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2021年天津市东丽区中考数学一模试卷
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这是一份2021年天津市东丽区中考数学一模试卷，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年天津市东丽区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）计算（﹣3）+（﹣9）结果是（ ）
A．﹣6 B．﹣12 C．6 D．12
2．（3分）2cos45°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（3分）在3月份市民政局召开的全市基金会脱贫攻坚总结会上获悉，过去的三年，全市社会组织积极作为，全力投入脱贫攻坚事业，共有779家社会组织承接扶贫项目673个，帮扶资金总计达174000000元，数字174000000科学记数法表示应为（ ）
A．174×106 B．17.4×107 C．1.74×108 D．1.74×109
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）估计3的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（3分）计算的结果是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（3，0），（0，），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．8 B．4 C．2 D．4
9．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
11．（3分）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．当点B′恰好落在边CD上时，下列结论不一定正确的是（ ）
A．CN＝C′N B．∠2＝∠3 C．B'M＝ D．B'C'＝B'M
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（m，0），且1＜m＜2．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．下列结论：①abc＞0；②若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；③a（m﹣1）+b＝0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置.
13．（3分）计算x6•x2的结果等于 ．
14．（3分）计算（2+1）（2﹣1）的结果等于 ．
15．（3分）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个绿球和6个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
16．（3分）直线y＝5x﹣6与y轴交点坐标为 ．
17．（3分）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝10，AE＝AF＝8，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ ．
18．（3分）如图，是由边长为1的小正方形组成的7×6的网格，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺作图．
（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个格点P，使∠ABP＝45°并简要说明画图方法（不要求证明）
．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解谷应写出文字说明，演算步骤或证明过程，请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置.
19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）扇形统计图中的m＝ ，条形统计图中的n＝ ；
（Ⅱ）求所调查的初中学生每天睡眠时间的平均数、众数和中位数．
21．（10分）如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝26°．
（Ⅰ）如图①，求∠CAB的度数；
（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E，求∠E的大小．
22．（10分）如图，小山上有一座120m高的电视发射塔AB，为了测量小山的高度BC，在山脚某处D测得山顶的仰角为22°，测得塔项的仰角为45°．求小山的高．（已知：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（结果精确到0.1m）
23．（10分）小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地．设小明出发x（min）后，到达距离甲地y（m）的地方，图中的折线表示的是y与x之间的函数关系．
（Ⅰ）根据题意填空：甲、乙两地的距离为 m，a＝ ；
（Ⅱ）求小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式；
（Ⅲ）在小明从甲地出发的同时，小红从乙地步行至甲地，保持120m/min的速度不变，到甲地停止．小明从甲地出发 min与小红相距400m？
24．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），把△ABO绕原点O顺时针旋转，得到△A′B′O，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点B′的坐标；
（Ⅱ）设直线AA'与直线BB′相交于点M，如图②，当α＝90°时，求△ABM的面积．
25．（10分）在平面直角坐标系中，直线x＝﹣2与x轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点B（1，0），且AC＝2BC．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE＝3PE；
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
2021年天津市东丽区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）计算（﹣3）+（﹣9）结果是（ ）
A．﹣6 B．﹣12 C．6 D．12
【分析】同号相加，取相同符号，并把绝对值相加，依此计算即可求解．
【解答】解：（﹣3）+（﹣9）＝﹣12．
故选：B．
2．（3分）2cos45°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】直接把cos45°＝代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝2×＝．
故选：B．
3．（3分）在3月份市民政局召开的全市基金会脱贫攻坚总结会上获悉，过去的三年，全市社会组织积极作为，全力投入脱贫攻坚事业，共有779家社会组织承接扶贫项目673个，帮扶资金总计达174000000元，数字174000000科学记数法表示应为（ ）
A．174×106 B．17.4×107 C．1.74×108 D．1.74×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：174000000＝1.74×108．
故选：C．
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：A、“中”可以看作轴对称图形，故此选项符合题意；
B、“流”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
C、“砥”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
D、“柱”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
【解答】解：从几何体的左边看有两层，底层两个正方形，上层左边一个正方形．
故选：A．
6．（3分）估计3的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】先将变形为，然后估算出的大小即可．
【解答】解：，
∵16＜18＜25，
∴，
即，
