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天津市南开区中考二模卷
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这是一份天津市南开区中考二模卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
天津市南开区中考数学二模试卷
一、选择题
1．-6÷的结果等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．36 D．﹣36
【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=﹣6×6=﹣36
故选：D．
【点评】本题考查有理数的运算法则，解题的关键是熟练运用除法法则，本题属于基础题型．
2．（3分）2sin60°的值等于（ ）
A． B．2 C．1 D．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：2sin60°=2×=，
故选：A．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
3．（3分）观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
所以，既是轴对称图形又是中心对称图形共有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，将这个数用科学计数法表示为（ ）
A．2×10﹣5 B．2×10﹣6 C．5×10﹣5 D．5×10﹣6
【分析】先把20万分之一转化成0.000 005，然后再用科学记数法记数记为5×10﹣6．小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解： =0.000005=5×10﹣6．
故选：D．
【点评】考查了科学计数法﹣表示较小的数，将一个绝对值较小的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
5．（3分）用五块大小相同的小正方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，是两层都有两个正方形的田字格形排列．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的正面看得到的视图．
6．（3分）在实数﹣，﹣2，，中，最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．
【分析】为正数，，﹣2为负数，根据正数大于负数，所以比较与﹣2的大小即可．
【解答】解：正数有：；
负数：，﹣2，
∵，
∴，
∴最小的数是﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了实数比较大小，解决本题的关键是正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．
7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵BD=2AD，
∴===，
则=，
∴A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题关键．
8．（3分）一个正六边形的半径为R，边心距为r，那么R与r的关系是（ ）
A．r=R B．r=R C．r=R D．r=R
【分析】求出正六边形的边心距（用R表示），根据“接近度”的定义即可解决问题．
【解答】解：∵正六边形的半径为R，
∴边心距r=R，
故选：A．
【点评】本题考查正多边形与圆的共线，等边三角形高的计算，记住等边三角形的高h=a（a是等边三角形的边长），理解题意是解题的关键，属于中考常考题型．
9．（3分）设点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据反比例函数图象的性质得出k的取值范围，进而根据一次函数的性质得出一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限．
【解答】解：∵点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，
∴x1＜x2＜0时，y随x的增大而增大，
∴k＜0，
∴一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是：第一象限．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得出k的取值范围是解题关键．
10．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】首先连接AD，由A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，可求得∠ADO与∠ODC的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案．
【解答】解：连接AD，
∵OA=OD，∠AOD=50°，
∴∠ADO==65°．
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOC=50°，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115°，
∴∠B=180°﹣∠ADC=65°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质．此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
11．（3分）观察如图图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中的小点一共有（ ）
A．162个 B．135个 C．30个 D．27个
【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律的通项公式，然后代入9求解即可．
【解答】解：第1个图形有3=3×1=3个点，
第2个图形有3+6=3×（1+2）=9个点
第3个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点；
……
第n个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）=个点；
当n=9时， ==135，
故选：B．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够找到图形的变化规律，然后求解．
12．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc＜0，②a＜﹣，③a=﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由抛物线开口方向及对称轴位置、抛物线与y轴交点可判断①；由①知y=ax2﹣2ax+1，根据x=﹣1时y＜0可判断②；由抛物线顶点在一次函数图象上知a+b+1=k+1，即a+b=k，结合b=﹣2a可判断③；根据0＜x＜1时二次函数图象在一次函数图象上方知ax2+bx+1＞kx+1，即ax2+bx＞kx，两边都除以x可判断④．
【解答】解：由抛物线的开口向下，且对称轴为x=1可知a＜0，﹣ =1，即b=﹣2a＞0，
由抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上知c=1，
则abc＜0，故①正确；
由①知y=ax2﹣2ax+1，
∵x=﹣1时，y=a+2a+1=3a+1＜0，
