NE，AG＝GE，
∴∠BAE+∠AFN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝BC，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠AFN＝∠AEB，
∵HM⊥AB，
∴∠AMH＝∠HMF＝90°，
∴四边形ADHM是矩形，
∴AD＝HM＝AB，
在△ABE和△HMF中，
，
∴△ABE≌△HMF（AAS），
∴FH＝AE，
∵G在AE的垂直平分线HF上，
∴GA＝GE＝5，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABG＝∠CBG＝45°，
在△ABG和△CBG中，
，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠GAB＝∠GCB，
∴GE＝GC，
∴∠GEC＝∠GCE，
∴∠GEC＝∠GAB，
∵∠GEC+∠GEB＝180°，
∴∠GAB+∠GEB＝180°，
∴∠AGE＝360°﹣∠ABE﹣（∠BAG+∠GEB）＝360°﹣90°﹣180°＝90°，
∵GA＝GE＝5，
在Rt△AGE中，AE＝＝5，
∴FH＝AE＝5，
故答案为：5．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A，O均在格点上，半圆O的半径为3，PT与半圆O相切于点T．
（Ⅰ）∠PTO的大小＝ 90 （度）；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PT．并简要说明点T的位显是如何找到的（不要求证明） 如图，取格点C，连接PC即为切线，切点是T，线段PT即为所求作 ．
【分析】（Ⅰ）利用切线的性质判断即可．
（Ⅱ）如图，取格点C，连接PC即为切线，切点是T，线段PT即为所求作．
【解答】解：（Ⅰ）∠PTO的大小＝90（度）；
故答案为：90．
（Ⅱ）如图，取格点C，连接PC即为切线，切点是T，线段PT即为所求作．
理由：等腰三角形的高相等，可以证明高OT＝高CH＝3，推出PC是⊙O的切线．
故答案为：如图，取格点C，连接PC即为切线，切点是T，线段PT即为所求作．
三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥2 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≤4 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 2≤x≤4 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥2；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤4；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为2≤x≤4．
故答案为：x≥2，x≤4，2≤x≤4．
20．（8分）某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组销售额数据，绘制出统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）该商场服装部营业员的人数为 25 ，图①中m的值为 28 ；
（Ⅱ）求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数．
【分析】（Ⅰ）根据条形统计图中的数据，可以计算出该商场服装部营业员的人数，再根据扇形统计图中的数据，可以得到m的值；
（Ⅱ）根据条形统计图中的数据，可以计算出这组数的平均数，得到相应的众数和中位数．
【解答】解：（Ⅰ）该商场服装部营业员有2+5+7+8+3＝25（人），
m%＝1﹣8%﹣20%﹣32%﹣12%＝28%，
即m＝28，
故答案为：25，28；
（Ⅱ）＝＝15.6（万元），
众数是18万元，
中位数是15万元，
由上可得，统计的这组销售额数据的平均数是15.6万元、众数是18万元、中位数是15万元．
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠CDB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系可得答案；
（2）由半径的关系可得∠ODB＝∠OBD，再利用∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°可得∠CDB＝20°，最后根据直角三角形锐角互余可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝56°，
∴∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣56°＝34°，
在⊙O中，∠COB＝2∠CDB＝2×34°＝68°．
（II ）∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
即∠ODC+∠CDB＝∠OBD，
∵∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，
∴20°+∠CDB＝2∠CDB，
∴∠CDB＝20°，
∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
在Rt△CDE中，∠DCE＝90°﹣∠CDE＝90°﹣20°＝70°．
22．（10分）如图，海中有一个小岛A，它的周围8nmile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行10nmile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
【分析】过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据正弦的定义求出AE，比较大小得到答案．
【解答】解：过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，
由题意得，∠CBA＝60°，∠EAD＝30°，
∴∠ABD＝30°，∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠ADE﹣∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝AB＝10nmile，
在Rt△ADE中，sin∠ADE＝，
∴AE＝AD•sin∠ADE＝5（nmile），
∵5＞8，
∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
23．（10分）A市和B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台．已知从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为130元和200元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为100元和150元．