∴3的值在4和5之间．
故选：C．
7．（3分）计算的结果是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
【分析】根据同分母分式相减法则求出即可．
【解答】解：
＝
＝﹣
＝﹣5，
故选：B．
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（3，0），（0，），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．8 B．4 C．2 D．4
【分析】由勾股定理可求AB的长，由菱形的性质可求解．
【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是（3，0），（0，），
∴OB＝，OA＝3，
∴AB＝＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，
∴菱形ABCD的周长等于＝4×2＝8，
故选：A．
9．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【解答】解：，
①+②，可得6x＝12，
解得x＝2，
把x＝2代入①，解得y＝7，
∴原方程组的解是．
故选：D．
10．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【解答】解：∵在反比例函数y＝，k＝﹣a2﹣1＜0，
∴此函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵﹣3＜﹣2＜0，
∴点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2）在第二象限，
∴0＜y1＜y2．
∵1＞0，
∴C（1，y3）点在第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
11．（3分）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．当点B′恰好落在边CD上时，下列结论不一定正确的是（ ）
A．CN＝C′N B．∠2＝∠3 C．B'M＝ D．B'C'＝B'M
【分析】根据折叠的性质进行逐一判断即可．
【解答】解：由折叠知：CN＝C'N，∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴A，B都正确，不符合题意，
∵∠2＝∠3，
∴B'M＝B'N，
在Rt△B'NC'中，由勾股定理得：
B'N＝，
∴B'M＝B'N＝，
∴C正确，不符号题意，
∵B'C'＝BC＝2，B'M＝，
∴D错误，符合题意，
故选：D．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（m，0），且1＜m＜2．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．下列结论：①abc＞0；②若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；③a（m﹣1）+b＝0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得c＞0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到0＜﹣＜，利用点A（﹣2，y1）和点B（2，y2）到对称轴的距离的大小可对②进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，两式相减得am2﹣a+bm+b＝0，然后把等式左边分解后即可得到a（m﹣1）+b＝0，则可对③进行判断．
【解答】解：如图，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
所以①的结论错误；
∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，
∴0＜﹣＜，
∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离比点B（2，y2）到对称轴的距离远，
∴y1＜y2，
所以②的结论正确；
∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0），
∴a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，
∴am2﹣a+bm+b＝0，
a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）＝0，
∴a（m﹣1）+b＝0，
所以③的结论正确；
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置.
13．（3分）计算x6•x2的结果等于 x8 ．
【分析】根据同底数幂的乘法，即可解答．
【解答】解：x6•x2＝x6+2＝x8，
故答案为：x8．
14．（3分）计算（2+1）（2﹣1）的结果等于 11 ．
【分析】根据平方差公式，可以解答本题．
【解答】解：（2+1）（2﹣1）
＝（）2﹣12
＝12﹣1
＝11，
故答案为：11．
15．（3分）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个绿球和6个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
【分析】根据题目中的总的球的个数和绿球的个数，即可得到从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率．
【解答】解：由题意可得，
从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是，
故答案为：．
16．（3分）直线y＝5x﹣6与y轴交点坐标为 （0，﹣6） ．
【分析】代入x＝0求出与之对应的y值，进而可得出直线与y轴的交点坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝5×0﹣6＝﹣6，
∴直线y＝5x﹣6与y轴交点坐标为（0，﹣6）．
故答案为：（0，﹣6）．
17．（3分）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝10，AE＝AF＝8，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ 24 ．
【分析】作DH⊥AE于H，由题意得△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，8为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝6，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝6，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，
∵AF＝8，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，8为半径的圆上，
∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∵∠EAF＝90°，
∴∠BAF+∠BAH＝90°，
∵∠DAH+∠BAH＝90°，
∴∠DAH＝∠BAF，
在△ADH和△ABF中，，
∴△ADH≌△ABF（AAS），
∴DH＝BF＝6，
∴S△ADE＝AE•DH＝×6×8＝24．
故答案为：24．
18．（3分）如图，是由边长为1的小正方形组成的7×6的网格，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺作图．
（Ⅰ）线段AB的长等于 5 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个格点P，使∠ABP＝45°并简要说明画图方法（不要求证明）
作腰为5的等腰直角三角形ABP即可 ．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可
（Ⅱ）利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（Ⅰ）AB＝＝5，
故答案为：5．
（Ⅱ）如图，点P即为所求作．
故答案为：作腰为5的等腰直角三角形即可．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解谷应写出文字说明，演算步骤或证明过程，请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置.