∴a＜﹣，故②正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，
∴a+b+1=k+1，即a+b=k，
∵b=﹣2a，
∴﹣a=k，即a=﹣k，故③正确；
由函数图象知，当0＜x＜1时，二次函数图象在一次函数图象上方，
∴ax2+bx+1＞kx+1，即ax2+bx＞kx，
∵x＞0，
∴ax+b＞k，故④正确；
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征．
二、填空题（3×6=18）
13．（3分）分解因式：x2﹣5x= x（x﹣5） ．
【分析】直接提取公因式x分解因式即可．
【解答】解：x2﹣5x=x（x﹣5）．
故答案为：x（x﹣5）．
【点评】此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式．
14．（3分）计算×（﹣2）的结果等于 2﹣2 ．
【分析】利用二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：原式=﹣2
=2﹣2．
故答案为2﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．（3分）有四张卡片，分别写有数﹣2，0，1，5，将它们背面朝上（背面无差别）洗匀后放在桌上，从中任意抽出两张，则抽出卡片上的数的积是正数的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字积为正数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽出卡片上的数字积为正数的结果为2种，
所以抽出卡片上的数字积为正数的概率为=，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为 2 ．
【分析】根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A’B’D’的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．
【解答】解：∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，
∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，
∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．
17．（3分）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为 （﹣，） ．
【分析】首先过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AO于F，
∵点B的坐标为（1，3），
∴BC=AO=1，AB=OC=3，
根据折叠可知：CD=BC=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90°，AD=AB=3，
在△CDE和△AOE中，
，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE=DE，OA=CD=1，AE=CE，
设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，
∴（3﹣x）2=x2+12，
∴x=，
∴OE=，AE=CE=OC﹣OE=3﹣=，
又∵DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
∴AE：AD=EO：DF=AO：AF，
即：3=：DF=1：AF，
∴DF=，AF=，
∴OF=﹣1=，
∴D的坐标为：（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．
【点评】此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质．解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为格点
（Ⅰ）AB的长等于
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中求作一点C，使得CA=CB且△ABC的面积等于，并简要说明点C的位置是如何找到的 取格点P、N（使得S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理计算即可；
（Ⅱ）取格点P、N（S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AB==，
故答案为．
（Ⅱ）如图取格点P、N（使得S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．
故答案为：取格点P、N（S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，线段的垂直平分线的性质、等高模型等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（66分）
19．（8分）解不等式组
请结合题填空，完成本题的解答
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣1
（Ⅱ）解不等式②，得 x＜3
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1≤x＜3
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得：x≥﹣1，
（Ⅱ）解不等式②，得：x＜3，
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：
（Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
故答案为：x≥﹣1、x＜3、﹣1≤x＜3．
【点评】此题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20．（8分）某校为了解学生每天参加户外活动的情况，随机抽查了一部分学生每天参加户外活动的时间情况，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题；
（Ⅰ）在图①中，m的值为 20 ，表示“2小时”的扇形的圆心角为 54 度；
（Ⅱ）求统计的这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位数．
【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据可以求得m的值和表示“2小时”的扇形的圆心角的度数；
（Ⅱ）根据条形统计图中的数据可以求得这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位数．
【解答】解：（Ⅰ）m%=1﹣40%﹣25%﹣15%=20%，
即m的值是20，
表示“2小时”的扇形的圆心角为：360°×15%=54°，
故答案为：20、54；
（Ⅱ）这组数据的平均数是： =，
众数是：1，
中位数是：1．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．
21．（10分）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．
（Ⅰ）如图1，当∠ACD=45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；
（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．
