高中数学人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课堂检测

能 力 提 升

一、选择题

1．若sinx＋cosx＝4－m，则实数m的取值范围是(　　)

A．2≤m≤6  B．－6≤m≤6

C．2<m<6   D．2≤m≤4

[答案]　A

[解析]　∵sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)

＝2(cosxcos＋sinxsin)＝2cos(x－)＝4－m，

∴cos(x－)＝，∴||≤1，解得2≤m≤6.

2．若sinα·sinβ＝1，则cos(α－β)的值为(　　)

A．0   B．1 

C．±1   D．－1

[答案]　B

[解析]　∵sinαsinβ＝1，∴或，

由cos2α＋sin2α＝1得cosα＝0，

∴cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0＋1＝1.

3．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是(　　)

A．sin2x   B．cos2y 

C．－cos2x   D．－cos2y

[答案]　B

[解析]　原式＝cos(x＋y)cos(x－y)＋sin(x＋y)·sin(x－y)

＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos2y.

4．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是(　　)

A．－   B.

C.   D.

[答案]　B

[解析]　∵sin(π＋θ)＝－，且θ是第二象限角，

∴sinθ＝，cosθ＝－＝－.

又∵sin＝－，且φ是第三象限角，

∴cosφ＝－，sinφ＝－.

∴cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ

＝×＋×＝.

5．已知sin＝，<α<，则cosα的值是(　　)

A.   B.

C.   D.

[答案]　A

[解析]　∵<α<，∴<＋α<π.

∴cos＝－＝－.

∴cosα＝cos

＝coscos＋sinsin

＝－×＋×＝.

6．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，则cos(α－β)的值为(　　)

A.   B.

C.   D．－

[答案]　D

[解析]　由已知，得(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝2＋2＝1，

所以2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1，

即2＋2cos(α－β)＝1.

所以cos(α－β)＝－.

二、填空题

7．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝________.

[答案]　

[解析]　原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)]

＝cos30°＝.

8．已知cos＝cosα，则tanα＝________.

[答案]　

[解析]　cos＝cosαcos＋sinαsin

＝cosα＋sinα＝cosα，

∴sinα＝cosα，∴＝，即tanα＝.

9．化简＝________.

[答案]　

[解析]　＝

＝＝.

三、解答题

10．已知α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，求cos(α＋)的值．

[解析]　∵α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，

∴α＋β∈(，2π)，β－∈(，)，∴cos(α＋β)＝＝，cos(β－)＝－＝－，∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]＝cos(α＋β)·cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)＝×(－)＋(－)×＝－.

11．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.

[解析]　∵α∈，β∈，

∴α－∈，－β∈，

∴sin＝

＝＝.

cos＝＝＝.

∴cos＝cos

＝coscos＋sin·sin

＝－×＋×＝.

12．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R)的最大值是1，其图象经过点M(，)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)已知α、β∈(0，)，且f(α)＝，f(β)＝，

求f(α－β)的值．

[解析]　(1)由题意，知A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)．将点M(，)代入，得sin(＋φ)＝.而0<φ<π，∴＋φ＝π，∴φ＝，故f(x)＝sin(x＋)＝cosx.

(2)由题意，有cosα＝，cosβ＝.

∵α、β∈(0，)，

∴sinα＝＝，sinβ＝＝，

∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