2020-2021学年第一章 三角函数1.2 任意的三角函数学案

                     临清三中数学组  编写人：郭振宇   审稿人： 庞红玲 李怀奎

1.2.1任意角的三角函数

【教学目标】

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；

（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；

（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；

（4）掌握并能初步运用公式一；

（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

【教学重难点】

重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.

【教学过程】

一、【创设情境】

提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？

借助右图直角三角形，复习回顾.

引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那

么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;

;    .

思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？

显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：

;  ;  .

思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.

二、【探究新知】

1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?

显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.

2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?

如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:

(1)叫做的正弦(sine),记做,即；

（2）叫做的余弦(cossine),记做,即；

（3）叫做的正切(tangent),记做,即.

注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.

3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?

前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,

.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.

4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：

5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?

       终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:

  (其中)

6.三角函数线

设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点

，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.

由四个图看出：

当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有

我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。

我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.

7.例题讲解

例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。

解：

变式训练1：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.

解：,,.

    例2．求下列各角的三个三角函数值：

    （1）；       （2）；            （3）．

       解：（1）sin0=0   cos0=1   tan0=0

          （2）

          （3）

     变式训练2：求的正弦、余弦和正切值.

    例3．已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值.

    解析：计算点到原点的距离时应该讨论a的正负.

    变式训练3： 求函数的值域.

解析：分四个象限讨论.

答案：{2，-2，0}

    例4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

     1.与        2.tan与tan 

三、【学习小结】

(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?

(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?

(3)请写出各三角函数的定义域；

(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?

(5)三角函数线的做法.

四、【作业布置】

作业：习题1.2 A组第1,2题．

五、【板书设计】

                       临清三中数学组  编写人：郭振宇   审稿人： 庞红玲 李怀奎

1.21任意角的三角函数

课前预习学案

一、预习目标：

    1.了解三角函数的两种定义方法；

    2.知道三角函数线的基本做法.

二、预习内容：

    根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空.

三、提出疑惑

    同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一、学习目标

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；

（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；

（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；

（4）掌握并能初步运用公式一；

（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

二、重点、难点

重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.

三、学习过程

（一）复习：

1、初中锐角的三角函数­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­______________________________________________________

2、在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为_______________________________________________

（二）新课：

1．三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么

（1）比值_______叫做α的正弦，记作_______，即________

（2）比值_______叫做α的余弦，记作_______，即_________

（3）比值_______叫做α的正切，记作_______，即_________；

2．三角函数的定义域、值域

3．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

①正弦值对于第一、二象限为_____（），对于第三、四象限为____（）；

②余弦值对于第一、四象限为_____（），对于第二、三象限为____（）；

③正切值对于第一、三象限为_______（同号），对于第二、四象限为______（异号）．

4．诱导公式

   由三角函数的定义，就可知道：__________________________

即有：_________________________

      _________________________

      _________________________

5．当角的终边上一点的坐标满足_______________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

     设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.

由四个图看出：

当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有

，_______        ，________

．_________

我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。

（三）例题

 例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。

变式训练1：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.

 例2．求下列各角的三个三角函数值：

（1）；       （2）；            （3）．

变式训练2：求的正弦、余弦和正切值.

 例3．已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值。

 变式训练3： 求函数的值域

 例4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

   1.  与        2. tan与tan 

（四）、小结

课后练习与提高

一、选择题

1. 是第二象限角，P（，）为其终边上一点，且，则的值为（    ）

A.     B.     C.     D.

2. 是第二象限角，且，则是（    ）

    A. 第一象限角    B. 第二象限角    C. 第三象限角    D. 第四象限角

3、如果那么下列各式中正确的是（     ）

A.   B. 

C.   D. 

二、填空题

4. 已知的终边过（9，）且，，则的取值范围是    。

5. 函数的定义域为         。

6. 的值为       （正数，负数，0，不存在）

三、解答题

7.已知角α的终边上一点P的坐标为（）（），且，求

参考答案

一、选择题：

1. A     2 . C    3．  D

二、填空题

4.     5.     6. 负数

三、解答题

7. 解：由题意，得：

解得：，所以