【分析】（Ⅰ）连接OD，如图1，理由圆周角定理得到∠AOD=90°，则OD⊥AB，再理由平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断DE为⊙O的切线；
（Ⅱ）连接OC，如图1，利用垂径定理得到AB⊥CD，再利用圆周角定理得到∠COF=60°，则根据含30度的直角三角形三边的关系计算出OF=，CF=，所以CD=2CF=，AF=，接着证明AF为△CDE的中位线得到DE=2AF=3，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（Ⅰ）DE与⊙O相切．、
理由如下：连接OD，如图1，
∵∠AOD=2∠ACD=2×45°=90°，
∴OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（Ⅱ）连接OC，如图1，
∵点F是CD的中点，
∴AB⊥CD，CF=DF，
∵∠COF=2∠CAB=60°，
∴OF=OC=，CF=OF=，
∴CD=2CF=，AF=OA+OF=，
∵AF∥AD，F点为CD的中点，
∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，
∴DE=2AF=3，
∴△CDE的面积=×3×=．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了圆周角定理和垂径定理．
22．（10分）某中学依山而建，校门A处有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米运的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米
（Ⅰ）求∠BAD的正切值；
（Ⅱ）求DC的长．（参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2）
【分析】（Ⅰ）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，求得BG=DF=5米，然后根据勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i．
（Ⅱ）在Rt△BCF中，BF==，在Rt△CEF中，EF==，得到方程BF﹣EF=﹣=4，解得CF=16，即可求得求DC=21．
【解答】解：（Ⅰ）过B作BG⊥AD于G，
则四边形BGDF是矩形，
∴BG=DF=5米，
∵AB=13米，
∴AG==12米，
∴tan∠BAD==1：2.4；
（Ⅱ）在Rt△BCF中，BF==，
在Rt△CEF中，EF==，
∵BE=4米，
∴BF﹣EF═﹣=4，
解得：CF=16．
∴DC=CF+DF=16+5=21米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角和俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键．
23．（10分）某文物古迹遗址每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对文物古迹会产生不良影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用的问题，还要保证有一定的门票收入，因此遗址的管理部门采取了升、降门票价格的方法来控制参观人数．在实施过程中发现：每周参观人数y（人）与票价x（元）之间怡好构成一次函数关系．
（Ⅰ）根据题意完成下列表格
票价x（元）
10
15
x
18
参观人数y（人）
7000
4500
﹣500x+12000
3000
（Ⅱ）在这样的情况下，如果要确保每周有40000元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应定位多少元？
（Ⅲ）门票价格应该是多少元时，门票收入最大？这样每周应有多少人参观？
【分析】（Ⅰ）由题意可知每周参观人数y（人）与票价x（元）之间怡好构成一次函数关系，把点（10，7000）（15，4500）分别代入y=kx+b，求出k，b的值，即可把表格填写完整；
（Ⅱ）根据参观人数×票价=40000元，即可求出每周应限定参观人数以及门票价格应定位；
（Ⅲ）先得到二次函数，再配方法即可求解．
【解答】解：（I）设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b，
把（10，7000）（15，4500）代入y=kx+b中得
，
解得，
∴y=﹣500x+12000，
x=18时，y=3000，
故答案为：﹣500x+12000，3000；
（II）根据确保每周4万元的门票收入，得xy=40000
即x（﹣500x+12000）=40000
x2﹣24x+80=0
解得x1=20 x2=4
把x1=20，x2=4分别代入y=﹣500x+12000中
得y1=2000，y2=10000
因为控制参观人数，所以取x=20，y=2000
答：每周应限定参观人数是2000人，门票价格应是20元/人．
（III）依题意有
x（﹣500x+12000）=﹣500（x2﹣24）=﹣500（x﹣12）2+72000，
y=﹣500×12+12000=6000．
故门票价格应该是12元时门票收入最大，这样每周应有6000人参观．
【点评】此题考查了二次函数以及一次函数的应用，解答此类题目的关键是要注意自变量的取值还必须使实际问题有意义．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8），点C的坐标为（﹣2，4），点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间t秒（t＞0），△OMN的面积为S．
（1）填空：AB的长是 10 ，BC的长是 6 ；
（2）当t=3时，求S的值；
（3）当3＜t＜6时，设点N的纵坐标为y，求y与t的函数关系式；
（4）若S=，请直接写出此时t的值．
【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．当t=3时，点N与C重合，OM=3，易求△OMN的面积；
（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN=12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．则F（0，4）．由GN∥CF，推出=，即=，可得BG=8﹣t，由此即可解决问题；
（4）分三种情形①当点N在边长上，点M在OA上时．②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．作OE⊥AB于E，则OE==，列出方程即可解决问题．③同法当M、N在线段AB上，相遇之后，列出方程即可；
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB===10．
BC==6，
故答案为10，6．
（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．
∵C（﹣2，4），
∴CE=4OE=2，
在Rt△COE中，OC===6，
当t=3时，点N与C重合，OM=3，
∴S△ONM=•OM•CE=×3×4=6，
即S=6．
（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN=12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．则F（0，4）．
∵OF=4，OB=8，
∴BF=8﹣4=4，
∵GN∥CF，
∴=，即=，
∴BG=8﹣t，
∴y=OB﹣BG=8﹣（8﹣t）=t．
（4）①当点N在边长上，点M在OA上时， •t•t=，
