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天津市南开区2018年中考数学一模试卷含答案解析
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这是一份天津市南开区2018年中考数学一模试卷含答案解析，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018年天津市南开区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（﹣2）×（﹣6）的结果等于（ ）
A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣8
2．（3分）计算tan60°的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
3．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）在网络上用“Google”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的结果个数约为45100000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．451×105 B．45.1×106 C．4.51×107 D．0.451×108
5．（3分）如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如果实数a=，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）化简+，其结果为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）半径为a的正六边形的面积等于（ ）
A． B． C．a2 D．
9．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．8S B．9S C．10S D．11S
11．（3分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．4
12．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算（﹣2a）3的结果是 ．
14．（3分）计算（﹣）2的结果等于 ．
15．（3分）将正比例函数y=2x的图象向下平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 ．（写出一个即可）
16．（3分）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．有一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正形区域（含边）的概率是 ．
17．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．
18．（3分）如图，是大小相等的边长为1的正方形构成的网格，A，B，C，D均为格点．
（Ⅰ）△ACD的面积为 ；
（Ⅱ）现只有无刻度的直尺，请在线段AD上找一点P，并连结BP，使得直线BP将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，在图中画出线段BP，并在横线上简要说明你的作图方法． ．
三、解答题（本大题共7小题，共计66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现抽查了九年级（1）班全班同学捐款情况，并绘制出如下的统计表和统计图：
捐款（元）
20
50
100
150
200
人数（人）
4
12
9
3
2
求：（Ⅰ）m= ，n= ；
（Ⅱ）求学生捐款数目的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）若该校有学生2500人，估计该校学生共捐款多少元？
21．（10分）在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．
（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP=∠B；
（2）如图②，AC=8，BC=6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．
22．（10分）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°．
（1）求B，D之间的距离；
（2）求C，D之间的距离．
23．（10分）某旅行团计划今年暑假组织老年人团到台湾旅游，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆可供选择，其收费标准为某人每天120元，并且推出各自不同的优惠方案：甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．
设老年人团的人数为x
（1）根据题意，用含x的式子填写下表：
x≤35
35＜x＜45
x=45
x＞45
甲宾馆收费/元
120x
5280
乙宾馆收费/元
120x
120x
5400
（2）当x取何值时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．
25．（10分）已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a．[来源:学#科#网Z#X#X#K]
（Ⅰ）求该二次函数的对称轴；
（Ⅱ）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；
（Ⅲ）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．
2018年天津市南开区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（﹣2）×（﹣6）的结果等于（ ）
A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣8
【解答】解：（﹣2）×（﹣6）=+（2×6）=12，
故选：A．
2．（3分）计算tan60°的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
【解答】解：原式=，
故选：D．
3．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
4．（3分）在网络上用“Google”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的结果个数约为45100000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．451×105 B．45.1×106 C．4.51×107 D．0.451×108
【解答】解：45 100 000=4.51×107，
故选：C．
5．（3分）如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从正前方观察，应看到长有三个立方体，且中间的为三个立方体叠加；高为两个立方体，在中间且有两个立方体叠加．
故选：B．
6．（3分）如果实数a=，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由被开方数越大算术平方根越大，得
＜＜，得
3＜a＜3.5，
故选：C．
7．（3分）化简+，其结果为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：原式=+
=
=．
故选：A．
8．（3分）半径为a的正六边形的面积等于（ ）
A． B． C．a2 D．
