2021年天津市南开区中考一模数学试卷

这是一份2021年天津市南开区中考一模数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −30−−20 的结果等于
A. 10B. −10C. 50D. −50

2. 3tan60∘ 的值等于
A. 32B. 32C. 3D. 3

3. 据国家邮政局统计，2021 年农历除夕和初一两天，全国快递处理超 130000000 件，与去年同期相比增长 223%，快递的春节“不打烊”服务确保了广大用户能够顺利收到年货，欢度佳节．将 130000000 用科学记数法表示应为
A. 1.3×107B. 13×107C. 0.13×108D. 1.3×108

4. 民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图所示的几何体，它的左视图正确的是
A. B.
C. D.

6. 估计 21−3 的值在
A. 1 和 2 之间B. −1 和 0 之间
C. 2 和 3 之间D. −2 和 −1 之间

7. 方程组 3x+2y=19,2x−y=1 的解是
A. x=3,y=5B. x=5,y=2C. x=3,y=−5D. x=5,y=9

8. 如图，已知菱形 OABC 的顶点 O0,0，C2,0 且 ∠AOC=60∘，则菱形 OABC 两对角线的交点 D 的坐标为
A. 1,1B. 32,32C. 1,3D. 12,32

9. 已知点 A−2,y1，Ba,y2，C3,y3 在反比例函数 y=−4x 的图象上，且 −2A. y2
10. 如图所示，在四边形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 的中点，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AD=BC，∠PEF=23∘，则 ∠PFE 的度数为
A. 23∘B. 25∘C. 30∘D. 46∘

11. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，点 E 为 BC 的中点，将 △ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，则下列说法错误的是
A. 直线 AE 为线段 BF 的垂直平分线
B. ∠EFC=∠ECF
C. BE=EF=EC
D. CF=95

12. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 图象的一部分如图所示，顶点坐标为 −1,m，与 x 轴的一个交点的坐标为 −3,0，给出以下结论：
① abc>0；
② 4a−2b+c>0；
③若 B−52,y1，C−12,y2 为函数图上的两点，则 y1④当 −3则 t 的取值范围是 0<1≤m，其中正确的结论的个数为
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 化简：2x2+1−3x+7−2x2+5x= ．

14. 计算 11+211−2 的结果是 .

15. 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共 40 个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在 15% 左右，则口袋中红色球可能有 个．

16. 已知一次函数 y=kx+6 的图象经过点 A2,−2，则 k 的值为 ．

17. 如图①，在正方形 ABCD 的边 BC 上有一点 E，连接 AE．点 P 从正方形的顶点 A 出发，沿 A→D→C 以 1 cm/s 的速度匀速运动到点 C．图②是点 P 运动时，△APE 的面积 ycm2 随时间 xs 变化的函数图象．当 x=7 时，y 的值为 ．

18. 如图，在 △ABC 中，∠A=90∘，∠B=60∘，AB=2，若 D 是 BC 边上的动点，则 2AD+DC 的最小值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 2x−2≤2−x, ⋯⋯①x+22>x+33, ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ．
（2）解不等式②，得 ．
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 每年的 4 月 23 日是“世界读书日”，今年 4 月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动，活动结束后，校领导对本校八年级学生 4 月份的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，扇形统计图中的 m 的值为 ．
（2）求本次抽取学生 4 月份“读书量”的样本数据的平均数、众数和中位数．
（3）已知该校八年级有 700 名学生，请你估计该校八年级学生中 4 月份“读书量”为 4 本的学生人数．

21. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，PA 与 ⊙O 相切于点 A，OP 交 ⊙O 于点 C，连接 BC．
（1）如图①，若 ∠P=20∘，求 ∠B 的度数．
（2）如图②，过点 A 作弦 AD⊥OP 于点 E，连接 DC，若 OE=12CD，求 ∠P 的度数．

22. 如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口 C，途经某海域 A 处时，港口 C 的工作人员监测到点 A 在南偏东 30∘ 方向上，另一港口 B 的工作人员监测到点 A 在正西方向上．已知港口 C 在港口 B 的北偏西 60∘ 方向，且 B，C 两地相距 120 海里．
（1）求出此时点 A 到港口 C 的距离（计算结果保留根号）．
（2）若该渔船从 A 处沿 AC 方向向港口 C 驶去，当到达点 Aʹ 时，测得港口 B 在 Aʹ 的南偏东 75∘ 的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．

23. 小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地．设小明出发 xmin 后，到达距离甲地 ym 的地方，图中的折线表示的是 y 与 x 之间的函数关系．
（1）甲、乙两地的距离为 ，a= ．
（2）求小明从乙地返回甲地过程中，y 与 x 之间的函数关系式．
（3）在小明从甲地出发的同时，小红从乙地步行至甲地，保持 100 m/min 的速度不变，到甲地停止．当小明从甲地出发 min 时，与小红相距 200 米．