解得t=（负根已经舍弃）．
②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．
作OE⊥AB于E，则OE==，
由题意 [10﹣（2t﹣12）﹣（t﹣6）]• =，
解得t=8，
同法当M、N在线段AB上，相遇之后．
由题意•[（2t﹣12）+（t﹣6）﹣10]• =，
解得t=，
综上所述，若S=，此时t的值8s或s或s．
【点评】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．（10分）已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y=ax2﹣8ax﹣交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=6；抛物线l2与l1交于点A和点C（5，n）．
（1）求抛物线l1，l2的表达式；
（2）当x的取值范围是 2≤x≤4 时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；
（3）直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，当1≤m≤7时，求线段MN的最大值．
【分析】（1）首先确定A、B两点坐标，求出抛物线l1的解析式，再求出点C坐标，利用待定系数法求出抛物线l2的解析式即可；
（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，求出两个抛物线的顶点坐标即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解：①如图1中，当1≤m≤5时，MN=﹣m2+6m﹣5=﹣（m﹣3）2+4，②如图2中，当5＜m≤7时，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4，利用二次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意抛物线l1的对称轴x=﹣=4，
∵抛物线l1交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=6，
∴A（1，0），B（7，0），
把A（1，0）代入y=ax2﹣8ax﹣，解得a=﹣，
∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+4x﹣，
把C（5，n）代入y=﹣x2+4x﹣，解得n=4，
∴C（5，4），
∵抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，
∴可以假设抛物线l2的解析式为y=x2+bx+c，
把A（1，0），C（5，4）代入y=x2+bx+c，
得到，解得，
∴抛物线l2的解析式为y=x2﹣2x+．
（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，
顶点E（2，﹣），顶点F（4，）
所以2≤x≤4时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，
故答案为2≤x≤4．
（3）∵直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，
∴M（m，﹣ m2+4m﹣），N（m， m2﹣2m+），
①如图1中，当1≤m≤5时，
MN=﹣m2+6m﹣5=﹣（m﹣3）2+4，
∴m=3时，MN的最大值为4．
②如图2中，当5＜m≤7时，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4，
5＜m≤7时，在对称轴右侧，MN随m的增大而增大，
∴m=7时，MN的值最大，最大值是12，
综上所述，MN的最大值为12．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
天津市南开区中考数学二模试卷
一、选择题
1．-6÷的结果等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．36 D．﹣36
【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=﹣6×6=﹣36
故选：D．
【点评】本题考查有理数的运算法则，解题的关键是熟练运用除法法则，本题属于基础题型．
2．（3分）2sin60°的值等于（ ）
A． B．2 C．1 D．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：2sin60°=2×=，
故选：A．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
3．（3分）观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
所以，既是轴对称图形又是中心对称图形共有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，将这个数用科学计数法表示为（ ）
A．2×10﹣5 B．2×10﹣6 C．5×10﹣5 D．5×10﹣6
【分析】先把20万分之一转化成0.000 005，然后再用科学记数法记数记为5×10﹣6．小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解： =0.000005=5×10﹣6．
故选：D．
【点评】考查了科学计数法﹣表示较小的数，将一个绝对值较小的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
5．（3分）用五块大小相同的小正方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，是两层都有两个正方形的田字格形排列．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的正面看得到的视图．
6．（3分）在实数﹣，﹣2，，中，最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．
【分析】为正数，，﹣2为负数，根据正数大于负数，所以比较与﹣2的大小即可．
【解答】解：正数有：；
负数：，﹣2，
∵，
∴，
∴最小的数是﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了实数比较大小，解决本题的关键是正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．
7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵BD=2AD，
∴===，
则=，
∴A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题关键．
8．（3分）一个正六边形的半径为R，边心距为r，那么R与r的关系是（ ）
A．r=R B．r=R C．r=R D．r=R
【分析】求出正六边形的边心距（用R表示），根据“接近度”的定义即可解决问题．
【解答】解：∵正六边形的半径为R，
∴边心距r=R，
故选：A．
【点评】本题考查正多边形与圆的共线，等边三角形高的计算，记住等边三角形的高h=a（a是等边三角形的边长），理解题意是解题的关键，属于中考常考题型．
9．（3分）设点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据反比例函数图象的性质得出k的取值范围，进而根据一次函数的性质得出一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限．