【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，
得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是a，
因而面积是，
因而正六边形的面积．
故选：B．
9．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【解答】解：∵反比例函数y=，a2+1≥1＞0，
∴该函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，在第一象限内的函数值都大于0，在第三象限内的函数值都小于0，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，x1＜0＜x2，
∴y1＜0＜y2，
故选：A．
10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．8S B．9S C．10S D．11S
【解答】解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△DEF：S△BCF=（）2，
又∵E是AD中点，
∴DE=AD=BC，
∴DE：BC=DF：BF=1：2，
∴S△DEF：S△BCF=1：4，
∴S△BCF=4S，
又∵DF：BF=1：2，
∴S△DCF=2S，
∴S▱ABCD=2（S△DCF+S△BCF）=12S．
∴四边形ABCE的面积=9S，
故选：B．
11．（3分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．4
【解答】解：如图所示：连接BD、AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABO=90°﹣60°=30°，
∵∠AOB=90°，
∴AO=AB=×2=1，
由勾股定理得：BO=DO=，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=BD=（2）=，
故选：C．
12．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8=0，有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），
∴方程的另一个根为x=﹣2．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算（﹣2a）3的结果是 ﹣8a3 ．
【解答】解：（﹣2a）3=﹣8a3．
故答案是：﹣8a3．
14．（3分）计算（﹣）2的结果等于 8﹣2 ．
【解答】解：原式=5﹣2+3
=8﹣2．
故答案为8﹣2．
[来源:学科网]
15．（3分）将正比例函数y=2x的图象向下平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 y=2x﹣2 ．（写出一个即可）
【解答】解：将正比例函数y=2x的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y=2x﹣2．
故答案为：y=2x﹣2
16．（3分）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．有一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正形区域（含边）的概率是 ．
【解答】解：大正方形的边长为： =，
总面积为20，
∵阴影区域的边长为2，
∴面积为2×2=4；
故飞镖落在阴影区域的概率为： =．
故答案为：．
17．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 4 ．
【解答】解：连接OP、OB，
∵图形BAP的面积=△AOB的面积+△BOP的面积+扇形OAP的面积，
图形BCP的面积=△BOC的面积+扇形OCP的面积﹣△BOP的面积，
又∵点P是半圆弧AC的中点，OA=OC，
∴扇形OAP的面积=扇形OCP的面积，△AOB的面积=△BOC的面积，
∴两部分面积之差的绝对值是2S△BOP=OP•OC=4．[来源:Zxxk.Com]
18．（3分）如图，是大小相等的边长为1的正方形构成的网格，A，B，C，D均为格点．
（Ⅰ）△ACD的面积为 ；
（Ⅱ）现只有无刻度的直尺，请在线段AD上找一点P，并连结BP，使得直线BP将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，在图中画出线段BP，并在横线上简要说明你的作图方法． 在线段AP上确定点P，使得AP：PD=5：3，连接BP，则BP即为所求 ．
【解答】解：（Ⅰ）由图可得，△ACD的面积=×5×1=；
故答案为：；
（Ⅱ）如图，连接BD，则△ABD的面积=△ADF的面积+△BDF的面积=×2×（2+2）=4，
四边形ABCD的面积=△ACD的面积+△ACB的面积=+×5×2=，
∵直线BP将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，
∴△ABP的面积=×=，即S△ABD=S△ABD，
∴AP：PD=5：3，
如图，连接CE，交AD于点P，连接BP，则，
∴线段BP即为所求．
故答案为：在线段AP上确定点P，使得AP：PD=5：3，连接BP，则BP即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共计66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤2 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞﹣1 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1＜x≤2 ．
【解答】解：
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤2；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞﹣1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
故答案为：x≤2； x＞﹣1；﹣1＜x≤2．
20．（8分）某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现抽查了九年级（1）班全班同学捐款情况，并绘制出如下的统计表和统计图：
捐款（元）
20
50
100
150
200
人数（人）
4
12
9
3
2
求：（Ⅰ）m= 40 ，n= 30 ；
（Ⅱ）求学生捐款数目的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）若该校有学生2500人，估计该校学生共捐款多少元？
【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为4+12+9+3+2=30人．
12÷30=40%，9÷30=30%，
所以扇形统计图中的m=40，n=30；
故答案为：40，30；
（Ⅱ）∵在这组数据中，50出现了12次，出现的次数最多，
∴学生捐款数目的众数是50元；
∵按照从小到大排列，处于中间位置的两个数据都是50，
∴中位数为50元；
这组数据的平均数=（20×4+50×12+100×9+150×3+200×2）÷30=2430÷30=81（元）．
（Ⅲ）根据题意得：
2500×81=202500元
答：估计该校学生共捐款202500元．
21．（10分）在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．
（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP=∠B；
（2）如图②，AC=8，BC=6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．
