2022年天津市南开区中考数学一模试卷（含答）

2021—2022年天津市南开区中考数学一模

一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1．计算（﹣30）÷5的结果等于（　　）

A．﹣25 B．﹣35 C．6 D．﹣6

2．2cos60°的值等于（　　）

A． B． C．1 D．

3．电影《长津湖》讲述了参加抗美援朝战争的志愿军战士在长津湖战役中不畏严寒、保家卫国的故事，让无数影迷感动落泪．电影获得了巨大成功，并以57.7亿元取得中国电影票房冠军．其中57.7亿用科学记数法表示为（　　）

A．57.7×108 B．5.77×108 C．5.77×109 D．5.77×1010

4．下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

5．如图，由8个大小相同的正方体搭成的几何体，从正面看到的形状图是（　　）

A． B．                   

C． D．

6．设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

7．计算的结果为（　　）

A．1 B．﹣1 C． D．

8．方程组的解是（　　）

A． B． C． D．

9．如图，将5个大小相同的正方形置于直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为（3，9），（12，9），则顶点P的坐标为（　　）

A．（13，7） B．（14，6） C．（15，5） D．（15，3）

        第9题                                      第11题

10．已知反比例函数y＝（a为常数）图象上三个点的坐标分别是A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），其中x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系的是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1

11．如图，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．∠OBD＝120° B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD

12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），对称轴在y轴右侧，则下列结论：①a＜0；②抛物线经过（1，0）；③方程ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根；④﹣3＜a+b＜3．正确的有（　　）

A．①③ B．①②③ C．①③④ D．③④

二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．计算，结果是 　   　．

14．计算的结果是　   　．

15．一个不透明的布袋里装有除编号外都相同的3个球，编号分别为1、2、3．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 　   　．

16．已知一次函数y＝3x﹣4的图象向上平移b个单位后经过第二象限，请你写出一个符合条件的b的值为　   　．

17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为　   　．

18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上．

（Ⅰ）△ABC的周长为　   　；

（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上做一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）　   　．

三．解答题（本大题共7小题，共66分）

19．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得　   　；

（Ⅱ）解不等式②，得　   　；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　   　．

20．某校组织学生参加“希望工程”捐书活动．为了解学生所捐书本数情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为 　   　，图①中m的值为 　   　；

（Ⅱ）求统计的这组学生所捐书本数据的平均数 　   　、众数 　   　和中位数 　   　；

（Ⅲ）根据统计的这组学生所捐书本数的样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校所捐书本数不低于3本的学生人数．

21．已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．

（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；

（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．

22．小星准备利用无人机测量一条湖泊某处东西岸边B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是161.6m，此时小星同学抬头仰视无人机，仰角记为α，若从无人飞机测得岸边C处的俯角为63°，小星的眼睛距离地面的高度BE为1.6m，EA长200m（点A，E，B，C在同一平面内）．

（1）求仰角α的正弦值；

（2）求B，C两点之间的距离（结果精确到1m）．

（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

23．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车离A地的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．

请根据相关信息，解答下列问题：

（1）图中a＝　   　；

（2）①A、B两地的距离为            km；甲车行驶全程所用的时间为　   　h；

    甲的速度是       km/h；点C的坐标为        ；

②直接写出线段CF对应的函数表达式；

③当乙刚到达货站时，甲距离B地还有 　   　米．

（3）乙车出发 　   　小时在途中追上甲车；

（4）乙车出发 　   　小时，甲乙两车相距50km．

24．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点A（5，0），C（0，2），点P为BC边上的动点（电P不与点B、C重合）．

（Ⅰ）如图①，当∠COP＝60°时，求点P的坐标；

（Ⅱ）沿OP折叠该纸片，点C的对应点为C '，设CP＝t．

①如图②，若点C ' 在第四象限，PC '与OA交于点D，试用含有t的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出t的取值范围；

②若折叠后重叠部分的面积为S，当≤S≤时，直接写出t的取值范围．

25．已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数，b＜0）与x轴交于点A（1，0），B（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C．