19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞﹣3 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣3＜x≤1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＞﹣3，
把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来如下：
原不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
故答案为：x≤1；x＞﹣3；﹣3＜x≤1．
20．（8分）某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）扇形统计图中的m＝ 25 ，条形统计图中的n＝ 15 ；
（Ⅱ）求所调查的初中学生每天睡眠时间的平均数、众数和中位数．
【分析】（Ⅰ）根据扇形统计图中的数据，可以计算出m的值，再根据统计图中5h所占的百分比和人数，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出n的值；
（Ⅱ）根据统计图中的数据，可以计算出平均数的值，写出相应的众数和中位数．
【解答】解：（Ⅰ）m%＝1﹣10%﹣20%﹣37.5%﹣7.5%＝25%，
本次调查的人数为：4÷10%＝40，
n＝40×37.5%＝15，
故答案为：25，15；
（Ⅱ）平均数是：＝7（h），
众数是7h，中位数是7h，
即所调查的初中学生每天睡眠时间的平均数是7h、众数是7h，中位数是7h．
21．（10分）如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝26°．
（Ⅰ）如图①，求∠CAB的度数；
（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E，求∠E的大小．
【分析】（1）连接BC，根据圆周角定理求出∠ABC的度数，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ADC＝52°，根据切线的性质得到∠ECO＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）如图①，连接BC，
由圆周角定理得，∠ABC＝∠ADC＝26°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝64°；
（2）由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ADC＝52°，
∵EC是⊙O的切线，
∴∠ECO＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠AOC＝38°．
22．（10分）如图，小山上有一座120m高的电视发射塔AB，为了测量小山的高度BC，在山脚某处D测得山顶的仰角为22°，测得塔项的仰角为45°．求小山的高．（已知：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（结果精确到0.1m）
【分析】设BC为x米，则AC＝（120+x）米，通过解直角△DBC和直角△ACE列出关于x的方程，利用方程求得结果．
【解答】解：设BC为x米，则AC＝（120+x）米，
由条件知：∠CDB＝22°，∠ADC＝45°，
在Rt△DBC中，tan22°＝＝≈0.40，
∴DC＝x（米）．
在直角△ACD中，tan45°＝＝1．
∴AC＝CD，
即120+x＝x，
解得x＝80，
答：小山BC的高度为80米．
23．（10分）小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地．设小明出发x（min）后，到达距离甲地y（m）的地方，图中的折线表示的是y与x之间的函数关系．
（Ⅰ）根据题意填空：甲、乙两地的距离为 2000 m，a＝ 14 ；
（Ⅱ）求小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式；
（Ⅲ）在小明从甲地出发的同时，小红从乙地步行至甲地，保持120m/min的速度不变，到甲地停止．小明从甲地出发 5min、7.5min或22min min与小红相距400m？
【分析】（Ⅰ）根据函数图象中的数据和题意，可以得到甲、乙两地的距离和a的值；
（Ⅱ）根据函数图象中的数据，可以计算出小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式；
（Ⅲ）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明从甲地出发多少min鱼小红相距400m．
【解答】解：（Ⅰ）由图象可得，
甲、乙两地的距离为2000m，a＝10+（24﹣10×2）＝14，
故答案为：2000，14；
（Ⅱ）设小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，
∵点B（14，2000），点（24，0）在该函数图象上，
∴，解得，
即小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式是y＝﹣200x+4800；
（Ⅲ）设小明从甲地出发tmin与小红相距400m，
小明的速度为2000÷10＝200（m/min），
小明第一次与小红相遇之前，200t+120t+400＝2000，解得t＝5；
小明第一次与小红相遇之后，200t+120t＝2000+400，解得t＝7.5；
小红到达A地用的时间为：2000÷120＝16（min），
令200×（24﹣t）＝400，解得t＝22；
故答案为：5min、7.5min或22min．
24．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），把△ABO绕原点O顺时针旋转，得到△A′B′O，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点B′的坐标；
（Ⅱ）设直线AA'与直线BB′相交于点M，如图②，当α＝90°时，求△ABM的面积．
