2021年辽宁省抚顺市顺城区中考数学一模试卷

这是一份2021年辽宁省抚顺市顺城区中考数学一模试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝2+
2．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则tanB的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）若＝，且a+b＝14，则2a﹣b的值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3
B．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9
C．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3
D．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：9
6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinBB．b＝csinBC．a＝btanBD．b＝ctanB
7．（3分）若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（ ）
A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍
8．（3分）如图，关于x的函数y＝kx﹣k和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点，与坐标轴分别交于M，N两点，则△AOB的面积为（ ）
A．3B．6C．8D．12
10．（3分）两个斜边长为2的全等的等腰直角三角形按如图所示位置放置，其中一个三角形45°角的顶点与另一个△ABC的直角顶点A重合，若△ABC固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的一条直角边和斜边分别与边BC交于点E，F，设BF＝x，CE＝y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共8道题，每道题3分，满分24分）
11．（3分）cs30°＝ ．
12．（3分）反比例函数y＝的图象上，当x＜0时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在正方形网格中，△ABC∽△DEF，则∠BAC的度数为 ．
14．（3分）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为 ．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为 ．
16．（3分）如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝ ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为，则k的值为 ．
18．（3分）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 ．
三、解答题（本题共2道题，第19题10分，第20题12分，满分22分）
19．（10分）求下列各式的值．
（1）sin45°•cs45°+tan60°•sin60°
（2）．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣1，2），点C的坐标为（﹣1，1），请解答下列问题：
（1）在网格内将△ABC沿x轴方向向右平移3个单位长度，再沿y轴方向向下平移1个单位长度得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）以原点O（0，0）为位似中心，在第一象限内将△A1B1C1按相似比1：2放大得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并直接写出点A2，B2，C2的坐标．
四、（本题共2个小题，每道题12分，满分24分）
21．（12分）如图，一次函数的图象y＝kx+b与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的表达式；
（2）已知点C在x轴上，且△ABC的面积是8，求此时点C的坐标；
（3）请直接写出不等式0＜kx+b＜的解集．
22．（12分）某数学兴趣小组为测量某建筑物AB的高度，他们在地面C处测得另一栋大厦DE的顶部E处的仰角∠ECD＝32°．登上大厦DE的顶部E处后，测得该建筑物AB的顶部A处的仰角为60°，如图所示，已知C，D，B三点在同一水平直线上，且CD＝40米，DB＝20米．
（1）求大厦DE的高度；
（2）求该建筑物AB的高度．
（参考数据：sin32°≈0.53，cs32°≈0.85，tan32°≈0.62，≈1.41，≈1.73）
五、（本题满分12分）
23．（12分）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
六、（本题满分12分）
24．（12分）如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点D是OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）点F是⊙O上一动点，连接FC，FD．若FD＝2.5，求线段FC的长．
七、（本题满分12分）
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝α，点D为射线AC上一动点，作∠BDE＝α，过点B作BE⊥BD，交DE于点E，（点A，E在BD的两侧）连接CE．
（1）如图1，若α＝45°时，请直接写出线段AD，CE的数量关系；
（2）如图2，若α＝60°时，（1）中的结论是否成立；如果成立，请说明理由，如果不成立，请写出它们的数量关系，并说明理由；
（3）若α＝30°，AC＝6，且△ABD为等腰三角形时，请直接写出线段CE的长.