【解答】解：（1）当点O在AC上时，OC为⊙O的半径，
∵BC⊥OC，且点C在⊙O上，
∴BC与⊙O相切．
∵⊙O与AB边相切于点P，
∴BC=BP，[来源:学科网]
∴∠BCP=∠BPC=，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠ACP=90°﹣∠BCP=90°﹣=∠B．′
即2∠ACP=∠B；
（2）在△ABC中，∠ACB=90°，AB==10，
如图，当点O在CB上时，OC为⊙O的半径，
∵AC⊥OC，且点C在⊙O上，
∴AC与⊙O相切，
连接OP、AO，
∵⊙O与AB边相切于点P，
∴OP⊥AB，
设OC=x，则OP=x，OB=BC﹣OC=6﹣x，
∵AC=AP，
∴BP=AB﹣AP=10﹣8=2，
在△OPA中，∠OPA=90°，
根据勾股定理得：OP2+BP2=OB2，即x2+22=（6﹣x）2，
解得：x=，
在△ACO中，∠ACO=90°，AC2+OC2=AO2，
∴AO==．
∵AC=AP，OC=OP，
∴AO垂直平分CP，
∴根据面积法得：CP=2×=，则符合条件的CP长大于．
由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，
综上，当点O在△ABC外时，＜CP≤8．
22．（10分）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°．
（1）求B，D之间的距离；
（2）求C，D之间的距离．
【解答】解：（1）如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°，
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°+15°=60°．
∵AE∥BF∥CD，
∴∠FBC=∠EAC=60°．
∵∠FBD=30°
∴∠DBC=∠FBC﹣∠FBD=30°．（2分）
又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，
∴∠ADB=15°．
∴∠DAB=∠ADB．
∴△ABD为等腰三角形，
∴BD=AB=2．
即BD之间的距离为2km．（4分）
（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，
在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°，
∴DO=2×sin60°=，BO=2×cos60°=1．（6分）
在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=，
∴CD=DO﹣CO=（km）．
即C，D之间的距离km．（8分）
23．（10分）某旅行团计划今年暑假组织老年人团到台湾旅游，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆可供选择，其收费标准为某人每天120元，并且推出各自不同的优惠方案：甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．
设老年人团的人数为x
（1）根据题意，用含x的式子填写下表：
x≤35
35＜x＜45
x=45
x＞45
甲宾馆收费/元
120x
5280
乙宾馆收费/元
120x
120x
5400
（2）当x取何值时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同？
【解答】解：（1）108x+420，108x+420，96x+1080；
（2）当x≤35时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同，
当35＜x≤45时，选择甲宾馆便宜，
当x＞45时，甲宾馆的收费是：y甲=35×120+0.9×120（x﹣35），即y甲=108x+420，
乙宾馆的收费是：y乙=45×120+0.8×120（x﹣45）=96x+1080，
当y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，
解得x=55．
总之，当x≤35或x=55时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．
【解答】解：（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，过D点作DE⊥OA，垂足为E，
则F点的坐标为（，1），
∵F点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，
∴∠CPD=90°，
∴∠DPE+∠OPC=90°，
又∵∠POC=90°，∠OCP+∠OPC=90°，
∴∠OCP=∠EPD，
∴△OCP∽△EPD，
∵PD：CP=1：2，
∴DE：PO=PE：CO=PD：CP=1：2，
∴DE=PO=，PE=CO=1，
∴D点坐标为（t+1，）；
（2）∵D点坐标为（t+1，），OA=4，
∴S△DPA=AP×=（4﹣t）×=（4t﹣t2）=﹣（t﹣2）2+1，
∴当t=2时，S最大=1；
（3）能构成直角三角形．
①当∠PDA=90°时，PC∥AD，
由勾股定理得，PD2+AD2=AP2，PD2=DE2+PE2，AD2=DE2+AE2，
即（）2+1+（4﹣t﹣1）2+（）2=（4﹣t）2，
解得，t=2或t=﹣6（舍去）．
∴t=2秒．
②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，
可知，△COP∽△PAD，
∴==，
∴2=，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．
（4）当点P在原点O处时，即t=0，对应的D0点为（1，0），
当点D运动时，直线DD0的斜率k==，即无论点D如何运动，直线DD0的斜率为固定值，
即点D的运动轨迹时始终在直线DD0上；
∵kOB==，
∴点D的运动路线与OB平行，
当P运动到点A时，t=4，此时D4点坐标为（5，2），
即点D的运动轨迹为线段D0D4
∵点D4与点B、C共线，
∴BD4∥x轴
易得四边形OD0D4B为平行四边形，
∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2，
∴点D运动路线的长为2．
25．（10分）已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a．
（Ⅰ）求该二次函数的对称轴；[来源:学#科#网]
（Ⅱ）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；
（Ⅲ）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）对称轴x=﹣=2．
（Ⅱ）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，即P（2，2），
∴4a﹣8a+3a=2，
∴a=﹣2，
∴y=﹣2x2+8x﹣6，
∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x=1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．
∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x=4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．
∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6，即Q（4，﹣6）．
∴△OPQ的面积为4×（2+6）﹣2×2÷2﹣4×6÷2﹣（4﹣2）×（2+6）÷2=10；
（Ⅲ）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，
∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，
∴t+1≤5，
∴t≤4，
∴t的最大值为4．
2018年天津市南开区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（﹣2）×（﹣6）的结果等于（ ）
A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣8
2．（3分）计算tan60°的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
3．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）在网络上用“Google”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的结果个数约为45100000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．451×105 B．45.1×106 C．4.51×107 D．0.451×108
5．（3分）如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如果实数a=，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）化简+，其结果为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）半径为a的正六边形的面积等于（ ）
A． B． C．a2 D．
9．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．8S B．9S C．10S D．11S
11．（3分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．4
12．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算（﹣2a）3的结果是 ．
14．（3分）计算（﹣）2的结果等于 ．
15．（3分）将正比例函数y=2x的图象向下平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 ．（写出一个即可）
16．（3分）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．有一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正形区域（含边）的概率是 ．
17．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．
18．（3分）如图，是大小相等的边长为1的正方形构成的网格，A，B，C，D均为格点．
（Ⅰ）△ACD的面积为 ；
（Ⅱ）现只有无刻度的直尺，请在线段AD上找一点P，并连结BP，使得直线BP将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，在图中画出线段BP，并在横线上简要说明你的作图方法． ．
三、解答题（本大题共7小题，共计66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现抽查了九年级（1）班全班同学捐款情况，并绘制出如下的统计表和统计图：
捐款（元）
20
50
100
150
200
人数（人）
4
12
9
3
2
求：（Ⅰ）m= ，n= ；
（Ⅱ）求学生捐款数目的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）若该校有学生2500人，估计该校学生共捐款多少元？
21．（10分）在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．
（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP=∠B；
（2）如图②，AC=8，BC=6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．
22．（10分）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°．
（1）求B，D之间的距离；
（2）求C，D之间的距离．
23．（10分）某旅行团计划今年暑假组织老年人团到台湾旅游，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆可供选择，其收费标准为某人每天120元，并且推出各自不同的优惠方案：甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．
设老年人团的人数为x
（1）根据题意，用含x的式子填写下表：
x≤35
35＜x＜45
x=45
x＞45
甲宾馆收费/元
120x
5280
乙宾馆收费/元
120x
120x
5400
（2）当x取何值时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．
25．（10分）已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a．[来源:学#科#网Z#X#X#K]
（Ⅰ）求该二次函数的对称轴；
（Ⅱ）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；
（Ⅲ）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．
2018年天津市南开区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（﹣2）×（﹣6）的结果等于（ ）
A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣8
【解答】解：（﹣2）×（﹣6）=+（2×6）=12，
故选：A．
2．（3分）计算tan60°的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
【解答】解：原式=，
故选：D．
3．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
4．（3分）在网络上用“Google”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的结果个数约为45100000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．451×105 B．45.1×106 C．4.51×107 D．0.451×108
【解答】解：45 100 000=4.51×107，
故选：C．
5．（3分）如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从正前方观察，应看到长有三个立方体，且中间的为三个立方体叠加；高为两个立方体，在中间且有两个立方体叠加．
故选：B．
6．（3分）如果实数a=，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由被开方数越大算术平方根越大，得
＜＜，得
3＜a＜3.5，
故选：C．
7．（3分）化简+，其结果为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：原式=+
=
=．
故选：A．
8．（3分）半径为a的正六边形的面积等于（ ）
A． B． C．a2 D．
【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，
得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是a，
因而面积是，
因而正六边形的面积．
故选：B．