【分析】（Ⅰ）记A′B′与x轴交于点H．只要求出OH，B′H即可解决问题；
（Ⅱ）作MN⊥OA于N，只要求出ON，MN即可解决问题，再利用分割法求面积即可．
【解答】解：（Ⅰ）记A′B′与x轴交于点H．
∵∠HOA′＝α＝30°，
∴∠OHA′＝90°，
∴OH＝OA′•cos30°＝，B′H＝OB′•cos30°＝，
∴B′（，）．
（Ⅱ）∵OA＝OA′，
∴Rt△OAA′是等腰直角三角形，
∵OB＝OB′，
∴Rt△OBB′也是等腰直角三角形，
∴∠AB′B＝45°，
∵∠AMB′＝90°．
∴△AMB′是等腰直角三角形，
作MN⊥OA于N，
∵OB′＝OA+AB′＝1+2AN＝，
∴MN＝AN＝，ON＝，
∴M（，），
∴S△ABM＝S△ABB′﹣S△AB′M＝×（﹣1）×﹣×（﹣1）×＝．
25．（10分）在平面直角坐标系中，直线x＝﹣2与x轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点B（1，0），且AC＝2BC．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE＝3PE；
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）由直线x＝﹣2与x轴交于点C，结合点B坐标可得BC的长，根据AC＝2BC得出AC的长，从而可得点A的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（Ⅱ）①设点P的坐标为（a，﹣a2﹣3a+4），设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求得直线AB的解析式，则可用a表示出点E的坐标，进而表示出DE和PE，根据DE＝3PE可得关于a的方程，解得a的值，则可求点P的坐标；②根据点A、B和M的坐标，利用两点距离公式表示出AB、AM和BM，然后分两种情况：当AB为斜边时和当AM为斜边时，根据勾股定理列出方程，解得m的值，则可得点M的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线x＝﹣2与x轴交于点C，
∴C（﹣2，0）．
∵B（1，0），
∴BC＝3，
∵AC＝2BC，
∴AC＝6，
∵直线x＝﹣2与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点A，
∴A（﹣2，6），
把点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（Ⅱ）①∵点P是直线AB上方抛物线上的一点，
∴设点P的坐标为（a，﹣a2﹣3a+4），设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把点A、B的坐标代入，得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2．
∵PD⊥x轴于点D，交AB于点E，
∴点E的坐标为（a，﹣2a+2），
∴DE＝﹣2a+2，PE＝﹣a2﹣3a+4﹣（﹣2a+2）＝﹣a2﹣a+2，
∵DE＝3PE，
∴﹣2a+2＝3（﹣a2﹣a+2），
解得：a1＝1（舍去），a2＝﹣，
∴当x＝﹣时，y＝﹣﹣3×（﹣）+4＝，
∴点P的坐标为（﹣，）；
②∵点M在直线PD上，
∴设点M的坐标为（﹣，m），
∵A（﹣2，6），B（1，0），
∴AB＝＝，AM＝，BM＝，
∵△ABM为以AB为直角边的直角三角形，
当AB为斜边时，AB2+AM2＝BM2，
即45++（6﹣m）2＝+m2，
解得：m＝，
∴点M的坐标为（﹣，）；
当AM为斜边时，AB2+BM2＝AM2，
即45++m2＝+（6﹣m）2，
解得：m＝﹣，
∴点M的坐标为（﹣，﹣）．
综上所述，符合题意的点M的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．
2021年天津市东丽区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）计算（﹣3）+（﹣9）结果是（ ）
A．﹣6 B．﹣12 C．6 D．12
2．（3分）2cos45°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（3分）在3月份市民政局召开的全市基金会脱贫攻坚总结会上获悉，过去的三年，全市社会组织积极作为，全力投入脱贫攻坚事业，共有779家社会组织承接扶贫项目673个，帮扶资金总计达174000000元，数字174000000科学记数法表示应为（ ）
A．174×106 B．17.4×107 C．1.74×108 D．1.74×109
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）估计3的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（3分）计算的结果是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（3，0），（0，），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．8 B．4 C．2 D．4
9．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
11．（3分）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．当点B′恰好落在边CD上时，下列结论不一定正确的是（ ）
A．CN＝C′N B．∠2＝∠3 C．B'M＝ D．B'C'＝B'M
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（m，0），且1＜m＜2．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．下列结论：①abc＞0；②若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；③a（m﹣1）+b＝0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置.