八、（本题满分14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于两点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是该抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点E，与BC的交于点F．
①点D关于直线BC的对称点G落在抛物线上，求此时点G的坐标；
②作直线BD，交抛物线于另一点P，当以点B，D，E为顶点的三角形与△OAC相似时，请直接写出点P的坐标．
2021年辽宁省抚顺市顺城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10道题，每道题3分，满分30分）
1．（3分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝2+
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是（k≠0），可以判定函数的类型．
【解答】解：A、该函数符合反比例函数的定义，故本选项正确；
B、该函数是y与x2是反比例函数关系，故本选项错误；
C、该函数是y与x﹣3是反比例函数关系，故本选项错误；
D、该函数是y﹣2与x是反比例函数关系，故本选项错误；
故选：A．
2．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，故A错误；
B、主视图是第一层两个小正方形，第二层中间一个小正方形，第三层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故B错误；
C、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C正确；
D、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D错误；
故选：C．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则tanB的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据锐角三角函数求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
所以tanB＝＝，
故选：C．
4．（3分）若＝，且a+b＝14，则2a﹣b的值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】直接利用已知得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴a＝b，
∵a+b＝14，
∴b+b＝14，
解得：b＝8，
则a＝6，
故2a﹣b＝12﹣8＝4．
故选：B．
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3
B．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9
C．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3
D．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：9
【分析】根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：A、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为16：81，是假命题；
D、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为16：81，是假命题；
故选：B．
6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinBB．b＝csinBC．a＝btanBD．b＝ctanB
【分析】根据正弦、正切的定义计算，判断即可．
【解答】解：A、sinB＝，
则b＝csinB，本选项说法错误；
B、b＝csinB，本选项说法正确；
C、tanB＝，
则b＝atanB，本选项说法错误；
D、b＝atanB，本选项说法错误；
故选：B．
7．（3分）若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（ ）
A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍
【分析】设直角三角形的两直角边分别是x，y，求出原来的斜边和扩大后的斜边，然后可求出结果．
【解答】解：设直角三角形的两直角边分别是x，y，
原来直角三角形的斜边：．
两条直角边都扩大2倍后两直角边为2x，2y，
则斜边：．
所以斜边也扩大2倍．
故选：A．
8．（3分）如图，关于x的函数y＝kx﹣k和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先根据反比例函数图象所经过的象限判断出k的符号；然后由k的符号判定一次函数图象所经过的象限，图象一致的选项即为正确选项．
【解答】解：A、反比例函数（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项错误；
B、反比例函数（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0．所以一次函数y＝kx﹣k的图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴．故本选项错误；
C、反比例函数（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项正确；
D、反比例函数（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0．所以一次函数y＝kx﹣k的图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴．故本选项错误；
故选：C．
9．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点，与坐标轴分别交于M，N两点，则△AOB的面积为（ ）
A．3B．6C．8D．12
【分析】将点A、B的坐标代入反比例函数表达式，即可求得m、n的值，然后根据待定系数法求得一次函数的解析式，从而求得M、N的坐标，最后根据S△AOB＝S△MON﹣S△AON﹣S△BOM即可求解．
