人教版新课标A必修43.2 简单的三角恒等变换随堂练习题

能 力 提 升

一、选择题

1．函数y＝sin2xcos2x是(　　)

A．周期为的奇函数   B．周期为的偶函数

C．周期为的奇函数   D．周期为的偶函数

[答案]　A

[解析]　y＝sin4x，T＝＝.

又f(－x)＝sin(－4x)＝－sin4x＝－f(x)，它是奇函数．

2．若f(tanx)＝sin2x，则f(－1)＝(　　)

A．－2　　 　 B．－1　　 　

C．0　　　　 D．1

[答案]　B

[解析]　f(－1)＝f[tan(－＋kπ)]＝sin2(－＋kπ)＝sin(－＋2kπ)＝－1.

3.·等于(　　)

A．tanα   B．tan2α

C．1   D.

[答案]　B

[解析]　原式＝＝＝＝tan2α.

4．已知钝角α满足cosα＝－，则sin等于(　　)

A.   B.

C.   D.

[答案]　C

[解析]　∵α为钝角，∴sin>0.

∴sin＝＝＝.

5．若＝－，则cosα＋sinα的值为(　　)

A．－   B．－

C.   D.

[答案]　C

[解析]　法一：原式左边＝

＝

＝－2cos＝－(sinα＋cosα)＝－，

∴sinα＋cosα＝，故选C.

法二：原式＝

＝

＝－(sinα＋cosα)＝－，

∴cosα＋sinα＝，故选C.

6．(2012·全国高考山东卷)若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝(　　)

A.   B.

C.  D.

[答案]　D

[解析]　由θ∈可得2θ∈，cos2θ＝－＝－，sinθ＝＝，答案应选D.

另解：由θ∈及sin2θ＝可得

sinθ＋cosθ＝＝＝＝＝＋，

而当θ∈时sinθ>cosθ，

结合选项即可得sinθ＝，cosθ＝.答案应选D.

二、填空题

7．已知tan＝，则cosα＝________.

[答案]　

[解析]　∵tan＝±，

∴tan2＝.

∴＝，解得cosα＝.

8．函数f(x)＝2cos2＋sinx的最小正周期是________．

[答案]　2π

[解析]　化简得f(x)＝1＋sin(x＋)，

∴T＝＝2π.

9．若sin＝，则tan2x＝________.

[答案]　4

[解析]　sin＝－cos2x＝sin2x－cos2x

＝＝＝，

解得tan2x＝4.

三、解答题

10．已知sinα＝，sin(α＋β)＝，α、 β均为锐角，求cos的值．

[解析]　∵0<α<，sinα＝，

∴cosα＝＝.

又∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.

若0<α＋β<，

∵>，即sinα>sin(α＋β)，

∴α＋β<α不可能．∴<α＋β<π.

又∵sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－.

∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα

＝－×＋×＝.

而0<β<，0<<，

∴cos＝＝.

11．已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos(＋)的值．

[解析]　m＋n＝(cosθ－sinθ＋，cosθ＋sinθ)，

∵π<θ<2π，∴<＋<.

∴cos(＋)<0.

由已知|m＋n|＝，得

|m＋n|＝

＝

＝

＝＝2

＝2

＝－2cos(＋)＝，

∴cos(＋)＝－.

12．(2013山东潍坊高一期末)已知cos(π－α)＝，

α∈(－π，0)．

(Ⅰ)求sinα.

(Ⅱ)求cos2(－)＋sin(3π＋)·sin(π－)的值．

[解析]　(Ⅰ)∵cos(π－α)＝－cosα＝，

∴cosα＝－，

又∵α∈(－π，0)，

∴sinα＝－＝－.

(Ⅱ)cos2(－)＋sin(3π＋)·sin(－)

＝[1＋cos(－α)]＋(－sin)·(－cos)

＝＋sinα＋sin·cos

＝＋sinα＋sinα

＝＋sinα

＝＋(－)＝.