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2021年天津市津南区北部学区中考数学一模试卷
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这是一份2021年天津市津南区北部学区中考数学一模试卷，共26页。试卷主要包含了0分），00012mm，将0，2×10﹣4D．1，2．等内容，欢迎下载使用。
2021年天津市津南区北部学区中考数学一模试卷
一．选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．（3分）（﹣2）3的值等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．8 D．﹣8
2．（3分）sin45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
3．（3分）2019新型冠状病毒的直径是0.00012mm，将0.00012用科学记数法表示是（ ）
A．120×10﹣6 B．12×10﹣3 C．1.2×10﹣4 D．1.2×10﹣5
4．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）估计的值（ ）
A．在2和3之间 B．在4和5之间 C．在5和6之间 D．在6和7之间
7．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
9．（3分）化简+的结果是（ ）
A．a+b B．a﹣b C． D．
10．（3分）如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
11．（3分）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．25cm2 B．cm2 C．50cm2 D．75cm2
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0）和（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列结论：①b＞0；②2a＜b；③2a﹣b﹣1＜0，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
二．填空题（共6小题）
13．（3分）计算（2x2）3的结果等于 ．
14．（3分）（3+）（3﹣）＝ ．
15．（3分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．
16．（3分）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为 ．
17．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，以点A为圆心、AC为半径的半圆交AB于点 E．
（Ⅰ）BE的长为 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找一点P（点P，C在AB
两侧），使PA＝5，PE与半圆相切．简要说明点P的位置是如何找到的
．
三．解答题（共7小题）
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．学校为了解全校学生参加社会实践活动情况，随机调查了部分学生一学期参加社会实践活动的时间（单位：天），并用得到的数据绘制了统计图（1）和图 （2）．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）本次随机调查的学生人数是 ，图（1）中m的值是 ；
（Ⅱ）求调查获取的学生社会实践活动时间样本数据的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）该校有480名学生，根据获取的社会实践活动时间样本数据，估计该校一学期社会实践活动时间大于10天的学生人数．
21．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的直径AB的长度．
22．如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）
23．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
24．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，2），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A′OB′，点A、B旋转后的对应点为A′、B′，记旋转角为α．
（I）如图1，若α＝30°，求点B′的坐标；
（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA′和直线BB′交于点P，求证：AA′⊥BB′；
（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
2021年天津市津南区北部学区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．（3分）（﹣2）3的值等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．8 D．﹣8
【分析】根据有理数的乘方的运算法则即可得到结果．
【解答】解：（﹣2）3＝﹣8，
故选：D．
2．（3分）sin45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可．
【解答】解：sin45°＝．
故选：B．
3．（3分）2019新型冠状病毒的直径是0.00012mm，将0.00012用科学记数法表示是（ ）
A．120×10﹣6 B．12×10﹣3 C．1.2×10﹣4 D．1.2×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00012＝1.2×10﹣4．
故选：C．
4．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层右边的一个小正方形．
故选：B．
6．（3分）估计的值（ ）
A．在2和3之间 B．在4和5之间 C．在5和6之间 D．在6和7之间
【分析】直接利用估算无理数的大小的方法得出3＜＜4，进而得出答案．
【解答】解：∵32＝9，42＝16，
∴3＜＜4，
∴5＜2+＜6，
故选：C．
7．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用加减消元法求解即可．
【解答】解：，
②×3﹣①得：11y＝22，解得y＝2，
把y＝2代入②得：x+6＝7，解得x＝1，
∴原方程组的解是．
故选：A．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
【分析】由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．
【解答】解：由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律是：横坐标﹣4，纵坐标+1，
∴点B的对应点B1的坐标（﹣1，0）．
故选：C．
9．（3分）化简+的结果是（ ）
A．a+b B．a﹣b C． D．
【分析】根据同分母分式相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝a﹣b．
故选：B．
10．（3分）如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