【解答】解：∵点A（m，6）在反比例函数y＝上，
∴＝6，解得m＝1，
∴点A的坐标为（1，6），
又∵点B（3，n）也在反比例函数y＝上，
∴＝n，解得n＝2，
∴点B的坐标为（3，2），
又∵点A、B在y＝kx+b的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+8．
∴ON＝4，OM＝8，
∴S△AOB＝S△MON﹣S△AON﹣S△BOM＝MO•NO﹣NO•xA﹣MO×yB＝8×4﹣4×1﹣×4×2＝8，
故选：C．
10．（3分）两个斜边长为2的全等的等腰直角三角形按如图所示位置放置，其中一个三角形45°角的顶点与另一个△ABC的直角顶点A重合，若△ABC固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的一条直角边和斜边分别与边BC交于点E，F，设BF＝x，CE＝y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据相似三角形的性质求出对应边比例，从而求出x与y的关系．
【解答】解：由题意得∠B＝∠C＝45°，∠EAF＝45°．
∵∠AFB＝∠C+∠CAF＝45°+∠CAF，∠EAC＝∠CAF+∠EAF＝∠CAF+45°．
∴∠AFB＝∠CAE．
又∵∠B＝∠C，
∴△AFB∽△EAC．
∴．
∵BC＝2，∠B＝∠C＝45°．
∴AB＝AC＝．
∴，即y＝．
当点E与B重合时，BF取最小值，x＝1．
∴x≥1
故选：D．
二、填空题（本题共8道题，每道题3分，满分24分）
11．（3分）cs30°＝ ．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：cs30°＝．
故答案为：．
12．（3分）反比例函数y＝的图象上，当x＜0时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 a＞﹣2 ．
【分析】根据反比例函数的性质可得2+a＞0，再解不等式即可．
【解答】解：∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴2+a＞0，
解得a＞﹣2，
故答案为：a＞﹣2．
13．（3分）如图，在正方形网格中，△ABC∽△DEF，则∠BAC的度数为 135° ．
【分析】根据正方形的性质求出∠EDF的度数，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠EDH＝45°，
∴∠EDF＝135°，
∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF＝135°，
故答案为：135°．
14．（3分）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为 48 ．
【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．
【解答】解：根据圆锥侧面积公式：S＝πrl，
圆锥的母线长为10，
侧面展开图的面积为60π，
故60π＝π×10×r，
解得：r＝6．
由勾股定理可得圆锥的高＝＝8，
∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，
∴它的面积＝＝48，
故答案为：48．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为 ．
【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OCE＝90°，根据圆周角定理可得∠COE＝60°，进而求出答案．
【解答】解：如图，连接OC，
∵EC切⊙O于C，
∴∠OCE＝90°，
∵∠CDB＝30°，
∴∠COE＝2∠CDB＝60°，
∴∠E＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴sinE＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝ ．
【分析】由三角形的重心定理得出＝，＝，由平行线分线段成比例定理得出＝，即可得出结果．
【解答】解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，
∴＝，＝，
∵EF∥BC，＝，
∴＝．
故答案为：．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为，则k的值为 5 ．
【分析】根据题意，利用面积法求出AE，设出点B坐标，表示点A的坐标．应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为k构造方程求k．
【解答】解：连接AC分别交BD、x轴于点E、F．
由已知，A、B横坐标分别为1，4，
∴BE＝3，
∵四边形ABCD为菱形，AC、BD为对角线
∴S菱形ABCD＝4×AE•BE＝，
∴AE＝，设点B的坐标为（4，y），则A点坐标为（1，y+）
∵点A、B同在y＝图象上
∴4y＝1•（y+）
∴y＝，
∴B点坐标为（4，）
∴k＝5
故答案为5．
18．（3分）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 + ．
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2+1，
∴OM＝CD＝+，即OM的最大值为+；
故答案为．
三、解答题（本题共2道题，第19题10分，第20题12分，满分22分）
19．（10分）求下列各式的值．
（1）sin45°•cs45°+tan60°•sin60°
（2）．
【分析】（1）分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可；
（2）分别把各特殊角的三角函数值代入，再根据实数混合运算的法则进行检验即可．
【解答】解：（1）原式＝×+×
＝+
＝2；
（2）原式＝﹣12+×（）2﹣
＝﹣1+﹣
＝﹣．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣1，2），点C的坐标为（﹣1，1），请解答下列问题：
（1）在网格内将△ABC沿x轴方向向右平移3个单位长度，再沿y轴方向向下平移1个单位长度得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）以原点O（0，0）为位似中心，在第一象限内将△A1B1C1按相似比1：2放大得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并直接写出点A2，B2，C2的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1如图所示，A1（1，2），B1（2，1），C1（2，0）．
