人教版新课标A必修41.2 任意的三角函数课时练习

能 力 提 升

一、选择题

1．已知的正弦线为MP，正切线为AT，则有(　　)

A．MP与AT的方向相同   B．|MP|＝|AT|

C．MP>0，AT<0   D．MP<0，AT>0

[答案]　A

[解析]　三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP＝sin<0，AT＝tan<0.

2．已知α角的正弦线与y轴正方向相同，余弦线与x轴正方向相反，但它们的长度相等，则(　　)

A．sinα＋cosα＝0   B．sinα－cosα＝0

C．tanα＝0   D．sinα＝tanα

[答案]　A

3．若<α<，则下列不等式正确的是(　　)

A．sinα>cosα>tanα   B．cosα>tanα>sinα

C．sinα>tanα>cosα   D．tanα>sinα>cosα

[答案]　D

4．y＝的定义域为(　　)

A.

B.

C.

D.(以上k∈Z)

[答案]　B

[解析]　∵，

∴2kπ<x<2kπ＋，k∈Z.

5．(能力拔高题)已知cosα≤sinα，那么角α的终边落在第一象限内的范围是(　　)

A．(0，]

B．[，)

C．[2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z

D．(2kπ，2kπ＋]，k∈Z

[答案]　C

[解析]　如图所示，由余弦线长度|OM|不大于正弦线长度|MP|可知，角α的终边落在图中的阴影区域，故选C.

6．已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是(　　)

A．若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ

B．若α、β是第二象限角，则tanα>tanβ

C．若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ

D．若α、β是第四象限角，则tanα>tanβ

[答案]　D

[解析]　如图(1)，α、β的终边分别为OP、OQ，sinα＝MP>NQ＝sinβ，此时OM<ON，∴cosα<cosβ，故A错；

如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边，MP>NQ，

∴AC<AB，即tanα<tanβ，故B错；

如图(3)，角α，β的终边分别为OP、OQ，MP>NQ即sinα>sinβ，∴ON>OM，即cosβ>cosα，故C错，∴选D.

二、填空题

7．已知tanx＝1，则x＝________.

[答案]　x＝＋kπ(k∈Z)

8．不等式cosx>0的解集是________．

[答案]　{x|2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z}．

[解析]　如图所示，OM是角x的余弦线，则有cosx＝OM>0，

∴OM的方向向右．

∴角x的终边在y轴的右方．

∴2kπ－<x<2kx＋，k∈Z.

9．已知点P(tanα，sinα－cosα)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是______________________．

[答案]　∪

[解析]　∵点P在第一象限，

∴

由(1)知0<α<或π<α<，(3)

由(2)知sinα>cosα，

作出三角函数线知，在[0,2π]内满足sinα>cosα的

α∈，(4)

由(3)、(4)得α∈∪.

三、解答题

10．利用三角函数线比较下列各组数的大小：

(1)sin与sin；(2)tan与tan.

[解析]　

如图，射线OP1、OP2分别表示角、的终边，其中P1、P2是终边与单位圆的交点，过点P1、P2分别作x轴的垂线，垂足分别为点Q1、Q2，过点A(1,0)作x轴的垂线分别与角、的终边的反向延长线交于点T1、T2，则Q1P1、Q2P2是角、的正弦线，AT1、AT2是、的正切线．于是，有向线段Q1P1>Q2P2，AT1<AT2，

所以sin>sin，tan<tan.

11．求下列函数的定义域：

(1)y＝；　(2)y＝lg(3－4sin2x)．

[解析]　如图(1)．

∵2cosx－1≥0，∴cosx≥.

∴函数定义域为(k∈Z)．

(2)如图(2)．

∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，∴－<sinx<.

∴函数定义域为∪，(k∈Z)，即(k∈Z)．

12．利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则

(1)sinα＋cosα>1；

(2)sin2α＋cos2α＝1.

[证明]　如图，记角α的两边与单位圆的交点分别为点A，P，过点P作PM⊥x轴于点M，则sinα＝MP，cosα＝OM.

(1)在Rt△OMP中，MP＋OM>OP，∴sinα＋cosα>1.

(2)在Rt△OMP中，MP2＋OM2＝OP2，

∴sin2α＋cos2α＝1.