【分析】观察函数y1＝x+1与函数的图象，即可得出当y1＞y2时，相应的自变量x的取值范围．
【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，
故选：D．
11．（3分）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．25cm2 B．cm2 C．50cm2 D．75cm2
【分析】如图：设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2x＝20，解方程即可解决问题．
【解答】解：如图：设OF＝EF＝FG＝x（cm），
∴OE＝OH＝2x，
在Rt△EOH中，EH＝2x，
由题意EH＝20cm，
∴20＝2x，
∴x＝5，
∴阴影部分的面积＝（5）2＝50（cm2）
故选：C．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0）和（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列结论：①b＞0；②2a＜b；③2a﹣b﹣1＜0，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【分析】①由图象开口向上知a＞0，由y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x0，0 ），且1＜x0＜2，则该抛物线的对称轴为x＝﹣＝，由0＞＞﹣可得0＜＜1，于是得到b＞0；故①正确；②由x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0得2a﹣b＝﹣，而﹣2＜c＞0，解不等式即可得到2a＞b，所以②错误．③由②知2a﹣b＜0，于是得到2a﹣b﹣1＜0，故③正确
【解答】解：如图：
①由图象开口向上知a＞0，
由y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x0，0 ），且1＜x0＜2，
该抛物线的对称轴为x＝﹣＝，由0＞＞﹣可得0＜＜1，于是得到
a＞0，所以b＞0；故①正确；
②由x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0得2a﹣b＝﹣，而﹣2＜c＜0，
∴2a﹣b＞0，
∴2a＞b，故②错误．
③当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0，
∴c＝﹣4a+2b．
∵c＞﹣2，
∴﹣4a+2b＞﹣2，
∴4a﹣2b﹣2＜0，
∴2a﹣b﹣1＜0，
故③正确；
故选：A．
二．填空题（共6小题）
13．（3分）计算（2x2）3的结果等于 8x6 ．
【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进而得出答案．
【解答】解：（2x2）3＝8x6．
故答案为：8x6．
14．（3分）（3+）（3﹣）＝ 12 ．
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式＝（3）2﹣（）2
＝18﹣6
＝12．
故答案为：12．
15．（3分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．
【分析】根据从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，得出是5的倍数的数据，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，
∴取到的数恰好是5的倍数的概率是＝．
故答案为：．
16．（3分）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为 m＞ ．
【分析】先根据一次函数的性质得出关于m的不等式2m﹣1＞0，再解不等式即可求出m的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2中，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴2m﹣1＞0，解得m＞．
故答案为：m＞．
17．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，以点A为圆心、AC为半径的半圆交AB于点 E．
（Ⅰ）BE的长为 2 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找一点P（点P，C在AB
两侧），使PA＝5，PE与半圆相切．简要说明点P的位置是如何找到的
（Ⅱ）如图，取格点M、N和D，连接MN，DE并延长，相交于点P，点P为所求 ．
【分析】（Ⅰ）先利用勾股定理计算出AB，然后用AB减去圆的半径得到BE的长；
（Ⅱ）取格点D，使AD＝5，则可证明△ADE≌△ABC，所以∠AED＝∠ACB＝90°，则可判断DE为⊙A的切线，再取格点M、N，利用tan∠M＝，tan∠EAD＝得到∠NMA＝∠EAD，所以MN∥AE，MN和DE的延长线交于点P，则MP⊥PD，所以PA＝MD＝5．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB＝＝5，AE＝AC＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2；
故答案为2；
（Ⅱ）如图，取格点M、N和D，连接MN，DE并延长，相交于点P，点P为所求．
三．解答题（共7小题）
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≥﹣2 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤1 ．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．
故答案为：（Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x≥﹣2；（Ⅳ）﹣2≤x≤1．
20．学校为了解全校学生参加社会实践活动情况，随机调查了部分学生一学期参加社会实践活动的时间（单位：天），并用得到的数据绘制了统计图（1）和图 （2）．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）本次随机调查的学生人数是 40 ，图（1）中m的值是 20 ；
（Ⅱ）求调查获取的学生社会实践活动时间样本数据的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）该校有480名学生，根据获取的社会实践活动时间样本数据，估计该校一学期社会实践活动时间大于10天的学生人数．
【分析】（Ⅰ）依据条形统计图中的数据，即可得到本次随机调查的学生人数以及图（1）中m的值；
（Ⅱ）依据条形统计图中的数据，即可得出众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）在统计的这组学生参加社会实践活动时间的样本数据中，社会实践活动时间大于10天的学生人数占60%，即可估计该校一学期社会实践活动时间大于10天的学生人数．
【解答】解：（Ⅰ）本次随机调查的学生人数是4+12+10+8+6＝40，
m%＝×100%＝20%．
故答案为：40，20；
（Ⅱ）观察条形统计图，
∵在这组数据中，10出现了12次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为10．
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是11，
有，
