高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.2 单位圆与三角函数线同步训练题
展开课时跟踪检测(四) 单位圆与三角函数线
A级——学考水平达标练
1.(多选题)下列判断中正确的是( )
A.α一定时,单位圆中的正弦线一定
B.在单位圆中,有相同正弦线的角相等
C.α和α+π有相同的正切线
D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
解析:选ACD A正确;B错误,如与有相同正弦线;C正确,因为α与π+α的终边互为反向延长线;D正确.
2.已知角α的正弦线与y轴正方向相同,余弦线与x轴正方向相反,但它们的长度相等,则( )
A.sin α+cos α=0 B.sin α-cos α=0
C.tan α=0 D.sin α=tan α
解析:选A ∵sin α>0,cos α<0,且|sin α|=|cos α|,
∴sin α+cos α=0.
3.下列各式正确的是( )
A.sin 1>sin B.sin 1<sin
C.sin 1=sin D.sin 1≥sin
解析:选B 1和的终边均在第一象限,且的正弦线大于1的正弦线,则sin 1<sin.
4.若α是第一象限角,则sin α+cos α的值与1的大小关系是( )
A.sin α+cos α>1 B.sin α+cos α=1
C.sin α+cos α<1 D.不能确定
解析:选A 作出α的正弦线和余弦线(图略),由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α+cos α>1.
5.sin 2,cos 2,tan 2的大小关系为( )
A.sin 2>cos 2>tan 2
B.sin 2>tan 2>cos 2
C.tan 2>sin 2>cos 2
D.tan 2>cos 2>sin 2
解析:选A 作出三角函数线易知.
6.若角α的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为________.
解析:由余弦线长度为0知,角的终边在y轴上,所以正弦线长度为1.
答案:1
7.若a=sin 4,b=cos 4,则a,b的大小关系为________.
解析:因为<4<,画出4弧度角的正弦线和余弦线(如图),观察可知sin 4<cos 4,即a<b.
答案:a<b
8.若角α的正弦线的长度为,且方向与y轴的正方向相反,则sin α的值为________.
解析:由题意知|sin α|=,且方向与y轴正方向相反,∴sin α=-.
答案:-
9.在单位圆中画出满足sin α=的角α的终边,并作出其正弦线、余弦线和正切线.
解:如图①作直线y=交单位圆于P,Q,则OP,OQ为角α的终边.
如图②所示,当α的终边是OP时,角α的正弦线为,余弦线为,正切线为.
当α的终边是OQ时,角α的正弦线为,余弦线为,正切线为.
10.利用三角函数线分析点P(sin 3-cos 3, sin 3+cos 3)所在的象限.
解:由<3<π,作出单位圆如图所示.则3弧度角的正弦线为,余弦线为,显然sin 3>0,cos 3<0,且|sin 3|<|cos 3|,所以sin 3-cos 3>0,sin 3+cos 3<0,故点P(sin 3-cos 3, sin 3+cos 3)在第四象限.
B级——高考水平高分练
1.若α是三角形的内角,且sin α+cos α=,则这个三角形是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
解析:选D 当0<α≤时,由单位圆中的三角函数线知,sin α+cos α≥1,而sin α+cos α=,所以α必为钝角,所以这个三角形是钝角三角形.
2.若θ∈,则sin θ+cos θ的一个可能值是( )
A. B. C. D.1
解析:选C 由θ∈及角θ的三角函数线,知sin θ+cos θ>1,四个选项中仅有>1,故选C.
3.sin ,cos ,tan 从小到大的顺序是_____________________________.
解析:由图可知:
cos <0,tan >0,sin >0.
∵||<||,且,与y轴正方向相同,
∴sin <tan .
故cos <sin <tan .
答案:cos <sin <tan
4.如图,在单位圆中,已知角α的终边是OP,角β的终边是OQ,试用不等号填空:
(1)sin α________sin β;(2)cos α________cos β;
(3)tan α________tan β.
解析:如图所示,α的正弦线为,β的正弦线为,由于||>||,故sin α>sin β;α的余弦线为,β的余弦线为,由于||<||,故cos α<cos β;α的正切线为,β的正切线为,由于||>||,故tan α>tan β.
答案:(1)> (2)< (3)>
5.设α是锐角,利用单位圆和三角函数线证明:sin α<α<tan α.
证明:如图所示,设角α的终边交单位圆于P,过点P作PM垂直于x轴,垂足为M.过点A(1,0)作单位圆的切线交OP于点T,连接PA,则sin α=||,
tan α=||,
∵S△OAP<S扇形OAP<S△OAT,
∴||·||<α||2<||·||.
又| |=1,∴||<α<||,即MP<α<AT.
∴sin α<α<tan α.
6.已知α是锐角,求证:1<sin α+cos α<.
证明:设角α的终边与单位圆交于P(x,y),过P作PQ⊥OA,PR⊥OB,Q,R为垂足,连接PA,PB,如图所示.
易知| |=y=sin α,| |=x=cos α,∵在△OPQ中,||+||>|| |,∴sin α+cos α>1.
∴S△OAP=| |·||=y=sin α,S△OBP=| |·| |=x=cos α,S扇形OAB=×12=.
又∵S△OAP+S△OBP<S扇形OAB,
∴sin α+cos α<,
即sin α+cos α<.
综上可知,1<sin α+cos α<.
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