24. 在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 OABC 是矩形，点 A，C 的坐标分别是 3,0，0,1，点 D 是边 BC 上的动点（与端点 B，C 不重合），过点 D 作直线 y=−12x+b 交边 OA 于点 E．
（1）如图①，直接写出 D，E 两点的坐标（用含 b 的式子表示）．
（2）如图②，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为矩形 O1A1B1C1，试探究矩形 O1A1B1C1，与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化?若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
（3）矩形 OABC 绕着它的对称中心旋转，如果旋转前后两矩形重叠部分的图形是菱形，请直接写出这个菱形面积的最大值和最小值．

25. 已知抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 经过 A4,0，B−1,0，C0,4 三点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）如图 1，点 D 是在直线 AC 上方的抛物线的一点，DN⊥AC 于点 N，DM∥y 轴交 AC 于点 M，求 △DMN 周长的最大值及此时点 D 的坐标．
（3）如图 2，点 P 为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接 OP，OP 与 AC 相交于点 Q，求 S△APQS△AOQ 的最大值．
答案
第一部分
1. B【解析】−30−−20=−30+20=−10.
2. C【解析】3tan60∘=3×3=3．
3. D【解析】130000000=1.3×108．
4. C
5. D
【解析】从几何体的左面看，底层是两个小矩形，上层是一个较大的矩形．
6. A【解析】16=4，25=5，
16<21<25，
∴16−3<21−3<25−3，
∴1<21−3<2．
7. A【解析】3x+2y=19, ⋯⋯①2x−y=1, ⋯⋯②
由②得：y=2x−1, ⋯⋯③
把③代入①得：3x+22x−1=19，
即 x=3，
把 x=3 代入③得：y=5，
则方程组的解为 x=3,y=5.
故选A．
8. B【解析】∵ 菱形 OABC，OC=2，
∴OA=2，
又 ∵∠AOC=60∘，
作 AD⊥OC，
∴∠OAD=30∘，
∴OD=12OA=12×2=1，
直角三角形中 30∘ 角的对边是斜边的一半，
∴AD=OA2−OD2=3，
则 A1,3，
又 ∵ 菱形 OABC，菱形的对角线互相垂直且平分，
∴ 交点 D 是对角线 AC 的中点，
由 A1,3，C2,0，
得 D1+22,3+02，
即 D32,32．
9. C【解析】对于 y=−4x，
∵k=−4<0，
∴ 图象在第二、四象限，且在每一象限，y 随 x 的增大而增大．
∵−2 ∴0又 ∵C3,y3 在第四象限，
∴y3<0，
∴y310. A
【解析】∵ 在四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 的中点，E，F 分别是 AB，CD 的中点，
∴FP，PE 分别是 △CDB 与 △DAB 的中位线，
∴PF=12BC，PE=12AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
故 △EPF 是等腰三角形，
∵∠PEF=23∘，
∴∠PEF=∠PFE=23∘．
11. D【解析】连接 BF，
A：由折叠可知，点 B 和点 F 关于 AE 对称，
故 AE 为线段 BF 的垂直平分线，
故A正确；
BC：由折叠可知 BE=EF，
∵E 为 BC 的中点，
∴BE=EC=EF，
∴EC=EF，
∴∠EFC=∠ECF，
故BC正确；
D：∵BC=6，点 E 为 BC 的中点，
∴BE=3，
又 ∵AB=4，
∴AE=AB2+BE2=5，
∴BH=125，
则 BF=245，
∵FE=BE=EC，
∴∠BFC=90∘，
∴CF=62−2452=185．
故D错误．
12. D【解析】因为抛物线开口向下，与 y 轴交于正半轴，
所以 a<0，c>0，
因为抛物线对称轴为 x=−1，
所以 −b2a=−1，
所以 b=2a<0，
所以 abc>0，故①结论正确．
因为抛物线与 x 轴的一个交点坐标为 −3,0，对称轴为 x=−1，
所以抛物线与 x 轴的另一个交点为 1,0，
所以当 −30，
所以当 x=−2 时，y>0，