13．（3分）计算x6•x2的结果等于 ．
14．（3分）计算（2+1）（2﹣1）的结果等于 ．
15．（3分）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个绿球和6个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
16．（3分）直线y＝5x﹣6与y轴交点坐标为 ．
17．（3分）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝10，AE＝AF＝8，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ ．
18．（3分）如图，是由边长为1的小正方形组成的7×6的网格，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺作图．
（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个格点P，使∠ABP＝45°并简要说明画图方法（不要求证明）
．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解谷应写出文字说明，演算步骤或证明过程，请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置.
19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）扇形统计图中的m＝ ，条形统计图中的n＝ ；
（Ⅱ）求所调查的初中学生每天睡眠时间的平均数、众数和中位数．
21．（10分）如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝26°．
（Ⅰ）如图①，求∠CAB的度数；
（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E，求∠E的大小．
22．（10分）如图，小山上有一座120m高的电视发射塔AB，为了测量小山的高度BC，在山脚某处D测得山顶的仰角为22°，测得塔项的仰角为45°．求小山的高．（已知：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（结果精确到0.1m）
23．（10分）小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地．设小明出发x（min）后，到达距离甲地y（m）的地方，图中的折线表示的是y与x之间的函数关系．
（Ⅰ）根据题意填空：甲、乙两地的距离为 m，a＝ ；
（Ⅱ）求小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式；
（Ⅲ）在小明从甲地出发的同时，小红从乙地步行至甲地，保持120m/min的速度不变，到甲地停止．小明从甲地出发 min与小红相距400m？
24．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），把△ABO绕原点O顺时针旋转，得到△A′B′O，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点B′的坐标；
（Ⅱ）设直线AA'与直线BB′相交于点M，如图②，当α＝90°时，求△ABM的面积．
25．（10分）在平面直角坐标系中，直线x＝﹣2与x轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点B（1，0），且AC＝2BC．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE＝3PE；
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
2021年天津市东丽区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）计算（﹣3）+（﹣9）结果是（ ）
A．﹣6 B．﹣12 C．6 D．12
【分析】同号相加，取相同符号，并把绝对值相加，依此计算即可求解．
【解答】解：（﹣3）+（﹣9）＝﹣12．
故选：B．
2．（3分）2cos45°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】直接把cos45°＝代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝2×＝．
故选：B．
3．（3分）在3月份市民政局召开的全市基金会脱贫攻坚总结会上获悉，过去的三年，全市社会组织积极作为，全力投入脱贫攻坚事业，共有779家社会组织承接扶贫项目673个，帮扶资金总计达174000000元，数字174000000科学记数法表示应为（ ）
A．174×106 B．17.4×107 C．1.74×108 D．1.74×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：174000000＝1.74×108．
故选：C．
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：A、“中”可以看作轴对称图形，故此选项符合题意；
B、“流”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
C、“砥”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
D、“柱”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
【解答】解：从几何体的左边看有两层，底层两个正方形，上层左边一个正方形．
故选：A．
6．（3分）估计3的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】先将变形为，然后估算出的大小即可．
【解答】解：，
∵16＜18＜25，
∴，
即，
∴3的值在4和5之间．
故选：C．
7．（3分）计算的结果是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
【分析】根据同分母分式相减法则求出即可．
【解答】解：
＝
＝﹣
＝﹣5，
故选：B．
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（3，0），（0，），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．8 B．4 C．2 D．4
【分析】由勾股定理可求AB的长，由菱形的性质可求解．
【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是（3，0），（0，），
∴OB＝，OA＝3，
∴AB＝＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，
∴菱形ABCD的周长等于＝4×2＝8，
故选：A．
9．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【解答】解：，
①+②，可得6x＝12，
解得x＝2，
把x＝2代入①，解得y＝7，
∴原方程组的解是．
故选：D．
10．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【解答】解：∵在反比例函数y＝，k＝﹣a2﹣1＜0，