（2）如图，△A2B2C2如图所示，A2（2，4），B2（4，2），C2（4，0）．
四、（本题共2个小题，每道题12分，满分24分）
21．（12分）如图，一次函数的图象y＝kx+b与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的表达式；
（2）已知点C在x轴上，且△ABC的面积是8，求此时点C的坐标；
（3）请直接写出不等式0＜kx+b＜的解集．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a值，从而得出反比例函数解析式；由勾股定理得出OA的长度从而得出点B的坐标，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）设点C的坐标为（m，0），令直线AB与x轴的交点为D，根据三角形的面积公式结合△ABC的面积是8，可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出m值，从而得出点C的坐标；
（3）观察第一象限双曲线在直线下方的部分自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数的图象上，
∴k＝4×3＝12，
∴反比例函数解析式为y＝；
∵OA＝＝5，
∵OA＝OB，点B在y轴负半轴上，
∴点B（0，﹣5）．
把点A（4，3）、B（0，﹣5）代入y＝kx+b中，
得，解得：，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣5；
（2）设点C的坐标为（m，0），令直线AB与x轴的交点为D，如图1所示．
令y＝2x﹣5中y＝0，则x＝，
∴D（，0），
∴S△ABC＝CD•（yA﹣yB）＝|m﹣|×[3﹣（﹣5）]＝8，
解得：m＝或m＝．
答：当△ABC的面积是8时，点C的坐标为（，0）或（，0），
（3）由图象得，不等式0＜＜kx+b的解集为2.5＜x＜4．
22．（12分）某数学兴趣小组为测量某建筑物AB的高度，他们在地面C处测得另一栋大厦DE的顶部E处的仰角∠ECD＝32°．登上大厦DE的顶部E处后，测得该建筑物AB的顶部A处的仰角为60°，如图所示，已知C，D，B三点在同一水平直线上，且CD＝40米，DB＝20米．
（1）求大厦DE的高度；
（2）求该建筑物AB的高度．
（参考数据：sin32°≈0.53，cs32°≈0.85，tan32°≈0.62，≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）在Rt△DCE中，根据正切函数的定义即可求出大厦DE的高度；
（2）作EF⊥AB于F．由题意，得EF＝DB＝20米，BF＝DE，∠AEF＝60°．在Rt△AFE中，根据正切函数的定义得出AF＝EF•tan∠AEF，那么AB＝BF+AF．
【解答】解：（1）在Rt△DCE中，∠CDE＝90°，∠ECD＝32°，CD＝40米，
∴DE＝CD•tan∠ECD≈40×0.62＝24.8（米）．
故大厦DE的高度约为24.8米；
（2）如图，作EF⊥AB于F，
由题意，得EF＝DB＝20米，
BF＝DE＝24.8米，∠AEF＝60°．
在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，
∴AF＝EF•tan∠AEF≈20×1.73＝34.6（米），
∴AB＝BF+AF＝24.8+34.6＝59.4（米）．
答：该建筑物AB的高度约为59.4米．
五、（本题满分12分）
23．（12分）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：．
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180．
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，
整理得：x2﹣140x+4800＝0，
解得x1＝60，x2＝80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
（3）设当天的销售利润为w元，则：
w＝（x﹣50）（﹣2x+180）
＝﹣2（x﹣70）2+800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝70时，w最大值＝800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
六、（本题满分12分）
24．（12分）如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点D是OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）点F是⊙O上一动点，连接FC，FD．若FD＝2.5，求线段FC的长．
【分析】（1）连接OE，先证，再由∠DOE＝∠EOC，证出△EOD∽△COE，得∠EDO＝∠CEO，即可解决问题；
（2）连接OF，证△ODF∽△OFC，得，即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：
∵点D是线段OB的中点，
∴，
∵BC＝OB，OB＝OE，
∴，
又∵∠DOE＝∠EOC，
∴△EOD∽△COE，
∴∠EDO＝∠CEO，
∵DE⊥AB，
∴∠EDO＝90°，
∴∠CEO＝90°，
∴OE⊥CE，
∵CE为⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：连接OF，如图2所示：
∵OF＝OB＝BC＝2OD．
∴，
又∵∠DOF＝∠FOC，
∴△ODF∽△OFC，
∴，
∵DF＝2.5，
∴FC＝2DF＝5．
七、（本题满分12分）
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝α，点D为射线AC上一动点，作∠BDE＝α，过点B作BE⊥BD，交DE于点E，（点A，E在BD的两侧）连接CE．
（1）如图1，若α＝45°时，请直接写出线段AD，CE的数量关系；
（2）如图2，若α＝60°时，（1）中的结论是否成立；如果成立，请说明理由，如果不成立，请写出它们的数量关系，并说明理由；
（3）若α＝30°，AC＝6，且△ABD为等腰三角形时，请直接写出线段CE的长.
