数学选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念随堂练习题

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课时提升作业 九

　复数的几何意义

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2016·青岛高二检测)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于　(　　)

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

【解析】选D.因为<2<π,所以sin2>0,cos2<0,

所以复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限.

2.(2016·黄山高二检测)设i是虚数单位,若z=cosθ+isinθ对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于　(　　)

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

【解析】选B.因为z=cosθ+isinθ对应的点坐标为(cosθ,sinθ),

且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限,

所以所以θ为第二象限角.

【补偿训练】复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于　(　　)

A.实轴对称

B.虚轴对称

C.一、三象限平分线对称

D.二、四象限平分线对称

【解析】选A.由实部相等,虚部互为相反数得复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.

3.设O为原点,向量,对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量对应的复数为　 (　　)

A.-1+i    B.1-i

C.-5-5i    D.5+5i

【解析】选D.因为由已知=(2,3),=(-3,-2),

所以=-=(2,3)-(-3,-2)=(5,5),

所以对应的复数为5+5i.

4.(2016·烟台高二检测)过原点和-i对应点的直线的倾斜角是　(　　)

A.   B.-   C.   D.

【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),

所以tanα==-(0≤α<π),所以α=π.

5.(2016·西安高二检测)复数1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为(　　)

A.2cos   B.-2cos   C.2sin   D.-2sin

【解析】选B.所求复数的模为

==，

因为π<α<2π，

所以<<π，

所以cos<0，

所以=-2cos.

【误区警示】本题容易忽视cos<0而错选A.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.(2016·潍坊高二检测)若复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于________.

【解析】复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a-1+2，解得a=2.

答案：2

7.(2016·武汉高二检测)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.

【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理.

【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应点的坐标为(-2,3),对应的复数为z2=-2+3i.

答案:-2+3i

8.已知△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为________.

【解析】因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2), =(-2,-3).

又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),

所以对应的复数为-1-5i.

答案:-1-5i

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2016·郑州高二检测)在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,求向量+,对应的复数及A,B两点之间的距离.

【解析】因为复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,所以=(-3,-1),=(5,1),所以+=(-3,-1)+(5,1)=(2,0),所以向量+对应的复数是2,又=-=(-3,-1)-(5,1)=(-8,-2),所以对应的复数是-8-2i,A,B两点之间的距离为||==2.

10.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是:

(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.

(4)对应点在x轴上方.

(5)对应点在直线x+y+5=0上.

【解析】(1)由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.故当m=5或m=-3时,z为实数.

(2)由m2-2m-15≠0,得m≠5且m≠-3.故当m≠5且m≠-3时,z为虚数.

(3)由得m=-2.

故当m=-2时,z为纯虚数.

(4)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5.故当m<-3或m>5时,z的对应点在x轴上方.

(5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,

得m=或m=.

故当m=或m=时,z的对应点在直线x+y+5=0上.

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2016·太原高二检测)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是　(　　)

A.4+8i    B.8+2i

C.2+4i    D.4+i

【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标,再利用中点坐标公式求出C点,再把点的坐标还原为复数.

【解析】选C.因为复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,所以A(6,5),B(-2,3),又C为线段AB的中点,所以C(2,4),所以点C对应的复数是2+4i.

【补偿训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x对称,则点Z3对应的复数为z=________.

【解析】Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2),

所以z=3+2i.

答案:3+2i

2.(2016·福州高二检测)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为　(　　)

A.1    B.2   C.    D.3

【解题指南】根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离.

【解析】选D.因为|z|=2,则复数z对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,

而|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,

所以其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离,最大的距离为3.

【补偿训练】已知f(z)=|1+z|-z且f(-z)=10+3i,则复数z为________.

【解析】设z=x+yi(x,y∈R),

则f(-z)=|1-x-yi|+(x+yi)=10+3i,

所以

所以所以z=5+3i.

答案:5+3i

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=--i,z4=-i,z1,z2,z3,z4在复平面内的对应点分别是A,B,C,D,则∠ABC+∠ADC=________.

【解析】|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=,

所以点A,B,C,D应在以原点为圆心,为半径的圆上,由于圆内接四边形ABCD对角互补,所以∠ABC+∠ADC=180°.

答案:180°

【误区警示】注意|z|=a(a>0)z=±a.

4.(2016·南宁高二检测)复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是________.

【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第二象限,

所以解得-1<a<2.

由条件得|z|==

==,

因为-1<a<2,所以|z|∈.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.(2016·广州高二检测)实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点

(1)位于第四象限.

(2)位于第一、三象限.

【解析】(1)⇒⇒

-2<m<3或5<m<7.

(2)(m2-8m+15)(m2-5m-14)>0

⇒(m-3)(m-5)(m+2)(m-7)>0,

得m<-2或3<m<5或m>7.

【延伸探究】若结论改为复数z对应的点位于直线x-2y+16=0上,则结果如何?

【解析】由复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i对应的点在直线x-2y+16=0上可得m2-8m+15-2(m2-5m-14)+16=0⇒m=1±2.

【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.

【解析】因为|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,

所以>|x2+a|对x∈R恒成立,等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.

不等式等价于①:解得a=,

所以a=时,0·x2+>0恒成立.

或②:

解得-1<a<.

所以a∈.

综上,可得实数a的取值范围是

.

6.(2016·合肥高二检测)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.

【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标,再利用向量共线的条件求出a的值.

【解析】因为对应的复数为-3+4i,

对应的复数为2a+i,

所以=(-3,4),=(2a,1).

因为与共线,所以存在实数k使=k,

即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),

所以所以

即a的值为-.

【补偿训练】已知虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,求的取值范围.

【解题指南】由模的定义得到关于x与y的等式,即动点(x,y)的轨迹;再由=的几何意义表示动点(x,y)与(0,0)所在直线的斜率,作出草图,求出范围.

【解析】由(x-2)+yi是虚数,得y≠0,

又由|(x-2)+yi|=,得(x-2)2+y2=3.这是以(2,0)为圆心,为半径的圆(除去(2±,0)).

过O点作圆的切线OP,OQ,则斜率的最大值为=tan∠AOP=,=

tan∠AOQ=-.所以的取值范围是.

【方法技巧】常见复数模的几何意义

复数的模在复平面内对应的常见图形为:

(1)以z0为圆心,r为半径的圆:|z-z0|=r.

(2)线段z1z2的中垂线|z-z1|=|z-z2|.

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