∴此函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵﹣3＜﹣2＜0，
∴点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2）在第二象限，
∴0＜y1＜y2．
∵1＞0，
∴C（1，y3）点在第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
11．（3分）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．当点B′恰好落在边CD上时，下列结论不一定正确的是（ ）
A．CN＝C′N B．∠2＝∠3 C．B'M＝ D．B'C'＝B'M
【分析】根据折叠的性质进行逐一判断即可．
【解答】解：由折叠知：CN＝C'N，∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴A，B都正确，不符合题意，
∵∠2＝∠3，
∴B'M＝B'N，
在Rt△B'NC'中，由勾股定理得：
B'N＝，
∴B'M＝B'N＝，
∴C正确，不符号题意，
∵B'C'＝BC＝2，B'M＝，
∴D错误，符合题意，
故选：D．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（m，0），且1＜m＜2．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．下列结论：①abc＞0；②若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；③a（m﹣1）+b＝0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得c＞0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到0＜﹣＜，利用点A（﹣2，y1）和点B（2，y2）到对称轴的距离的大小可对②进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，两式相减得am2﹣a+bm+b＝0，然后把等式左边分解后即可得到a（m﹣1）+b＝0，则可对③进行判断．
【解答】解：如图，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
所以①的结论错误；
∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，
∴0＜﹣＜，
∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离比点B（2，y2）到对称轴的距离远，
∴y1＜y2，
所以②的结论正确；
∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0），
∴a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，
∴am2﹣a+bm+b＝0，
a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）＝0，
∴a（m﹣1）+b＝0，
所以③的结论正确；
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置.
13．（3分）计算x6•x2的结果等于 x8 ．
【分析】根据同底数幂的乘法，即可解答．
【解答】解：x6•x2＝x6+2＝x8，
故答案为：x8．
14．（3分）计算（2+1）（2﹣1）的结果等于 11 ．
【分析】根据平方差公式，可以解答本题．
【解答】解：（2+1）（2﹣1）
＝（）2﹣12
＝12﹣1
＝11，
故答案为：11．
15．（3分）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个绿球和6个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
【分析】根据题目中的总的球的个数和绿球的个数，即可得到从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率．
【解答】解：由题意可得，
从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是，
故答案为：．
16．（3分）直线y＝5x﹣6与y轴交点坐标为 （0，﹣6） ．
【分析】代入x＝0求出与之对应的y值，进而可得出直线与y轴的交点坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝5×0﹣6＝﹣6，
∴直线y＝5x﹣6与y轴交点坐标为（0，﹣6）．
故答案为：（0，﹣6）．
17．（3分）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝10，AE＝AF＝8，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ 24 ．
【分析】作DH⊥AE于H，由题意得△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，8为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝6，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝6，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，
∵AF＝8，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，8为半径的圆上，
∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∵∠EAF＝90°，
∴∠BAF+∠BAH＝90°，
∵∠DAH+∠BAH＝90°，
∴∠DAH＝∠BAF，
在△ADH和△ABF中，，
∴△ADH≌△ABF（AAS），
∴DH＝BF＝6，
∴S△ADE＝AE•DH＝×6×8＝24．
故答案为：24．
18．（3分）如图，是由边长为1的小正方形组成的7×6的网格，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺作图．
（Ⅰ）线段AB的长等于 5 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个格点P，使∠ABP＝45°并简要说明画图方法（不要求证明）
作腰为5的等腰直角三角形ABP即可 ．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可
（Ⅱ）利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（Ⅰ）AB＝＝5，
故答案为：5．
（Ⅱ）如图，点P即为所求作．
故答案为：作腰为5的等腰直角三角形即可．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解谷应写出文字说明，演算步骤或证明过程，请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置.