【解答】解：∵点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，
∴x1＜x2＜0时，y随x的增大而增大，
∴k＜0，
∴一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是：第一象限．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得出k的取值范围是解题关键．
10．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】首先连接AD，由A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，可求得∠ADO与∠ODC的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案．
【解答】解：连接AD，
∵OA=OD，∠AOD=50°，
∴∠ADO==65°．
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOC=50°，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115°，
∴∠B=180°﹣∠ADC=65°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质．此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
11．（3分）观察如图图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中的小点一共有（ ）
A．162个 B．135个 C．30个 D．27个
【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律的通项公式，然后代入9求解即可．
【解答】解：第1个图形有3=3×1=3个点，
第2个图形有3+6=3×（1+2）=9个点
第3个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点；
……
第n个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）=个点；
当n=9时， ==135，
故选：B．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够找到图形的变化规律，然后求解．
12．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc＜0，②a＜﹣，③a=﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由抛物线开口方向及对称轴位置、抛物线与y轴交点可判断①；由①知y=ax2﹣2ax+1，根据x=﹣1时y＜0可判断②；由抛物线顶点在一次函数图象上知a+b+1=k+1，即a+b=k，结合b=﹣2a可判断③；根据0＜x＜1时二次函数图象在一次函数图象上方知ax2+bx+1＞kx+1，即ax2+bx＞kx，两边都除以x可判断④．
【解答】解：由抛物线的开口向下，且对称轴为x=1可知a＜0，﹣ =1，即b=﹣2a＞0，
由抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上知c=1，
则abc＜0，故①正确；
由①知y=ax2﹣2ax+1，
∵x=﹣1时，y=a+2a+1=3a+1＜0，
∴a＜﹣，故②正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，
∴a+b+1=k+1，即a+b=k，
∵b=﹣2a，
∴﹣a=k，即a=﹣k，故③正确；
由函数图象知，当0＜x＜1时，二次函数图象在一次函数图象上方，
∴ax2+bx+1＞kx+1，即ax2+bx＞kx，
∵x＞0，
∴ax+b＞k，故④正确；
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征．
二、填空题（3×6=18）
13．（3分）分解因式：x2﹣5x= x（x﹣5） ．
【分析】直接提取公因式x分解因式即可．
【解答】解：x2﹣5x=x（x﹣5）．
故答案为：x（x﹣5）．
【点评】此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式．
14．（3分）计算×（﹣2）的结果等于 2﹣2 ．
【分析】利用二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：原式=﹣2
=2﹣2．
故答案为2﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．（3分）有四张卡片，分别写有数﹣2，0，1，5，将它们背面朝上（背面无差别）洗匀后放在桌上，从中任意抽出两张，则抽出卡片上的数的积是正数的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字积为正数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽出卡片上的数字积为正数的结果为2种，
所以抽出卡片上的数字积为正数的概率为=，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为 2 ．
【分析】根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A’B’D’的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．
【解答】解：∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，
∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，
∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．
17．（3分）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为 （﹣，） ．
【分析】首先过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AO于F，
∵点B的坐标为（1，3），
∴BC=AO=1，AB=OC=3，
根据折叠可知：CD=BC=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90°，AD=AB=3，
在△CDE和△AOE中，
，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE=DE，OA=CD=1，AE=CE，
设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，
∴（3﹣x）2=x2+12，
∴x=，
∴OE=，AE=CE=OC﹣OE=3﹣=，
又∵DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
∴AE：AD=EO：DF=AO：AF，
即：3=：DF=1：AF，
∴DF=，AF=，
∴OF=﹣1=，
∴D的坐标为：（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．
【点评】此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质．解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为格点
（Ⅰ）AB的长等于