代入得：4a−2b+c>0，故②结论正确．
因为抛物线的对称轴为 x=−1，
所以点 C−12,y2 关于对称轴的对称点坐标为 −32,y2，
因为当 x<−1 时，y 随 x 的增大而增大，
B−52,y1，−52<−32，
所以 y1根据图象可知，当 −3所以方程 ax2+bx+c=t 有实数根，
则 0综上所述，结论正确的有①②③④共 4 个．
第二部分
13. 2x+8
【解析】2x2+1−3x+7−2x2+5x=2x2−2x2+−3x+5x+1+7=0+2x+8=2x+8.
故答案为：2x+8．
14. 7
【解析】∵a+ba−b=a2−b2，
∴11+211−2=112−22=11−4=7.
故答案为：7．
15. 6
【解析】红球个数为：40×15%=6 个．
16. −4
【解析】∵y=kx+6 过 2,−2，
∴−2=2k+6，代入求解，
k=−4．
17. 132
【解析】设正方形的边长为 a，
①当点 P 在点 D 时，y=12AB×AD=12a×a=8，解得：a=4；
②当点 P 在点 C 时，y=12EP×AB=12×EP×4=6，
解得：EP=3，即 EC=3，BE=1；
③当 x=7 时，如图所示：
此时，PC=1，PD=7−4=3，
当 x=7 时，
y=S正方形ABCD−S△ABE+S△ECP+S△APD=4×4−124×1+1×3+4×3=132.
18. 6
【解析】如图所示，作点 A 关于 BC 的对称点 Aʹ，连接 AAʹ，AʹD，过 D 作 DE⊥AC 于 E．
∵△ABC 中，∠BAC=90∘，∠B=60∘，AB=2，
∴BH=1，AH=3，AAʹ=23，∠C=30∘，
∴Rt△CDE 中，DE=12CD，即 2DE=CD，
∵A 与 Aʹ 关于 BC 对称，
∴AD=AʹD，
∴AD+DE=AʹD+DE，
∴ 当 Aʹ，D，E 在同一直线上时，AD+DE 的最小值等于 AʹE 的长，
此时，Rt△AAʹE 中，AʹE=sin60∘×AAʹ=32×23=3，
∴AD+DE 的最小值为 3，即 2AD+CD 的最小值为 6．
第三部分
19. （1） x≤2
【解析】2x−2≤2−x，
2x−4≤2−x，
3x≤6，
x≤2．
（2） x>0
【解析】x+22>x+33，
3x+2>2x+3，
3x+6>2x+6，
x>0．
（3）
（4） 020. （1） 60；35
【解析】总人数等于 6÷10%=60 人，
则读 4 本的人数为 60−3−18−21−6=12 人，
因为读 3 本的人数为 21 人，
所以 21÷60×100%=35%，
所以 m=35．
（2） 四月份读书量为 3 本的人数为 21 人，人数最多，
所以众数：3 本．
四月份读书量的平均本数为 3×1+2×18+3×21+4×12+5×63+18+21+12+6=3，
所以平均数：3 本，
按从小到大的顺序排序，可知本次抽取学生四月份读书量的中位数为 3，
所以中位数：3 本．
（3） 根据题意得：700×20%=140（人），
所以 4 月份“读书量”为 4 本的学生人数为 140 人．
21. （1） ∵PA 与 ⊙O 相切于点 A，
∴∠PAB=90∘，
∴∠P+∠AOP=90∘，
∵∠P=20∘，
∴∠AOP=90∘−∠P=70∘，
∵AC=AC，
∴∠B=12∠AOP=35∘．
（2） 如图，连接 DB，OD，
∵AD⊥OP 于点 E，
∴AE=ED，AC=CD，
∵OA=OB，
∴OE=12DB，
∵OE=12CD，
∴CD=DB，
∴CD=BD，
∴AC=CD=DB，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60∘，
∵PA 为 ⊙O 的切线，
∴∠PAO=90∘，
∴∠P=30∘．
22. （1） 过点 C 作 CD⊥BA 交 BA 的延长线与点 D，
由题意，得 ∠DCB=60∘，BC=120，∠ACD=30∘．
∴ 在 Rt△ACD 中，有 ∠CBD=30∘，
则 CD=12BC=60，
在 Rt△ACD 中，
∵cs∠ACD=CDAC，
∴AC=CDcs∠30∘=6032=403，
即：此时点 A 到港口 C 的距离为 403 海里．
（2） 过点 Aʹ 作 AʹN⊥BC 于点 N，如图：
由（1）得：CD=60，AC=403
∵AʹE∥CD，
∴∠AAʹE=∠ACD=30∘，
∵∠BAʹE=75∘，
∴∠BAʹA=45∘，
∴ 在 Rt△BAʹE 中，有 ∠ABAʹ=15∘，
又 ∵∠CBA=30∘，
∴∠2=15∘=∠ABAʹ，即 AʹB 平分 ∠CBA，
∴AʹE=AʹN，
在 Rt△BAʹE 中，设 AAʹ=x，
∵sin∠AAʹE=AEAAʹ，cs∠AAʹE=AʹEAAʹ，
