数学必修4第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制巩固练习

能 力 提 升

一、选择题

1．给出下列四个命题，其中正确的命题有(　　)

①－75°是第四象限角  ②225°是第三象限角

③475°是第二象限角  ④－315°是第一象限角

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个

[答案]　D

[解析]　由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.

2．如果角α与x＋45°具有同一条终边，角β与x－45°具有同一条终边，则α与β的关系是(　　)

A．α＋β＝0

B．α－β＝0

C．α＋β＝k·360°(k∈Z)

D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)

[答案]　D

[解析]　∵α＝(x＋45°)＋k·360°(k∈Z)，

β＝(x－45°)＋k·360°(k∈Z)，

∴α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)．

3．(山东潍坊模块达标)已知α与120°角的终边关于x轴对称，则是(　　)

A．第二或第四象限角  B．第一或第三象限角

C．第三或第四象限角  D．第一或第四象限角

[答案]　A

[解析]　由α与120°角的终边关于x轴对称，可得α＝k·360°－120°，k∈Z，∴＝k·180°－60°，k∈Z，取k＝0,1可确定终边在第二或第四象限．

4．若角θ是第四象限角，则90°＋θ是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

[答案]　A

[解析]　如图所示，将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°＋θ的终边，则90°＋θ是第一象限角．

5．下列说法中，正确的是(　　)

A．第二象限的角是钝角

B．第二象限的角必大于第一象限的角

C．－150°是第二象限角

D．－252°16′，467°44′，1187°44′是终边相同的角

[答案]　D

[解析]　第二象限的角中，除包含钝角以外，还包含与钝角相差k·360°(k∈Z)的角，如460°是第二象限的角但不是钝角，故选项A错；460°是第二象限的角，730°是第一象限角，显然460°小于730°，故选项B错；选项C中－150°应为第三象限角，故选项C错；选项D中三个角相差360°的整数倍，则它们的终边相同．

6．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于(　　)

A．{－36°，54°}

B．{－126°，144°}

C．{－126°，－36°，54°，144°}

D．{－126°，54°}

[答案]　C

[解析]　当k＝－1时，α＝－126°∈B；

当k＝0时，α＝－36°∈B；

当k＝1时，α＝54°∈B；

当k＝2时，α＝144°∈B.

二、填空题

7．(2011～2012·黑龙江五校联考)与－2013°终边相同的最小正角是________．

[答案]　147°

8．(2011～2012·镇江高一检测)将分针拨快10分钟，则分针所转过的度数为________．

[答案]　－60°

9．已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈________.

[答案]　{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}

[解析]　在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°<α<(2k＋1)180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．

三、解答题

10．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：

(1)终边落在射线OM上；

(2)终边落在直线OM上；

(3)终边落在阴影区域内(含边界)．

[解析]　(1)终边落在射线OM上的角的集合为

A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．

(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为

B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，

则终边落在直线OM上的角的集合为

A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}

＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}

＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．

(3)同理，得终边落在直线ON上的角的集合为

{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，

故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为

{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．

11．如图，已知直线l1：y＝x及直线l2：y＝－x，请表示出终边落在直线l1或l2上的角．

[解析]　由题意知，终边落在直线l1上的角的集合为M1＝{α|α＝30°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝210°＋k2·360°，k2∈Z}＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；

终边落在直线l2上的角的集合为M2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}．

所以终边落在直线l1或l2上的角的集合为M＝M1∪M2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·90°，n∈Z}．

12．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，

(1)有几种终边不相同的角？

(2)若－360°<α<360°，则α共有多少个？

[解析]　(1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有四种，分别是与45°，135°，－135°，－45°终边相同的角．

(2)令－360°<k·90°＋45°<360°，得－<k<.

又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.

∴满足条件的角共有8个．