∴这组数据的中位数为11．
∵，
∴这组数据的平均数是11．
（Ⅲ）∵在统计的这组学生参加社会实践活动时间的样本数据中，社会实践活动时间大于10天的学生人数占60%，
∴估计该校480名学生中，参加社会实践活动时间大于10天的学生人数约占60%，有480×60%＝288．
∴参加社会实践活动时间大于10天的学生人数约为288．
21．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的直径AB的长度．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到∠AEM＝90°，由于MN∥BC，根据平行线的性质得∠ABC＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；
（2）连接OM，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，根据勾股定理得到r2＝32+（4﹣r）2，解方程即可得到⊙O的半径，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，
∴AM2＝ME2+AE2，
∴△AME是直角三角形，
∴∠AEM＝90°，
又∵MN∥BC，
∴∠ABC＝∠AEM＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OM，如图，设⊙O的半径是r，
在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，ME＝3，OM＝r，
∵OM2＝ME2+OE2，
∴r2＝32+（4﹣r）2，
解得：r＝，
∴AB＝2r＝．
22．如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）
【分析】设B处距离码头O有xkm，分别在Rt△CAO和Rt△DBO中，根据三角函数求得CO和DO，再利用DC＝DO﹣CO，得出x的值即可．
【解答】解：设B处距离码头O有xkm，
在Rt△CAO中，∠CAO＝26.5°，
∵tan∠CAO＝，
∴CO＝AO•tan∠CAO＝（28×0.2+x）•tan26.5°≈2.8+0.5x（km），
在Rt△DBO中，∠DBO＝49°，
∵tan∠DBO＝，
∴DO＝BO•tan∠DBO＝x•tan49°≈1.15x（km），
∵DC＝DO﹣CO，
∴6.4＝1.15x﹣（2.8+0.5x），
∴x≈14.2（km）．
因此，B处距离码头O大约14.2km．
23．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
【分析】（1）把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值；
（3）将x＝8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可．
【解答】解：（1）∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180），
∴，解得，
k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），
则k2＝25×0.8＝20；
（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：
由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．
当健身8次时，
选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元），
选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元），
∵150＜160，
∴选择方案一所需费用更少．
24．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，2），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A′OB′，点A、B旋转后的对应点为A′、B′，记旋转角为α．
（I）如图1，若α＝30°，求点B′的坐标；
（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA′和直线BB′交于点P，求证：AA′⊥BB′；
（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）设A'B'与x轴交于点H，依据旋转的性质得出BO∥A'B'，即可得到OH＝OB'＝，B'H＝3，进而得出点B'的坐标为（，3）；
（Ⅱ）依据旋转的性质可得∠BOB'＝∠AOA'＝α，OB＝OB'，OA＝OA'，即可得出∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α），再根据∠BOA'＝90°+α，四边形OBPA'的内角和为360°，即可得到∠BPA'＝90°，即AA'⊥BB'；
（Ⅲ）作AB的中点M（1，），连接MP，依据点P的轨迹为以点M为圆心，以MP＝AB＝2为半径的圆，即可得到当PM∥y轴时，点P纵坐标的最小值为﹣2．
【解答】解：（Ⅰ）如图1，设A'B'与x轴交于点H，
∵OA＝2，OB＝2，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠B'＝30°，
∵∠BOB'＝α＝30°，
∴BO∥A'B'，
∵OB'＝OB＝2，
∴OH＝OB'＝，B'H＝3，
∴点B'的坐标为（，3）；
（Ⅱ）证明：∵∠BOB'＝∠AOA'＝α，OB＝OB'，OA＝OA'，
∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α），
∵∠BOA'＝90°+α，四边形OBPA'的内角和为360°，
∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°，
即AA'⊥BB'；
（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为．
如图，作AB的中点M（1，），连接MP，
∵∠APB＝90°，
∴点P的轨迹为以点M为圆心，以MP＝AB＝2为半径的圆，除去点（2，）．
∴当PM⊥x轴时，点P纵坐标的最小值为﹣2．
25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；
（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，
∴，
∴抛物线的解析式为，即．
令y＝0，则＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0）．
∴AB＝OA+OB＝4，
∵△ABD的面积为5，
∴SABD＝AB•yD＝5，
∴，代入抛物线解析式得，，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴D（4，）．
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝x．
（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，
设E（m，m2﹣m﹣），则M（m，m+），
∴EM＝m+﹣（m2﹣m﹣）＝﹣m2+m+2，
∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝×EM•1＝（﹣m2+m+2）×1＝﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣（m﹣）2+．
∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是 ，此时E点坐标为（ ）．
2021年天津市津南区北部学区中考数学一模试卷
一．选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．（3分）（﹣2）3的值等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．8 D．﹣8
2．（3分）sin45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
3．（3分）2019新型冠状病毒的直径是0.00012mm，将0.00012用科学记数法表示是（ ）
A．120×10﹣6 B．12×10﹣3 C．1.2×10﹣4 D．1.2×10﹣5
4．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）估计的值（ ）
A．在2和3之间 B．在4和5之间 C．在5和6之间 D．在6和7之间
7．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
9．（3分）化简+的结果是（ ）
A．a+b B．a﹣b C． D．
10．（3分）如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
11．（3分）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．25cm2 B．cm2 C．50cm2 D．75cm2
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0）和（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列结论：①b＞0；②2a＜b；③2a﹣b﹣1＜0，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
二．填空题（共6小题）
13．（3分）计算（2x2）3的结果等于 ．
14．（3分）（3+）（3﹣）＝ ．
15．（3分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．
16．（3分）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为 ．
17．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，以点A为圆心、AC为半径的半圆交AB于点 E．
（Ⅰ）BE的长为 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找一点P（点P，C在AB
两侧），使PA＝5，PE与半圆相切．简要说明点P的位置是如何找到的
．
三．解答题（共7小题）
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．学校为了解全校学生参加社会实践活动情况，随机调查了部分学生一学期参加社会实践活动的时间（单位：天），并用得到的数据绘制了统计图（1）和图 （2）．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）本次随机调查的学生人数是 ，图（1）中m的值是 ；
（Ⅱ）求调查获取的学生社会实践活动时间样本数据的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）该校有480名学生，根据获取的社会实践活动时间样本数据，估计该校一学期社会实践活动时间大于10天的学生人数．
21．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的直径AB的长度．
22．如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）
23．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
24．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，2），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A′OB′，点A、B旋转后的对应点为A′、B′，记旋转角为α．
（I）如图1，若α＝30°，求点B′的坐标；
（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA′和直线BB′交于点P，求证：AA′⊥BB′；
（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
2021年天津市津南区北部学区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．（3分）（﹣2）3的值等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．8 D．﹣8
【分析】根据有理数的乘方的运算法则即可得到结果．
【解答】解：（﹣2）3＝﹣8，
故选：D．
2．（3分）sin45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可．
【解答】解：sin45°＝．
故选：B．
3．（3分）2019新型冠状病毒的直径是0.00012mm，将0.00012用科学记数法表示是（ ）
A．120×10﹣6 B．12×10﹣3 C．1.2×10﹣4 D．1.2×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00012＝1.2×10﹣4．
故选：C．
4．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层右边的一个小正方形．
故选：B．
6．（3分）估计的值（ ）
A．在2和3之间 B．在4和5之间 C．在5和6之间 D．在6和7之间
【分析】直接利用估算无理数的大小的方法得出3＜＜4，进而得出答案．
【解答】解：∵32＝9，42＝16，
∴3＜＜4，
∴5＜2+＜6，
故选：C．
7．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用加减消元法求解即可．
【解答】解：，
②×3﹣①得：11y＝22，解得y＝2，
把y＝2代入②得：x+6＝7，解得x＝1，
∴原方程组的解是．
故选：A．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
【分析】由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．
【解答】解：由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律是：横坐标﹣4，纵坐标+1，
∴点B的对应点B1的坐标（﹣1，0）．
故选：C．
9．（3分）化简+的结果是（ ）
A．a+b B．a﹣b C． D．
【分析】根据同分母分式相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝a﹣b．
故选：B．
10．（3分）如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
【分析】观察函数y1＝x+1与函数的图象，即可得出当y1＞y2时，相应的自变量x的取值范围．
【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，
故选：D．
