必修41.2 任意的三角函数一课一练

能 力 提 升

一、选择题

1．已知sinα－cosα＝－，则sinα·cosα等于(　　)

A.   B．－ 

C．－   D.

[答案]　C

[解析]　将所给等式两边平方，得1－2sinαcosα＝，故sinαcosα＝－.

2．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg＝n，则lgsinA的值为(　　)

A．m＋   B．m－n

C.(m＋)   D.(m－n)

[答案]　D

[解析]　∵m－n＝lg(1＋cosA)＋lg(1－cosA)

＝lg(1－cos2A)＝lgsin2A＝2 lgsinA，

∴lgsinA＝(m－n)．

3．函数y＝＋的值域是(　　)

A．{0,2}   B．{－2,0}

C．{－2,0,2}  D．{－2,2}

[答案]　C

[解析]　化简得y＝＋，当x的终边分别在第一、二、三、四象限时分类讨论符号即可．

4．如果sinx＋cosx＝，且0<x<π，那么tanx的值是(　　)

A．－   B．－或－

C．－   D.或－

[答案]　A

[解析]　将所给等式两边平方，得sinxcosx＝－，

∵0<x<π，∴sinx>0，cosx<0，

∴sinx＝，cosx＝－，∴tanx＝－.

5．若非零实数m、n满足tanα－sinα＝m，tanα＋sinα＝n，则cosα等于(　　)

A.   B.

C.   D.

[答案]　A

[解析]　已知两等式联立，得解得tanα＝，sinα＝，则cosα＝＝.

6．化简(＋)(1－cosα)的结果是(　　)

A．sinα   B．cosα

C．1＋sinα   D．1＋cosα

[答案]　A

二、填空题

7．在△ABC中，sinA＝，则∠A＝________.

[答案]　60°

[解析]　∵2sin2A＝3cosA，∴2(1－cos2A)＝3cosA，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，∴cosA＝，cosA＝－2(舍去)，∴A＝60°.

8．已知tanα＝cosα，那么sinα＝________.

[答案]　

[解析]　由于tanα＝＝cosα，则sinα＝cos2α，所以sinα＝1－sin2α，解得sinα＝.

又sinα＝cos2α≥0，所以sinα＝.

三、解答题

9．已知cosα＝－，且tanα>0，求的值．

[解析]　∵cosα＝－，且tanα>0，

∴α是第三象限角，

∴sinα＝－＝－，

＝＝

＝sinα(1＋sinα)＝－×(1－)

＝－.

10．已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，

求(1)tanα；

(2).

[解析]　(1)2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝

＝，

则＝1，

即4tan2α－3tanα－1＝0.

解得tanα＝－或tanα＝1.

(2)原式＝＝，

当tanα＝－时，原式＝；

当tanα＝1时，原式＝.

11．求证：sinα(1＋tanα)＋cosα(1＋)＝＋.

[证明]　左边＝sinα(1＋)＋cosα(1＋＝sinα＋＋cosα＋

＝＋

＝＋＝右边．

即原等式成立．