（1）当b＝﹣2时，求抛物线的顶点坐标；

（2）点P是射线OC上的一个动点．

①点D（﹣b，yD）是抛物线上的点，当OP＝3，AD＝AP时，求b的值；

②若点P在线段OC上，当b的值为﹣2时，求CP+2AP的最小值．

2021—2022年天津市南开区中考数学一模试卷答案

一．选择题（共12小题）

1．D           2．C           3．C           4．A            5．B           6．B

7．A           8．C           9．D           10．D          11．D           12．C

二．填空题（共6小题）

13．2a2                       14．               15．

16．3（答案不唯一）     17．

18．（Ⅰ）12

（Ⅱ）在BC的延长线上取格点D，使BD的长为5，连接AD，取AD的中点E，连接BE交AC于点M，

三．解答题（共7小题）

19．（1）x≥﹣1

（2）x<2

（3）图略

（4）﹣1≤x<2．

20．解：（Ⅰ）50，16；

（Ⅱ）1×10%+2×16%+3×24%+4×30%+5×20%＝3.34（本），

∵捐4本的出现次数最多

∴众数是4本，

∵将这50个数据从小到大排列后，处在中间位置的两个数分别是3，4，

∴中位数是3.5本，

（Ⅲ）1200×（1﹣10%﹣16%）＝888（人），

答：该校所捐书本数不低于3本的学生大约有888人．

21．【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣42°）＝69°，

∵BD为直径，

∴∠BCD＝90°，

∵∠D＝∠BAC＝42°，

∴∠DBC＝90°﹣∠D＝90°﹣42°＝48°；

∴∠ACD＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝69°﹣48°＝21°；

（Ⅱ）如图②，连接OD，

∵CD∥AB，

∴∠ACD＝∠BAC＝42°，

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠B+∠ADC＝180°，

∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣69°＝111°，

∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣42°﹣111°＝27°，

∴∠COD＝2∠CAD＝54°，

∵DE为切线，

∴OD⊥DE，

∴∠ODE＝90°，

∴∠E＝90°﹣∠DOE＝90°﹣54°＝36°．

22．【解答】解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，

∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，

∴四边形BDFE为矩形，

∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，

∴AF＝AD﹣DF＝161.6﹣1.6＝160（m），

在Rt△AEF中，sin∠AEF＝，

即．

答：仰角α的正弦值为；

（2）在Rt△AEF中，，

在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝161.6m，

∵，

∴，

∴BC＝BD+CD＝120+82.45≈202（m）．

答：B，C两点之间的距离约为202m．

23．【解答】解：（1）4.5；

（2）①460；；60；（0，40）；

②y＝60x+40；

③180；

（3）；

（4）．

24．【解答】解：（Ⅰ）如图，过点P作PM⊥x轴于M，

∵四边形OABC为矩形

∴∠PCO＝90°，

∴Rt△COP中，tan∠COP＝，∠COP＝60°，

∴PC＝OC•tan60°＝．

∴P点坐标为（，2）．

（Ⅱ）①根据题意，当t＝2时，折叠得到正方形，此时点C′恰好在x轴上，

当t＞2时，C′就落在了第四象限．

过点P作PN⊥x轴于点N，如图：

∵∠PCO＝∠CON＝∠ONP＝90°，

∴四边形ONPC为矩形．

∴OC＝OC′＝PN＝2．

∵∠PND＝∠OC′D＝90°，∠PDN＝∠ODC′，

∴△PND≌△OC′D（AAS）．

∴OD＝PD．

设DN＝x，则OD＝PD＝t﹣x．

由勾股定理得：

（t﹣x）2＝x2+22．

解得：x＝．

∴重叠部分的面积为：•OD•PN＝×（t﹣）×2＝．

此时4＜t＜10；

②当≤S≤2时，C′点落在矩形OABC内部，

此时重叠部分的面积就是△POC的面积，

∴S＝OC•CP＝×2×t＝t．

∴≤t≤2．

∴≤t≤2．

当2＜S≤时，S＝．

∴＝ ．

解得：t＝3或t＝（舍去）．

∴t的取值范围为：≤t≤3．

25．【解答】解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝1+b+c，即b+c＝﹣1．

（1）当b＝﹣2时，则c＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，

故抛物线的顶点坐标为（1，0）；

（2）①当x＝﹣b时，y＝x2+bx+c＝c，故点D的坐标为（﹣b，c），

由AD＝AP得：（1+b）2+c2＝12+32，

即（1+b）2+（﹣b﹣1）2＝12+32，

解得b＝﹣1﹣（正值已舍去）；

②当b＝﹣4时，则c＝3，

∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3

∴点C的坐标为（0，3）

CP+2AP＝2（AP+CP）

∵sin30°=

∴CP+2AP＝2（AP+sin30°CP）

过点C直线CN交x轴于点N，使∠NCO＝30°，过点P作PH⊥NC交CN于点H

有CP+2AP＝2（AP+sin30°CP）=2（AP+PH）

当A、P、H三点共线时，有CP+2AP最小

如图，即过点A作AH⊥NC于点H，交OC于点P，点P即为所求

即CP+2AP＝2（AP+sin30°CP）=2（AP+PH）=2AH

∵∠NCO=30°，OC=3

∴ON=，NC=2

在△ANC中，

AH=

∴CP+2AP＝2（AP+sin30°CP）=2（AP+PH）=2AH=3+