11．（3分）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．25cm2 B．cm2 C．50cm2 D．75cm2
【分析】如图：设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2x＝20，解方程即可解决问题．
【解答】解：如图：设OF＝EF＝FG＝x（cm），
∴OE＝OH＝2x，
在Rt△EOH中，EH＝2x，
由题意EH＝20cm，
∴20＝2x，
∴x＝5，
∴阴影部分的面积＝（5）2＝50（cm2）
故选：C．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0）和（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列结论：①b＞0；②2a＜b；③2a﹣b﹣1＜0，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【分析】①由图象开口向上知a＞0，由y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x0，0 ），且1＜x0＜2，则该抛物线的对称轴为x＝﹣＝，由0＞＞﹣可得0＜＜1，于是得到b＞0；故①正确；②由x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0得2a﹣b＝﹣，而﹣2＜c＞0，解不等式即可得到2a＞b，所以②错误．③由②知2a﹣b＜0，于是得到2a﹣b﹣1＜0，故③正确
【解答】解：如图：
①由图象开口向上知a＞0，
由y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x0，0 ），且1＜x0＜2，
该抛物线的对称轴为x＝﹣＝，由0＞＞﹣可得0＜＜1，于是得到
a＞0，所以b＞0；故①正确；
②由x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0得2a﹣b＝﹣，而﹣2＜c＜0，
∴2a﹣b＞0，
∴2a＞b，故②错误．
③当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0，
∴c＝﹣4a+2b．
∵c＞﹣2，
∴﹣4a+2b＞﹣2，
∴4a﹣2b﹣2＜0，
∴2a﹣b﹣1＜0，
故③正确；
故选：A．
二．填空题（共6小题）
13．（3分）计算（2x2）3的结果等于 8x6 ．
【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进而得出答案．
【解答】解：（2x2）3＝8x6．
故答案为：8x6．
14．（3分）（3+）（3﹣）＝ 12 ．
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式＝（3）2﹣（）2
＝18﹣6
＝12．
故答案为：12．
15．（3分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．
【分析】根据从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，得出是5的倍数的数据，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，
∴取到的数恰好是5的倍数的概率是＝．
故答案为：．
16．（3分）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为 m＞ ．
【分析】先根据一次函数的性质得出关于m的不等式2m﹣1＞0，再解不等式即可求出m的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2中，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴2m﹣1＞0，解得m＞．
故答案为：m＞．
17．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，以点A为圆心、AC为半径的半圆交AB于点 E．
（Ⅰ）BE的长为 2 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找一点P（点P，C在AB
两侧），使PA＝5，PE与半圆相切．简要说明点P的位置是如何找到的
（Ⅱ）如图，取格点M、N和D，连接MN，DE并延长，相交于点P，点P为所求 ．
【分析】（Ⅰ）先利用勾股定理计算出AB，然后用AB减去圆的半径得到BE的长；
（Ⅱ）取格点D，使AD＝5，则可证明△ADE≌△ABC，所以∠AED＝∠ACB＝90°，则可判断DE为⊙A的切线，再取格点M、N，利用tan∠M＝，tan∠EAD＝得到∠NMA＝∠EAD，所以MN∥AE，MN和DE的延长线交于点P，则MP⊥PD，所以PA＝MD＝5．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB＝＝5，AE＝AC＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2；
故答案为2；
（Ⅱ）如图，取格点M、N和D，连接MN，DE并延长，相交于点P，点P为所求．
三．解答题（共7小题）
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≥﹣2 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤1 ．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．
故答案为：（Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x≥﹣2；（Ⅳ）﹣2≤x≤1．
20．学校为了解全校学生参加社会实践活动情况，随机调查了部分学生一学期参加社会实践活动的时间（单位：天），并用得到的数据绘制了统计图（1）和图 （2）．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）本次随机调查的学生人数是 40 ，图（1）中m的值是 20 ；
（Ⅱ）求调查获取的学生社会实践活动时间样本数据的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）该校有480名学生，根据获取的社会实践活动时间样本数据，估计该校一学期社会实践活动时间大于10天的学生人数．
【分析】（Ⅰ）依据条形统计图中的数据，即可得到本次随机调查的学生人数以及图（1）中m的值；
（Ⅱ）依据条形统计图中的数据，即可得出众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）在统计的这组学生参加社会实践活动时间的样本数据中，社会实践活动时间大于10天的学生人数占60%，即可估计该校一学期社会实践活动时间大于10天的学生人数．
【解答】解：（Ⅰ）本次随机调查的学生人数是4+12+10+8+6＝40，
m%＝×100%＝20%．
故答案为：40，20；
（Ⅱ）观察条形统计图，
∵在这组数据中，10出现了12次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为10．
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是11，
有，
∴这组数据的中位数为11．
∵，
∴这组数据的平均数是11．
（Ⅲ）∵在统计的这组学生参加社会实践活动时间的样本数据中，社会实践活动时间大于10天的学生人数占60%，
∴估计该校480名学生中，参加社会实践活动时间大于10天的学生人数约占60%，有480×60%＝288．