∴AE=AAʹ⋅sin30∘=12x，AʹE=AAʹ⋅cs30∘=32x=AʹNʹ，
∵∠DCB=60∘，∠ACD=30∘，
∴∠1=60∘−30∘=30∘，
∴ 在 Rt△AʹNC 中，有 AʹC=2AʹN=3x，
∵AʹC+AAʹ=AC，
∴3x+x=403，解得：x=60−203，
∴AAʹ=60−203．
答：此时该渔船的航行距离为 60−203 海里．
23. （1） 2000 m；14
【解析】由图象可知，甲、乙两地的距离为 2000 m；
根据图象对称性可知 a=24−10=14．
（2） 设 y=kx+bk≠0，
把 14,2000 与 24,0 代入得：
14k+b=2000,24k+b=0,
解得 k=−200,b=4800,
则 y=−200x+4800．
（3） 6 或 223 或 23
【解析】小明骑自行车的速度为：2000÷10=200m/min
根据题意，得 200+100x=2000−200 或 200+100x=2000+200 或 200x−4=4000−200，
解得 x=6 或 x=223 或 x=23．
答：小明从甲地出发 6 分钟或 223 分钟或 23 分钟，与小红相距 200 米．
24. （1） 2b−2,1，2b,0．
【解析】∵ 四边形 OABC 是矩形，
∴CB∥x轴，
由点 A，C 的坐标分别为 3,0，0,1．
可得点 D 的纵坐标为 1，
当 y=1 时，y=−12x+b，
解得：x=2b−2，
∴D 的坐标为 2b−2,1，
当 y=0 时，y=−12x+b，
解得：x=2b，
∴E 的坐标为 2b,0．
（2） 不变．
CB 与 O1A1 的交点为 M，C1B1 与 OA 的交点为 N，如图：
∵ 四边形 OABC，四边形 O1A1B1C1 是矩形，
∴CB∥OA，C1B1∥O1A1，
∴ 四边形 DMEN 是平行四边形，
∵ 矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为矩形 O1A1B1C1，
∴∠1=∠2，
∵CB∥OA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴DM=ME，
∴ 平行四边形 DMEN 是菱形，
过点 D 作 DH⊥OA 于点 H，
由 D2b−2,1，E2b,0，
可知 CD=2b−2，OE=2b，OH=CD=2b−2，
∴EH=OE−OH=2b−2b−2=2，
设菱形 DMEN 的边长为 m，
在 Rt△DHN 中，DH=1，
HN=EH−NE=2−m，DN=m，
由 DH2+HN2=DN2，得 12+2−m2=m2，
解得：m=54，
∴S菱形DMEN=NE⋅DH=54×1=54，
所以重叠部分菱形 DMEN 的面积不变，为 54．
（3） 53，1．
【解析】当重叠部分为正方形时，这个菱形的面积为最小，为 1，
当 DE 最大时，如图所示，
设 AN=CN=x，
则 ON=3−x，
在 Rt△OCN 中，OC2+ON2=CN2，
∴12+3−x2=x2，
解得 x=53，
∴ 此时这个菱形的面积的最大值为 53，
∴ 这个菱形面积的最大值为 53，最小值为 1．
25. （1） 依题意，得 y=ax−4x+1a≠0，
将 C0,4 坐标代入得，−3a=3，解得 a=−1，
∴ 抛物线解析式为 y=−x2+3x+4．
（2） 延长 DM 交 x 轴于点 H，
∵OA=OC=4，OA⊥OC，DM∥y 轴交 AC 于点 M，
∴∠OAC=45∘，∠AHM=90∘，
∵DN⊥AC 于点 N，
∴∠AMH=∠DMN=45∘，
∴△DMN 是等腰直角三角形，
∴DN=MN=22DM，
设直线 AC 的解析式为 y=kx+bʹ，
将 A4,0，C0,4 两点坐标代入得 4k+bʹ=0,bʹ=4, 解得 k=−1,bʹ=4,
∴ 直线 AC 的解析式为 y=−x+4，
设 Dm,−m2+3m+4，
∴Mm,−m+4，
∴DM=−m2+3m+4−−m+4=−m2+4m=−m−22+4，
∴ 当 m=2 时，DMmax=4，此时 D2,6，
∵△DMN 是等腰直角三角形，
∴△DMN 周长 =DN+MN+DM=22DM+22DM+DM=2+1DM，
∴△DMN 周长的最大值为 42+1=42+4，此时 D2,6．
（3） 过 P 点作 PN∥y 轴交 AC 于点 N，
设 Pn,−n2+3n+4，
∴Nn,−n+4，
则 PN=−n2+3n+4−−n+4=−n2+4n=−n−22+4，
∵PN∥OC，
∴PQOQ=PNOC，
∴S△APQS△AOQ=PQOQ=PNOC=−n−22+44=−14m−22+1，
∵−14<0，
∴ 当 n=2 时，S△APQS△AOQ 有最大值，其最大值为 1．