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中求作一点C，使得CA=CB且△ABC的面积等于，并简要说明点C的位置是如何找到的 取格点P、N（使得S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理计算即可；
（Ⅱ）取格点P、N（S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AB==，
故答案为．
（Ⅱ）如图取格点P、N（使得S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．
故答案为：取格点P、N（S△PAB=），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C，点C即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，线段的垂直平分线的性质、等高模型等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（66分）
19．（8分）解不等式组
请结合题填空，完成本题的解答
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣1
（Ⅱ）解不等式②，得 x＜3
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1≤x＜3
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得：x≥﹣1，
（Ⅱ）解不等式②，得：x＜3，
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：
（Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
故答案为：x≥﹣1、x＜3、﹣1≤x＜3．
【点评】此题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20．（8分）某校为了解学生每天参加户外活动的情况，随机抽查了一部分学生每天参加户外活动的时间情况，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题；
（Ⅰ）在图①中，m的值为 20 ，表示“2小时”的扇形的圆心角为 54 度；
（Ⅱ）求统计的这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位数．
【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据可以求得m的值和表示“2小时”的扇形的圆心角的度数；
（Ⅱ）根据条形统计图中的数据可以求得这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位数．
【解答】解：（Ⅰ）m%=1﹣40%﹣25%﹣15%=20%，
即m的值是20，
表示“2小时”的扇形的圆心角为：360°×15%=54°，
故答案为：20、54；
（Ⅱ）这组数据的平均数是： =，
众数是：1，
中位数是：1．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．
21．（10分）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．
（Ⅰ）如图1，当∠ACD=45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；
（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．
【分析】（Ⅰ）连接OD，如图1，理由圆周角定理得到∠AOD=90°，则OD⊥AB，再理由平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断DE为⊙O的切线；
（Ⅱ）连接OC，如图1，利用垂径定理得到AB⊥CD，再利用圆周角定理得到∠COF=60°，则根据含30度的直角三角形三边的关系计算出OF=，CF=，所以CD=2CF=，AF=，接着证明AF为△CDE的中位线得到DE=2AF=3，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（Ⅰ）DE与⊙O相切．、
理由如下：连接OD，如图1，
∵∠AOD=2∠ACD=2×45°=90°，
∴OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（Ⅱ）连接OC，如图1，
∵点F是CD的中点，
∴AB⊥CD，CF=DF，
∵∠COF=2∠CAB=60°，
∴OF=OC=，CF=OF=，
∴CD=2CF=，AF=OA+OF=，
∵AF∥AD，F点为CD的中点，
∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，
∴DE=2AF=3，
∴△CDE的面积=×3×=．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了圆周角定理和垂径定理．
22．（10分）某中学依山而建，校门A处有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米运的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米
（Ⅰ）求∠BAD的正切值；
（Ⅱ）求DC的长．（参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2）
【分析】（Ⅰ）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，求得BG=DF=5米，然后根据勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i．
（Ⅱ）在Rt△BCF中，BF==，在Rt△CEF中，EF==，得到方程BF﹣EF=﹣=4，解得CF=16，即可求得求DC=21．
【解答】解：（Ⅰ）过B作BG⊥AD于G，
则四边形BGDF是矩形，
∴BG=DF=5米，
∵AB=13米，
∴AG==12米，
∴tan∠BAD==1：2.4；
（Ⅱ）在Rt△BCF中，BF==，
在Rt△CEF中，EF==，
∵BE=4米，
∴BF﹣EF═﹣=4，
解得：CF=16．
∴DC=CF+DF=16+5=21米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角和俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键．
23．（10分）某文物古迹遗址每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对文物古迹会产生不良影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用的问题，还要保证有一定的门票收入，因此遗址的管理部门采取了升、降门票价格的方法来控制参观人数．在实施过程中发现：每周参观人数y（人）与票价x（元）之间怡好构成一次函数关系．
（Ⅰ）根据题意完成下列表格
票价x（元）
10
15
x
18
参观人数y（人）
7000
4500
﹣500x+12000
3000
（Ⅱ）在这样的情况下，如果要确保每周有40000元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应定位多少元？
（Ⅲ）门票价格应该是多少元时，门票收入最大？这样每周应有多少人参观？
【分析】（Ⅰ）由题意可知每周参观人数y（人）与票价x（元）之间怡好构成一次函数关系，把点（10，7000）（15，4500）分别代入y=kx+b，求出k，b的值，即可把表格填写完整；