∴参加社会实践活动时间大于10天的学生人数约为288．
21．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的直径AB的长度．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到∠AEM＝90°，由于MN∥BC，根据平行线的性质得∠ABC＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；
（2）连接OM，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，根据勾股定理得到r2＝32+（4﹣r）2，解方程即可得到⊙O的半径，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，
∴AM2＝ME2+AE2，
∴△AME是直角三角形，
∴∠AEM＝90°，
又∵MN∥BC，
∴∠ABC＝∠AEM＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OM，如图，设⊙O的半径是r，
在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，ME＝3，OM＝r，
∵OM2＝ME2+OE2，
∴r2＝32+（4﹣r）2，
解得：r＝，
∴AB＝2r＝．
22．如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）
【分析】设B处距离码头O有xkm，分别在Rt△CAO和Rt△DBO中，根据三角函数求得CO和DO，再利用DC＝DO﹣CO，得出x的值即可．
【解答】解：设B处距离码头O有xkm，
在Rt△CAO中，∠CAO＝26.5°，
∵tan∠CAO＝，
∴CO＝AO•tan∠CAO＝（28×0.2+x）•tan26.5°≈2.8+0.5x（km），
在Rt△DBO中，∠DBO＝49°，
∵tan∠DBO＝，
∴DO＝BO•tan∠DBO＝x•tan49°≈1.15x（km），
∵DC＝DO﹣CO，
∴6.4＝1.15x﹣（2.8+0.5x），
∴x≈14.2（km）．
因此，B处距离码头O大约14.2km．
23．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
【分析】（1）把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值；
（3）将x＝8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可．
【解答】解：（1）∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180），
∴，解得，
k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），
则k2＝25×0.8＝20；
（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：
由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．
当健身8次时，
选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元），
选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元），
∵150＜160，
∴选择方案一所需费用更少．
24．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，2），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A′OB′，点A、B旋转后的对应点为A′、B′，记旋转角为α．
（I）如图1，若α＝30°，求点B′的坐标；
（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA′和直线BB′交于点P，求证：AA′⊥BB′；
（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）设A'B'与x轴交于点H，依据旋转的性质得出BO∥A'B'，即可得到OH＝OB'＝，B'H＝3，进而得出点B'的坐标为（，3）；
（Ⅱ）依据旋转的性质可得∠BOB'＝∠AOA'＝α，OB＝OB'，OA＝OA'，即可得出∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α），再根据∠BOA'＝90°+α，四边形OBPA'的内角和为360°，即可得到∠BPA'＝90°，即AA'⊥BB'；
（Ⅲ）作AB的中点M（1，），连接MP，依据点P的轨迹为以点M为圆心，以MP＝AB＝2为半径的圆，即可得到当PM∥y轴时，点P纵坐标的最小值为﹣2．
【解答】解：（Ⅰ）如图1，设A'B'与x轴交于点H，
∵OA＝2，OB＝2，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠B'＝30°，
∵∠BOB'＝α＝30°，
∴BO∥A'B'，
∵OB'＝OB＝2，
∴OH＝OB'＝，B'H＝3，
∴点B'的坐标为（，3）；
（Ⅱ）证明：∵∠BOB'＝∠AOA'＝α，OB＝OB'，OA＝OA'，
∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α），
∵∠BOA'＝90°+α，四边形OBPA'的内角和为360°，
∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°，
即AA'⊥BB'；
（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为．
如图，作AB的中点M（1，），连接MP，
∵∠APB＝90°，
∴点P的轨迹为以点M为圆心，以MP＝AB＝2为半径的圆，除去点（2，）．
∴当PM⊥x轴时，点P纵坐标的最小值为﹣2．
25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；
（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，
∴，
∴抛物线的解析式为，即．
令y＝0，则＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0）．
∴AB＝OA+OB＝4，
∵△ABD的面积为5，
∴SABD＝AB•yD＝5，
∴，代入抛物线解析式得，，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴D（4，）．
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝x．
（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，
设E（m，m2﹣m﹣），则M（m，m+），
∴EM＝m+﹣（m2﹣m﹣）＝﹣m2+m+2，
∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝×EM•1＝（﹣m2+m+2）×1＝﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣（m﹣）2+．
∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是 ，此时E点坐标为（ ）．
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