19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞﹣3 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣3＜x≤1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＞﹣3，
把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来如下：
原不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
故答案为：x≤1；x＞﹣3；﹣3＜x≤1．
20．（8分）某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）扇形统计图中的m＝ 25 ，条形统计图中的n＝ 15 ；
（Ⅱ）求所调查的初中学生每天睡眠时间的平均数、众数和中位数．
【分析】（Ⅰ）根据扇形统计图中的数据，可以计算出m的值，再根据统计图中5h所占的百分比和人数，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出n的值；
（Ⅱ）根据统计图中的数据，可以计算出平均数的值，写出相应的众数和中位数．
【解答】解：（Ⅰ）m%＝1﹣10%﹣20%﹣37.5%﹣7.5%＝25%，
本次调查的人数为：4÷10%＝40，
n＝40×37.5%＝15，
故答案为：25，15；
（Ⅱ）平均数是：＝7（h），
众数是7h，中位数是7h，
即所调查的初中学生每天睡眠时间的平均数是7h、众数是7h，中位数是7h．
21．（10分）如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝26°．
（Ⅰ）如图①，求∠CAB的度数；
（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E，求∠E的大小．
【分析】（1）连接BC，根据圆周角定理求出∠ABC的度数，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ADC＝52°，根据切线的性质得到∠ECO＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）如图①，连接BC，
由圆周角定理得，∠ABC＝∠ADC＝26°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝64°；
（2）由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ADC＝52°，
∵EC是⊙O的切线，
∴∠ECO＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠AOC＝38°．
22．（10分）如图，小山上有一座120m高的电视发射塔AB，为了测量小山的高度BC，在山脚某处D测得山顶的仰角为22°，测得塔项的仰角为45°．求小山的高．（已知：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（结果精确到0.1m）
【分析】设BC为x米，则AC＝（120+x）米，通过解直角△DBC和直角△ACE列出关于x的方程，利用方程求得结果．
【解答】解：设BC为x米，则AC＝（120+x）米，
由条件知：∠CDB＝22°，∠ADC＝45°，
在Rt△DBC中，tan22°＝＝≈0.40，
∴DC＝x（米）．
在直角△ACD中，tan45°＝＝1．
∴AC＝CD，
即120+x＝x，
解得x＝80，
答：小山BC的高度为80米．
23．（10分）小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地．设小明出发x（min）后，到达距离甲地y（m）的地方，图中的折线表示的是y与x之间的函数关系．
（Ⅰ）根据题意填空：甲、乙两地的距离为 2000 m，a＝ 14 ；
（Ⅱ）求小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式；
（Ⅲ）在小明从甲地出发的同时，小红从乙地步行至甲地，保持120m/min的速度不变，到甲地停止．小明从甲地出发 5min、7.5min或22min min与小红相距400m？
【分析】（Ⅰ）根据函数图象中的数据和题意，可以得到甲、乙两地的距离和a的值；
（Ⅱ）根据函数图象中的数据，可以计算出小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式；
（Ⅲ）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明从甲地出发多少min鱼小红相距400m．
【解答】解：（Ⅰ）由图象可得，
甲、乙两地的距离为2000m，a＝10+（24﹣10×2）＝14，
故答案为：2000，14；
（Ⅱ）设小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，
∵点B（14，2000），点（24，0）在该函数图象上，