（Ⅰ）填空：
若从A市运往C市机器5台，
①从A市运往D市机器 7 台；
②从B市运往C市机器 5 台；
③从B市运往D市机器 1 台；
（Ⅱ）填空：
设从A市运往C市机器x台，总运费为y元，
①从A市运往D市机器 （12﹣x） 台；
②从B市运往C市机器 （10﹣x） 台；
③从B市运往D市机器 （x﹣4） 台；
④总运费y关于x的函数关系式为y＝ ﹣20x+2800 ；
⑤若总运费不超过2650元，共有 3 种不同的调运方案．
（Ⅲ）求使总运费最低的调运方案，最低总运费是多少？
【分析】（Ⅰ）（Ⅱ）根据题意填空即可；
（Ⅲ）根据表格中的数据可以表示出总的运输费用，然后根据题目中的数据和一次函数的性质，可以求得最低运输费用和此种情况下的调运方案．
【解答】解：（Ⅰ）若从A市运往C市机器5台，
①从A市运往D市机器7台；
②从B市运往C市机器5台；
③从B市运往D市机器1台；
故答案为：7；5；1；
（Ⅱ）设从A市运往C市机器x台，总运费为y元，
①从A市运往D市机器（12﹣x）台；
②从B市运往C市机器（10﹣x）台；
③从B市运往D市机器（x﹣4）台；
④总运费y关于x的函数关系式为y＝130x+200（10﹣x）+100（10﹣x）+150（x﹣4）＝﹣20x+2800；
⑤由题意，得﹣20x+2800≤2650，
解得x≥7.5，
∴x可取8、9、10，
故若总运费不超过2650元，共有3种不同的调运方案．
故答案为：（12﹣x）；（10﹣x）；（x﹣4）；﹣20x+2800；3；
（Ⅲ）∵从A市运往C市机器x台，运往D市机器（12﹣x）台；
从B市运往C市机器（10﹣x）台，运往D市机器（x﹣4）台；
∴4≤x≤10，
∵﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝10时，y取最小值，y的最小值是2600，
答：使得总运费最低的方案是：A市运往C市机器为10台，A市运往D市机器为2台，B市运往C市机器为0台，B市运往D市机器6台，此时总运费为2600元．
24．（10分）已知矩形OABC在平面直角坐标系中，点A（1，0），点C（0，2），点O（0，0），把矩形OABC绕点O顺时针旋转135°，得到矩形ODEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．DE交y轴于点M．
（Ⅰ）如图①，求∠FOM的大小及OM的长；
（Ⅱ）将矩形ODEF沿y轴向上平移，得到矩形O'D'E'F'，点O，D，E，F的对应点分别为O'，D'，E'，F′．设OO'＝t（0＜t≤2）．
①如图②，直线D'E'与x轴交于点N，若CN∥BO，求t的值；
②若矩形O′D′E′F′与矩形OABC重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）．
【分析】（Ⅰ）利用旋转变换的性质求解即可．
（Ⅱ）①根据t＝MM′＝OM﹣OM′，求出OM，OM′可得结论．
②当＜t≤2﹣1时，重叠部分是五边形O′MPAQ，如图③中，利用分割法求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵把矩形OABC绕点O顺时针旋转135°，得到矩形ODEF，
∴∠COF＝135°，∠DOF＝∠D＝90°，OD＝OA，
∴∠FOM＝180°﹣∠COF＝45°，
∵A（1，0），
∴OA＝OD＝1，
∵∠DOM＝90°﹣45°＝45°，
∴OM＝OD＝．
（Ⅱ）①∵四边形OABC是矩形，
∴CB＝OA＝1，CB∥OA，
∵CN∥OB，
∴四边形CNOB是平行四边形，
∴NO＝CB＝1，
设D′E′交y轴于M′，则MM′＝t，
∵四边形ODEF是矩形，
∴OF∥DE，
∵D′E′∥DE，
∴OF∥D′E′，
∴∠NM′O∠FOM＝45°，
∴∠ONM′＝90°﹣∠NM′O＝90°﹣45°＝45°，
∵∠NM′O＝∠ONM′，
∴OM′＝ON＝1，
∴t＝MM′＝OM﹣OM′＝﹣1．
②当＜t≤2﹣1时，重叠部分是五边形O′MPAQ，如图③，此时S＝S梯形OO′QA﹣S△OPM＝•（t+t﹣1）•1﹣•（t﹣）2＝﹣t2+（+1）t﹣．
25．（10分）已知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（Ⅱ）过点C作直线l∥x轴，动点P（t，3）在直线l上，
①连接BD，当点P在线段BD上时，过点P作PE∥y轴，与x轴交于点E．连接CE，把△PCE沿直线CE翻折，点P的对应点为P′，P'E与y轴交于点G，求CG的长；
②点N在抛物线上，且在第四象限，满足S△NBD＝S△ABD．动点Q（t，0）在x轴上，连接DP，PQ，QN，当t为何值时，DP+PQ+QN的值最小，并求出DP+PQ+QN的最小值．
【分析】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；
（Ⅱ）①证明∠PEC＝∠ECG＝∠CEP′，故GE＝CG，在Rt△CEP′中，m2＝（3﹣m）2+1.52，解得m＝，即可求解；
②由S△NBD＝S△ABD求出点N的坐标为（5，﹣12）；将点D向下平移3个单位得到点D′（1，1），当D′、Q、N三点共线时，DP+PQ+QN的值最小，进而求解．
【解答】解：（Ⅰ）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3①，
则函数的对称轴为x＝1，当x＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝4，故点D（1，4）；
（Ⅱ）①如图1，由B、D的坐标得，直线BD的表达式为y＝﹣2x+6，
当y＝3＝﹣2x+6时，x＝，故点P点的坐标为（，3），
∴CP＝1.5＝CP′，CO＝PE＝3，
∵△PCE沿直线CE翻折，点P的对应点为P′，
∴∠PEC＝∠P′EC，
∵PE∥y轴，
∴∠PEC＝∠ECG＝∠CEP′，故GE＝CG，
设CG＝m＝GE，则P′G＝3﹣m，
在Rt△CEP′中，m2＝（3﹣m）2+1.52，解得m＝，
CG＝；
②连接BD，过点A作AN∥BD交抛物线于点N，此时，S△NBD＝S△ABD．
∵AN∥BD，故AN的表达式为y＝﹣2（x+1）②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点N的坐标为（5，﹣12）；
由点P的坐标知，PQ＝3，故将点D向下平移3个单位得到点D′（1，1），当D′、Q、N三点共线时，DP+PQ+QN的值最小，
理由：∵D′D＝PQ＝3，D′D∥PQ，故四边形DD′QP为平行四边形，
则PD＝D′Q，
故DP+PQ+QN＝D′Q+3+QN＝3+D′N，
由点D′、N的坐标得，直线D′N的表达式为y＝﹣x+，
令y＝﹣x+＝0，解得x＝＝t，
即t＝时，DP+PQ+QN的值最小，最小值为3+D′N＝3+＝3+．
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