【分析】（1）证明△ABD≌△CBE（SAS），由全等三角形的性质得出AD＝CE．
（2）证明△ABC∽△DBE，由相似三角形的性质得出，证明△CBE∽△ABD，得出比例线段，由直角三角形的性质可得出答案；
（3）分三种情况，当AD＝BD时，当AB＝AD时，当AB＝BD＝3时，由直角三角形的性质及相似三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）AD＝CE．
∵∠ABC＝90°，∠A＝45°，
∴∠A＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
同理BD＝BE，∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE．
（2）不成立，EC＝AD．
证明：∵BE⊥BD，∠ABC＝90°，
∴∠DBE＝∠ABC＝90°，
又∵∠A＝∠BDE＝α，
∴△ABC∽△DBE，
∴，
又∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD+∠DBC＝∠DBC+∠CBE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△CBE∽△ABD，
∴，
在Rt△ABC中，∠A＝60°，
∴，
∴，
∴．
（3）CE的长为3，，3．
如图1，当AD＝BD时，
∵∠A＝30°，AC＝6，
∴BC＝3，AB＝3，
由（2）可知△CBE∽△ABD，
∴，
∴，
∴CE＝；
如图2，当AB＝AD时，
同理可得，
∴，
∴CE＝3．
如图3，当AB＝BD＝3时，
∴∠A＝∠ADB＝30°，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，
∴BC＝CD＝3，
∴AD＝9，
∴，
∴CE＝3．
综合以上可得CE的长为3或或3．
八、（本题满分14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于两点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是该抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点E，与BC的交于点F．
①点D关于直线BC的对称点G落在抛物线上，求此时点G的坐标；
②作直线BD，交抛物线于另一点P，当以点B，D，E为顶点的三角形与△OAC相似时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入y＝ax2﹣x+c，求出待定系数b、c的值；
（2）①根据题中隐含条件∠OBC＝30°的特点，直线EF关于直线BC的对称直线的解析式，该对称直线与抛物线的交点就是符合条件的点；
②△OAC也是含有30°角的直角三角形，根据这一特点，按照①中所使用的方法分类讨论，即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入y＝ax2﹣x+c，
得，解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）如图1，过点A、F作直线交抛物线于点G，
∵抛物线与 y轴交于点C
∴C（0，），
∵OB＝3，OC＝，
∴tan∠OBC＝＝，
∴∠OBC＝30°，
∴∠GFB＝2∠OBC＝60°＝∠DOB，
∴直线AF与直线EF关于直线BC成轴对称，
∴点G是点D关于直线BC的对称点，
∵EF＝EB＝，
∴F（2，），
设直线AF的解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴，
由，得，，
∴G（1，0）或G ．
（3）由＝（x﹣2）2，得抛物线的顶点H的坐标为（2，），
∴EH＝EF，∴△EDB≌△EFB．
如图2，当点D与点H重合时，点P也与点H重合，
∵tan∠OAC＝＝，
∴∠OCA＝30°，
∵△EFB∽△OCB
∴△EDB∽△COB∽△OAC，
此时，P（2，）；
当点D与点F重合时，则点P与点C重合，
此时，P（0，）；
如图3，过点B作BD⊥BC交直线EF于点D，交抛物线于另一点P．
∵∠DBE＝90°﹣30°＝60°，
∴△EBD∽△OAC，
∵DE＝BE＝，
∴D（2，﹣）；
设直线BD的解析式为y＝mx+n，则，解得，
∴y＝x．
由，得，，
∴P（4，）；
如图4，在直线EF上取点D，使DE＝，作直线BD交抛物线与另一点P，
∵tan∠DBE＝，
∴∠DBE＝60°，
∴△EBD∽△OAC．
设直线BD的解析式为y＝px+q，
∵B（3，0），D（2，），
∴，
解得，
∴y＝x+．
由，得，，
∴P（﹣2，5）．
综上所述，点P的坐标为（2，）或（0，）或（4，）或（﹣2，5）．
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40