人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步训练题

能 力 提 升

一、选择题

1．tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝，则tan2α＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

[答案]　D

[解析]　tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]

＝＝＝.

2．(2013长春二模)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是(　　)

A．－   B. 

C.   D．－

[答案]　B

[解析]　由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，则C＝，cosC＝.

3．在△ABC中，若0<tanBtanC<1，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形   B．钝角三角形

C．直角三角形   D．形状不能确定

[答案]　B

[解析]　∵0<tanBtanC<1，∴B，C均为锐角，

∴<1，∴cos(B＋C)>0，

∴cosA<0，∴A为钝角．

4．已知tanα、tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为(　　)

A.   B．－

C.或－   D．－或

[答案]　B

[解析]　由韦达定理得

tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4，

∴tanα<0，tanβ<0，

∴tan(α＋β)＝＝＝

又－<α<，－<β<，且tanα<0，tanβ<0

∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.

5．(2011～2012·长春高一检测)tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)的值是(　　)

A.   B. 

C．2  D.

[答案]　A

[解析]　∵tan＝tan(＋)

＝tan[(－θ)＋(＋θ)]

＝

∴＝

即tan(－θ)＋tan(＋θ)

＝－tan(－θ)·tan(＋θ)，

∴tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)·tan(＋θ)＝.

6．在△ABC中，若tanB＝，则这个三角形是(　　)

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰三角形或直角三角形

[答案]　B

[解析]　因为△ABC中，A＋B＋C＝π，

所以tanB＝

＝＝，

即＝，

∴cos(B＋C)＝0，∴cos(π－A)＝0，∴cosA＝0，

∵0<A<π，∴A＝，

∴这个三角形为直角三角形，故选B.

二、填空题

7．(2013广西联考)已知sinx＝，x∈(，)，则tan(x－)＝________.

[答案]　－3

[解析]　∵x∈(，π)，sinx＝，∴x∈(，π)

∴cosx＝－，∴tanx＝－

tan(x－)＝＝＝－3.

8．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.

[答案]　

[解析]　tan＝tan

＝＝.

9．(2013山东潍坊高一期末)如果tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，那么tan(α＋)＝________.

[答案]　

[解析]　tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]

＝＝＝.

三、解答题

10．(2011～2012·学军高一检测)已知△ABC中，tanAtanB－tanA－tanB＝.求C的大小．

[解析]　依题意：＝－，

即tan(A＋B)＝－，又0<A＋B<π，

∴A＋B＝，∴C＝π－A－B＝.

11．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.

求：(1)tan(α＋β)的值；

(2)α＋2β的值．

[解析]　由已知得cosα＝，cosβ＝.

又α，β是锐角．

则sinα＝＝，

sinβ＝＝.

所以tanα＝＝7，tanβ＝＝.

(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.

(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]

＝

＝＝－1，

又α、 β是锐角，则0<α＋2β<，

所以α＋2β＝.

12．已知A、B、C是△ABC的三内角，向量m＝(－1，)，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝1.

(1)求角A；

(2)若tan＝－3，求tanC.

[解析]　∵(1)m·n＝1，

∴(－1，)·(cosA，sinA)＝1，

即sinA－cosA＝1,2sin＝1.

∴sin＝.

∵0<A<π，∴－<A－<.

∴A－＝，即A＝.

(2)由tan＝＝－3，

解得tanB＝2.

又A＝，∴tanA＝.

∴tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)

＝－＝－＝.