9．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【解答】解：∵反比例函数y=，a2+1≥1＞0，
∴该函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，在第一象限内的函数值都大于0，在第三象限内的函数值都小于0，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，x1＜0＜x2，
∴y1＜0＜y2，
故选：A．
10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．8S B．9S C．10S D．11S
【解答】解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△DEF：S△BCF=（）2，
又∵E是AD中点，
∴DE=AD=BC，
∴DE：BC=DF：BF=1：2，
∴S△DEF：S△BCF=1：4，
∴S△BCF=4S，
又∵DF：BF=1：2，
∴S△DCF=2S，
∴S▱ABCD=2（S△DCF+S△BCF）=12S．
∴四边形ABCE的面积=9S，
故选：B．
11．（3分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．4
【解答】解：如图所示：连接BD、AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABO=90°﹣60°=30°，
∵∠AOB=90°，
∴AO=AB=×2=1，
由勾股定理得：BO=DO=，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=BD=（2）=，
故选：C．
12．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8=0，有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），
∴方程的另一个根为x=﹣2．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算（﹣2a）3的结果是 ﹣8a3 ．
【解答】解：（﹣2a）3=﹣8a3．
故答案是：﹣8a3．
14．（3分）计算（﹣）2的结果等于 8﹣2 ．
【解答】解：原式=5﹣2+3
=8﹣2．
故答案为8﹣2．
[来源:学科网]
15．（3分）将正比例函数y=2x的图象向下平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 y=2x﹣2 ．（写出一个即可）
【解答】解：将正比例函数y=2x的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y=2x﹣2．
故答案为：y=2x﹣2
16．（3分）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．有一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正形区域（含边）的概率是 ．
【解答】解：大正方形的边长为： =，
总面积为20，
∵阴影区域的边长为2，
∴面积为2×2=4；
故飞镖落在阴影区域的概率为： =．
故答案为：．
17．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 4 ．
【解答】解：连接OP、OB，
∵图形BAP的面积=△AOB的面积+△BOP的面积+扇形OAP的面积，
图形BCP的面积=△BOC的面积+扇形OCP的面积﹣△BOP的面积，
又∵点P是半圆弧AC的中点，OA=OC，
∴扇形OAP的面积=扇形OCP的面积，△AOB的面积=△BOC的面积，
∴两部分面积之差的绝对值是2S△BOP=OP•OC=4．[来源:Zxxk.Com]
18．（3分）如图，是大小相等的边长为1的正方形构成的网格，A，B，C，D均为格点．
（Ⅰ）△ACD的面积为 ；
（Ⅱ）现只有无刻度的直尺，请在线段AD上找一点P，并连结BP，使得直线BP将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，在图中画出线段BP，并在横线上简要说明你的作图方法． 在线段AP上确定点P，使得AP：PD=5：3，连接BP，则BP即为所求 ．
【解答】解：（Ⅰ）由图可得，△ACD的面积=×5×1=；
故答案为：；
（Ⅱ）如图，连接BD，则△ABD的面积=△ADF的面积+△BDF的面积=×2×（2+2）=4，
四边形ABCD的面积=△ACD的面积+△ACB的面积=+×5×2=，
∵直线BP将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，
∴△ABP的面积=×=，即S△ABD=S△ABD，
∴AP：PD=5：3，
如图，连接CE，交AD于点P，连接BP，则，
∴线段BP即为所求．
故答案为：在线段AP上确定点P，使得AP：PD=5：3，连接BP，则BP即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共计66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤2 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞﹣1 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1＜x≤2 ．
【解答】解：
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤2；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞﹣1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
故答案为：x≤2； x＞﹣1；﹣1＜x≤2．
20．（8分）某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现抽查了九年级（1）班全班同学捐款情况，并绘制出如下的统计表和统计图：
捐款（元）
20
50
100
150
200
人数（人）
4
12
9
3
2
求：（Ⅰ）m= 40 ，n= 30 ；
（Ⅱ）求学生捐款数目的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）若该校有学生2500人，估计该校学生共捐款多少元？
【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为4+12+9+3+2=30人．
12÷30=40%，9÷30=30%，
所以扇形统计图中的m=40，n=30；
故答案为：40，30；
（Ⅱ）∵在这组数据中，50出现了12次，出现的次数最多，
∴学生捐款数目的众数是50元；
∵按照从小到大排列，处于中间位置的两个数据都是50，
∴中位数为50元；
这组数据的平均数=（20×4+50×12+100×9+150×3+200×2）÷30=2430÷30=81（元）．
（Ⅲ）根据题意得：
2500×81=202500元
答：估计该校学生共捐款202500元．
21．（10分）在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．
（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP=∠B；
（2）如图②，AC=8，BC=6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．
【解答】解：（1）当点O在AC上时，OC为⊙O的半径，
∵BC⊥OC，且点C在⊙O上，
∴BC与⊙O相切．
∵⊙O与AB边相切于点P，
∴BC=BP，[来源:学科网]
