人教版新课标A必修41.2 任意的三角函数第2课时课时作业

第一章　三角函数

1.2　任意角的三角函数

1.2.1　任意角的三角函数

第2课时　三角函数线

基础过关练

题组一　三角函数线的定义

1.有三个命题:①角和的正弦线长度相等;②角和的正切线相同;③角和的余弦线长度相等.

其中说法正确的个数为(　　)　　　　　　　　

A.1 B.2 C.3 D.0

2.已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段,则角α的终边在(　　)

A.第一象限的角平分线上                        B.第四象限的角平分线上

C.第二、四象限的角平分线上                 D.第一、三象限的角平分线上

题组二　利用三角函数线解简单不等式

3.使sin x≤cos x成立的x的一个范围是(　　)

A. B.            C.            D.[0,π]

4.(2020福建福州高一下月考)sin x≤的解集为　　　　　　　　　　　　　　　. 

5.利用三角函数线求满足|cos α|>|sin α|的角α的集合.

6.(★★☆)解不等式cos 2x≤.

题组三　利用三角函数线比较大小

7.若α是第一象限角,则sin α+cos α的值与1的大小关系是(　　)

A.sin α+cos α>1 B.sin α+cos α=1

C.sin α+cos α<1  D.不能确定

8.如果<α<,那么下列不等式成立的是(　　)

A.cos α<sin α<tan α            B.tan α<sin α<cos α

C.sin α<cos α<tan α            D.cos α<tan α<sin α

9.利用三角函数线比较sin 和sin ,cos 和cos ,tan 和tan 的大小.

能力提升练

一、选择题

1.(2019山西四大名校高一下期末,★★☆)已知A是△ABC的一个内角,且tan A-≥0,则sin A的取值范围是(　　)

A. B.     C. D.

2.(2018北京文,7,5分,★★☆)在平面直角坐标系中,,,,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tan α<cos α<sin α,则P所在的圆弧是(　　)

A. B. C. D.

3.(★★☆)设a=sin ,b=cos ,c=tan ,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<b<c              B.a<c<b         C.b<c<a  D.b<a<c

二、解答题

4.(★★☆)求满足sin α<,且α∈(0,π)的角α的集合.

5.(2019辽宁省实验中学、沈阳东北育才学校高二下期末,★★☆)若f(x)≥h(x)=ax+b≥g(x),则定义曲线h(x)为曲线f(x),g(x)的ψ线.已知f(x)=tan x,x∈,g(x)=sin x,x∈,求曲线f(x),g(x)的ψ线.

6.(★★☆)已知-≤cos θ<,利用单位圆中的三角函数线,确定角θ的取值范围.

答案全解全析

第一章　三角函数

1.2　任意角的三角函数

1.2.1　任意角的三角函数

第2课时　三角函数线

基础过关练

1.C　角和的正弦线关于y轴对称,长度相等;角和的正切线相同;角和的余弦线长度相等.①②③都正确,故选C.

2.C　由图(1)可知,当α=135°,即角α的终边在第二象限的角平分线上时,sin α=-cos α;由图(2)可知,当α=315°,即角α的终边在第四象限的角平分线上时,sin α=-cos α.综上,角α的终边应在第二、四象限的角平分线上.

3.A　如图,画出角、-的正弦线和余弦线.

由图可得sin-=cos-,sin=cos,且当-<x<0时,cos x>sin x,当0≤x<时,cos x>sin x,故当-≤x≤时,sin x≤cos x.

4.答案　

解析　如图,作出满足sin x=的角的正弦线M1P1和M2P2,∠M2OP2=,∠M2OP1=.当角的终边位于图中阴影部分时,正弦线的长度不超过,因此,sin x≤的解集为x≤x≤2kπ+,k∈Z.

5.解析　如图,作出单位圆及直线y=x与y=-x,则当角α的终边在直线y=x与y=-x上时,|cos α|=|sin α|.

观察图象可知,当角α的终边靠近x轴时,|cos α|>|sin α|.

所以角α的集合为α<α<kπ+,k∈Z.

6.解析　作单位圆及直线x=,圆与直线相交于A、B两点,作射线OA、OB,则OA为角的终边,OB为角的终边.

设t=2x,当t∈,时,满足cos t≤.

所以2kπ+≤t≤2kπ+,k∈Z,

即2kπ+≤2x≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,

即不等式的解集为kπ+,kπ+,k∈Z.

7.A　如图,角α的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴于点M,则sin α=MP,cos α=OM.由三角形两边之和大于第三边可知OM+MP>OP,又OP=1,所以sin α+cos α>1.

8.A　解法一(特值法):令α=,则sin α=,cos α=,tan α=,故cos α<sin α<tan α.

解法二:如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线MP,余弦线OM,正切线AT,则OM<MP<AT,即cos α<sin α<tan α.

9.解析　如图,sin =MP,cos =OM,tan =AT,sin =M'P',cos =OM',tan =AT'.

显然|MP|>|M'P'|,符号皆正,∴sin >sin ;

|OM|<|OM'|,符号皆负,∴cos >cos ;

|AT|>|AT'|,符号皆负,∴tan <tan .

能力提升练

一、选择题

1.A　tan A-≥0⇔tan A≥,令tan A=,又0<A<π,所以A=,作角的正切线MT,如图所示.由图可得,当≤A<时,tan A≥,

此时≤sin A<1,即sin A的取值范围是,1.故选A.

2.C　若点P在或(不包含端点A,D)上,则角α的终边在第一象限,由三角函数线得tan α>sin α,与tan α<sin α矛盾,故排除A,B.

若点P在(不包含端点G)上,则角α的终边在第三象限,此时tan α>0,cos α<0,与tan α<cos α矛盾,故排除D,故选C.

3.D　作出单位圆及角的三角函数线,如图所示.

则sin =MP,cos =OM,tan =AT,

由于<<,所以OM<MP<AT,∴b<a<c,故选D.

二、解答题

4.解析　令sin α=,结合α∈(0,π)可得α=或α=.在同一坐标系中作出角,的正弦线M1P1,M2P2.

由图可得,当α∈0,∪,π时,sin α<.

5.解析　如图,单位圆与α的终边OP相交于点P,过P作PM⊥x轴,垂足为M,连接AP,过单位圆与x轴正半轴的交点A作AT⊥ x轴交OP于点T,

则sin α=MP,α==l,tan α=AT,由S扇形OAP<S△OAT,得OA·l<OA·AT,所以l<AT.又MP<PA<l,因此MP<l<AT,

即sin α<α<tan α.

故当x∈0,时,sin x≤x≤tan x,结合题意有h(x)=x,所以曲线f(x),g(x)的ψ线为直线y=x.

6.解析　在平面直角坐标系中作出单位圆及直线x=-,x=.如图,设直线x=-与单位圆交于M,P两点,直线x=与单位圆交于N,Q两点,作射线OM,OP,ON,OQ.则射线OM为角的终边,OP为角-的终边,ON为角的终边,OQ为角-的终边.

∵-≤cos θ<,

∴结合图形可得θ的取值范围是

θ≤θ<2kπ-或2kπ+<θ≤2kπ+,k∈Z.