∴，解得，
即小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式是y＝﹣200x+4800；
（Ⅲ）设小明从甲地出发tmin与小红相距400m，
小明的速度为2000÷10＝200（m/min），
小明第一次与小红相遇之前，200t+120t+400＝2000，解得t＝5；
小明第一次与小红相遇之后，200t+120t＝2000+400，解得t＝7.5；
小红到达A地用的时间为：2000÷120＝16（min），
令200×（24﹣t）＝400，解得t＝22；
故答案为：5min、7.5min或22min．
24．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），把△ABO绕原点O顺时针旋转，得到△A′B′O，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点B′的坐标；
（Ⅱ）设直线AA'与直线BB′相交于点M，如图②，当α＝90°时，求△ABM的面积．
【分析】（Ⅰ）记A′B′与x轴交于点H．只要求出OH，B′H即可解决问题；
（Ⅱ）作MN⊥OA于N，只要求出ON，MN即可解决问题，再利用分割法求面积即可．
【解答】解：（Ⅰ）记A′B′与x轴交于点H．
∵∠HOA′＝α＝30°，
∴∠OHA′＝90°，
∴OH＝OA′•cos30°＝，B′H＝OB′•cos30°＝，
∴B′（，）．
（Ⅱ）∵OA＝OA′，
∴Rt△OAA′是等腰直角三角形，
∵OB＝OB′，
∴Rt△OBB′也是等腰直角三角形，
∴∠AB′B＝45°，
∵∠AMB′＝90°．
∴△AMB′是等腰直角三角形，
作MN⊥OA于N，
∵OB′＝OA+AB′＝1+2AN＝，
∴MN＝AN＝，ON＝，
∴M（，），
∴S△ABM＝S△ABB′﹣S△AB′M＝×（﹣1）×﹣×（﹣1）×＝．
25．（10分）在平面直角坐标系中，直线x＝﹣2与x轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点B（1，0），且AC＝2BC．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE＝3PE；
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）由直线x＝﹣2与x轴交于点C，结合点B坐标可得BC的长，根据AC＝2BC得出AC的长，从而可得点A的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（Ⅱ）①设点P的坐标为（a，﹣a2﹣3a+4），设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求得直线AB的解析式，则可用a表示出点E的坐标，进而表示出DE和PE，根据DE＝3PE可得关于a的方程，解得a的值，则可求点P的坐标；②根据点A、B和M的坐标，利用两点距离公式表示出AB、AM和BM，然后分两种情况：当AB为斜边时和当AM为斜边时，根据勾股定理列出方程，解得m的值，则可得点M的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线x＝﹣2与x轴交于点C，
∴C（﹣2，0）．
∵B（1，0），
∴BC＝3，
∵AC＝2BC，
∴AC＝6，
∵直线x＝﹣2与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点A，
∴A（﹣2，6），
把点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（Ⅱ）①∵点P是直线AB上方抛物线上的一点，
∴设点P的坐标为（a，﹣a2﹣3a+4），设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把点A、B的坐标代入，得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2．
∵PD⊥x轴于点D，交AB于点E，
∴点E的坐标为（a，﹣2a+2），
∴DE＝﹣2a+2，PE＝﹣a2﹣3a+4﹣（﹣2a+2）＝﹣a2﹣a+2，
∵DE＝3PE，
∴﹣2a+2＝3（﹣a2﹣a+2），
解得：a1＝1（舍去），a2＝﹣，
∴当x＝﹣时，y＝﹣﹣3×（﹣）+4＝，
∴点P的坐标为（﹣，）；
②∵点M在直线PD上，
∴设点M的坐标为（﹣，m），
∵A（﹣2，6），B（1，0），
∴AB＝＝，AM＝，BM＝，
∵△ABM为以AB为直角边的直角三角形，
当AB为斜边时，AB2+AM2＝BM2，
即45++（6﹣m）2＝+m2，
解得：m＝，
∴点M的坐标为（﹣，）；
当AM为斜边时，AB2+BM2＝AM2，
即45++m2＝+（6﹣m）2，
解得：m＝﹣，
∴点M的坐标为（﹣，﹣）．
综上所述，符合题意的点M的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．
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