∴∠BCP=∠BPC=，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠ACP=90°﹣∠BCP=90°﹣=∠B．′
即2∠ACP=∠B；
（2）在△ABC中，∠ACB=90°，AB==10，
如图，当点O在CB上时，OC为⊙O的半径，
∵AC⊥OC，且点C在⊙O上，
∴AC与⊙O相切，
连接OP、AO，
∵⊙O与AB边相切于点P，
∴OP⊥AB，
设OC=x，则OP=x，OB=BC﹣OC=6﹣x，
∵AC=AP，
∴BP=AB﹣AP=10﹣8=2，
在△OPA中，∠OPA=90°，
根据勾股定理得：OP2+BP2=OB2，即x2+22=（6﹣x）2，
解得：x=，
在△ACO中，∠ACO=90°，AC2+OC2=AO2，
∴AO==．
∵AC=AP，OC=OP，
∴AO垂直平分CP，
∴根据面积法得：CP=2×=，则符合条件的CP长大于．
由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，
综上，当点O在△ABC外时，＜CP≤8．
22．（10分）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°．
（1）求B，D之间的距离；
（2）求C，D之间的距离．
【解答】解：（1）如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°，
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°+15°=60°．
∵AE∥BF∥CD，
∴∠FBC=∠EAC=60°．
∵∠FBD=30°
∴∠DBC=∠FBC﹣∠FBD=30°．（2分）
又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，
∴∠ADB=15°．
∴∠DAB=∠ADB．
∴△ABD为等腰三角形，
∴BD=AB=2．
即BD之间的距离为2km．（4分）
（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，
在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°，
∴DO=2×sin60°=，BO=2×cos60°=1．（6分）
在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=，
∴CD=DO﹣CO=（km）．
即C，D之间的距离km．（8分）
23．（10分）某旅行团计划今年暑假组织老年人团到台湾旅游，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆可供选择，其收费标准为某人每天120元，并且推出各自不同的优惠方案：甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．
设老年人团的人数为x
（1）根据题意，用含x的式子填写下表：
x≤35
35＜x＜45
x=45
x＞45
甲宾馆收费/元
120x
5280
乙宾馆收费/元
120x
120x
5400
（2）当x取何值时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同？
【解答】解：（1）108x+420，108x+420，96x+1080；
（2）当x≤35时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同，
当35＜x≤45时，选择甲宾馆便宜，
当x＞45时，甲宾馆的收费是：y甲=35×120+0.9×120（x﹣35），即y甲=108x+420，
乙宾馆的收费是：y乙=45×120+0.8×120（x﹣45）=96x+1080，
当y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，
解得x=55．
总之，当x≤35或x=55时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．
【解答】解：（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，过D点作DE⊥OA，垂足为E，
则F点的坐标为（，1），
∵F点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，
∴∠CPD=90°，
∴∠DPE+∠OPC=90°，
又∵∠POC=90°，∠OCP+∠OPC=90°，
∴∠OCP=∠EPD，
∴△OCP∽△EPD，
∵PD：CP=1：2，
∴DE：PO=PE：CO=PD：CP=1：2，
∴DE=PO=，PE=CO=1，
∴D点坐标为（t+1，）；
（2）∵D点坐标为（t+1，），OA=4，
∴S△DPA=AP×=（4﹣t）×=（4t﹣t2）=﹣（t﹣2）2+1，
∴当t=2时，S最大=1；
（3）能构成直角三角形．
①当∠PDA=90°时，PC∥AD，
由勾股定理得，PD2+AD2=AP2，PD2=DE2+PE2，AD2=DE2+AE2，
即（）2+1+（4﹣t﹣1）2+（）2=（4﹣t）2，
解得，t=2或t=﹣6（舍去）．
∴t=2秒．
②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，
可知，△COP∽△PAD，
∴==，
∴2=，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．
（4）当点P在原点O处时，即t=0，对应的D0点为（1，0），
当点D运动时，直线DD0的斜率k==，即无论点D如何运动，直线DD0的斜率为固定值，
即点D的运动轨迹时始终在直线DD0上；
∵kOB==，
∴点D的运动路线与OB平行，
当P运动到点A时，t=4，此时D4点坐标为（5，2），
即点D的运动轨迹为线段D0D4
∵点D4与点B、C共线，
∴BD4∥x轴
易得四边形OD0D4B为平行四边形，
∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2，
∴点D运动路线的长为2．
25．（10分）已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a．
（Ⅰ）求该二次函数的对称轴；[来源:学#科#网]
（Ⅱ）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；
（Ⅲ）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）对称轴x=﹣=2．
（Ⅱ）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，即P（2，2），
∴4a﹣8a+3a=2，
∴a=﹣2，
∴y=﹣2x2+8x﹣6，
∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x=1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．
∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x=4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．
∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6，即Q（4，﹣6）．
∴△OPQ的面积为4×（2+6）﹣2×2÷2﹣4×6÷2﹣（4﹣2）×（2+6）÷2=10；
（Ⅲ）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，
∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，
∴t+1≤5，
∴t≤4，
∴t的最大值为4．
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