（Ⅱ）根据参观人数×票价=40000元，即可求出每周应限定参观人数以及门票价格应定位；
（Ⅲ）先得到二次函数，再配方法即可求解．
【解答】解：（I）设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b，
把（10，7000）（15，4500）代入y=kx+b中得
，
解得，
∴y=﹣500x+12000，
x=18时，y=3000，
故答案为：﹣500x+12000，3000；
（II）根据确保每周4万元的门票收入，得xy=40000
即x（﹣500x+12000）=40000
x2﹣24x+80=0
解得x1=20 x2=4
把x1=20，x2=4分别代入y=﹣500x+12000中
得y1=2000，y2=10000
因为控制参观人数，所以取x=20，y=2000
答：每周应限定参观人数是2000人，门票价格应是20元/人．
（III）依题意有
x（﹣500x+12000）=﹣500（x2﹣24）=﹣500（x﹣12）2+72000，
y=﹣500×12+12000=6000．
故门票价格应该是12元时门票收入最大，这样每周应有6000人参观．
【点评】此题考查了二次函数以及一次函数的应用，解答此类题目的关键是要注意自变量的取值还必须使实际问题有意义．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8），点C的坐标为（﹣2，4），点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间t秒（t＞0），△OMN的面积为S．
（1）填空：AB的长是 10 ，BC的长是 6 ；
（2）当t=3时，求S的值；
（3）当3＜t＜6时，设点N的纵坐标为y，求y与t的函数关系式；
（4）若S=，请直接写出此时t的值．
【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．当t=3时，点N与C重合，OM=3，易求△OMN的面积；
（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN=12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．则F（0，4）．由GN∥CF，推出=，即=，可得BG=8﹣t，由此即可解决问题；
（4）分三种情形①当点N在边长上，点M在OA上时．②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．作OE⊥AB于E，则OE==，列出方程即可解决问题．③同法当M、N在线段AB上，相遇之后，列出方程即可；
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB===10．
BC==6，
故答案为10，6．
（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．
∵C（﹣2，4），
∴CE=4OE=2，
在Rt△COE中，OC===6，
当t=3时，点N与C重合，OM=3，
∴S△ONM=•OM•CE=×3×4=6，
即S=6．
（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN=12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．则F（0，4）．
∵OF=4，OB=8，
∴BF=8﹣4=4，
∵GN∥CF，
∴=，即=，
∴BG=8﹣t，
∴y=OB﹣BG=8﹣（8﹣t）=t．
（4）①当点N在边长上，点M在OA上时， •t•t=，
解得t=（负根已经舍弃）．
②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．
作OE⊥AB于E，则OE==，
由题意 [10﹣（2t﹣12）﹣（t﹣6）]• =，
解得t=8，
同法当M、N在线段AB上，相遇之后．
由题意•[（2t﹣12）+（t﹣6）﹣10]• =，
解得t=，
综上所述，若S=，此时t的值8s或s或s．
【点评】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．（10分）已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y=ax2﹣8ax﹣交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=6；抛物线l2与l1交于点A和点C（5，n）．
（1）求抛物线l1，l2的表达式；
（2）当x的取值范围是 2≤x≤4 时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；
（3）直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，当1≤m≤7时，求线段MN的最大值．
【分析】（1）首先确定A、B两点坐标，求出抛物线l1的解析式，再求出点C坐标，利用待定系数法求出抛物线l2的解析式即可；
（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，求出两个抛物线的顶点坐标即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解：①如图1中，当1≤m≤5时，MN=﹣m2+6m﹣5=﹣（m﹣3）2+4，②如图2中，当5＜m≤7时，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4，利用二次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意抛物线l1的对称轴x=﹣=4，
∵抛物线l1交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=6，
∴A（1，0），B（7，0），
把A（1，0）代入y=ax2﹣8ax﹣，解得a=﹣，
∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+4x﹣，
把C（5，n）代入y=﹣x2+4x﹣，解得n=4，
∴C（5，4），
∵抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，
∴可以假设抛物线l2的解析式为y=x2+bx+c，
把A（1，0），C（5，4）代入y=x2+bx+c，
得到，解得，
∴抛物线l2的解析式为y=x2﹣2x+．
（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，
顶点E（2，﹣），顶点F（4，）
所以2≤x≤4时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，
故答案为2≤x≤4．
（3）∵直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，
∴M（m，﹣ m2+4m﹣），N（m， m2﹣2m+），
①如图1中，当1≤m≤5时，
MN=﹣m2+6m﹣5=﹣（m﹣3）2+4，
∴m=3时，MN的最大值为4．
②如图2中，当5＜m≤7时，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4，
5＜m≤7时，在对称轴右侧，MN随m的增大而增大，
∴m=7时，MN的值最大，最大值是12，
综上所述，MN的最大值为12．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
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