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    人教版高数选修1-2第6讲:数系的扩充与复数的概念(教师版) 教案
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    数学选修1-23.1数系的扩充和复数的概念教案

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    这是一份数学选修1-23.1数系的扩充和复数的概念教案,共8页。

    数系的扩充与复数的概念

    1.了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数的单位i

    2.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念

    3理解复平面、实轴、虚轴等概念.

    4理解并掌握复数的几何意义,并能简单应用.

    5理解并会求复数的模了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系.

    复数的概念及代数表示

    (1)复数的定义:

    把集合C={a+bi|a,b∈R|}中的数即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.其中i叫做虚数单位满足i2-1

    (2)复数的代数形式:

    复数通常用字母z表示即z=a+bi(a,b∈R)这一表示形式叫做复数的代数形式,a与b分别叫做复数z的实部虚部

    (3)复数集

    全体复数所构成的集合叫做复数集.记作C={a+bi|ab∈R}

    两个复数相等的充要条件

    (1)在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)规定a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d

    (2)当两个复数不全是实数时不能比较大小只可判定相等或不相等但两个复数都是实数时可以比较大小.

    复数的分类

    (1)复数a+bi

    (a,b∈R)

    (2)集合表示:

    复平面、实轴、虚轴

    点Z的横坐标是a纵坐标是b复数z=a+bi(a,b∈R)可用点Z(ab)表示这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数.对于虚轴上的点要除原点外因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z0+0i=0表示是实数.故除了原点外虚轴上的点都表示纯虚数

    复数的几何意义

    复数的模

    向量的模叫做复数z=a+bi的模记作|z|或|a+bi|且|z|=

     

    类型一.复数的概念

    例1:请说出复数的实部和虚部,有没有纯虚数?

    解析:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.其中i叫做虚数单位满足i2-1

    答案:它们都是虚数,它们的实部分别是2,-30,-;虚部分别是3,-,-;i是纯虚数.

     

    练习1:复数-2i+3.14的实部和虚部是什么?

    答案:实部是3.14,虚部是-2.

     

    练习2:实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m1)i:

    (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

    解析:因为mR,所以m+1m1都是实数,由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.

    答案:(1)m1=0,即m=1时,复数z是实数;[

    (2)m10,即m1时,复数z是虚数;

    (3)m+1=0,且m10时,即m=1时,复数z是纯虚数.

     

    类型二.复数相等的条件

    2已知(2x1)+i=y(3y)i,其中xyR,求xy.

     

    解析:两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)规定a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d

     

    答案:根据复数相等的定义,得方程组,所以x=y=4

     

    练习1满足方程x22x3+(9y26y+1)i=0的实数对(xy)表示的点的个数是______.

     

    解析:由题意知

    ∴点对有(3)(1)共有2.

    答案:2

     

    类型三.复数的分类

    例3:设复数z=log2(m23m3)+ilog2(3m)(mR),如果z是纯虚数,求m的值.

    解析:由题意知

    ,∴m=1.

     

    答案:m=1

     

    练习1:已知mR,复数z=+(m2+2m3)i,当m为何值时,

    (1)zR; (2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i.

     

    答案:(1)m须满足解之得:m=3.

    (2)m须满足m2+2m30m10,解之得:m1m≠-3.

    (3)m须满足解之得:m=0m=2.

    (4)m须满足解之得:m

     

    类型四.复数的几何意义

    例4:复数35i1i和-2ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为________________

    解析:复数35i,1i和-2ai在复平面内对应的点分别为(3,-5)(1,-1)(2a),所以由三点共线的条件可得.解得a5.

    答案:a5

    练习1:实数m分别取什么数值时,复数z(m25m6)(m22m15)i是:

    (1)对应点在x轴上方;

    (2)对应点在直线xy50上.

    答案(1)m22m15>0,得知m<3m>5时,z的对应点在x轴上方;

    (2)(m25m6)(m22m15)50,得知:

    mm

    z的对应点在直线xy50上.

    类型五.复数的模

    例5:已知复数z0abi(abR),z=(a+3)+(b-2)i,若|z0|=2,求复数z对应点的轨迹.

    解析:zxyi(xyR),则复数z的对应点为P(xy),由题意知

    z0abi,|z0|=2,a2b2=4.

    代入得(x-3)2+(y+2)2=4.

    P的轨迹是以(3,-2)为圆心,2为半径的圆.

    答案:P的轨迹是以(3,-2)为圆心,2为半径的圆.

     

    1.若复数2-bi(bR)的实部与虚部互为相反数,则b的值为(  )

    A.-2 B.1 C.-1 D.2

    解析:复数2-bi的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),所以b=2.

    答案:D

    2.设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则(  )

    A.MR=I B.(IM)R=I

    C.(IM)R=R D.M(IR)=

    解析:根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断.依题意,I,R,M三个集合之间的关系如下图所示.

    所以应有:MRI,( IM)R=IM,M(IR),

    故A,B,D三项均错,只有C项正确.

    答案:C

     

    3.若复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则点(x,y)的轨迹是(  )

    A.以原点为圆心,以2为半径的圆

    B.两个点,其坐标为(2,2),(-2,-2)

    C.以原点为圆心,以2为半径的圆和过原点的一条直线

    D.以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(),(-,-)[来源:学科网

    解析:因为复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,

    x2+y2-4=0

    即x2+y2=4且xy.

    故点(x,y)的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(),(-,-)

    答案:D

     

    4.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(mR)是正实数,则实数m的值为(  )

    A.-2 B.3 C.-3 D.±3

    解析:依题意应有解得m=3.

    答案:B

    5.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(  )

    A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i

    解析:复数6+5i对应A点坐标为(6,5),-2+3i对应B点坐标为(-2,3).由中点坐标公式知C点坐标为(2,4),

    所以点C对应的复数为2+4i.故选C.

    答案:C

    6.已知0<a<2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是(  )

    A.(1,) B.(1,) C.(1,3) D.(1,5)

    解析:|z|=

    0<a<2,0<a2<4,1<|z|<,

    即1<|z|<.故选B.

    答案:B

     

    7.(2014·重庆卷)复平面内表示复数i(12i)的点位于(  )

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    答案:A

    8.【2015高考北京,理1】复数  

    A B C D

    答案:A

    9.【2015高考上海,理15,则“中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的(  )

    A.充分非必要条件  B.必要非充分条件

    C.充要条件  D.既非充分又非必要条件

    答案:

     

    10已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中aR,z1>z2,则a的值为____________.

    解析:由z1>z2,

    2a2+3a=0,a2+a=0

    解得a=0.

    答案:0

     

    11.已知复数z1=x+yi,z2=x+(x-3y)i,x,yR.若z1=z2,且|z1|=,则z1=____________.

    解析:因为z1=z2,所以y=x-3y,即x=4y.

    又|z1|=,即17y2=17,

    解得y=1,x=4或y=-1,x=-4,

    所以z1=4+i或z1=-4-i.

    答案:4+i或-4-i

     

     

     

    _________________________________________________________________________________

    _________________________________________________________________________________

    基础巩固

    1.若(x+y)i=x-1(x,yR),则2x+y的值为(  )

    A. B.2 C.0 D.1

    解析:由复数相等的充要条件知,

    x+y=0,x-1=0

    x+y=0.2x+y=20=1.

    答案:D

    2.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且MN={3},则实数m的值为(  )

    A.4 B.-1 C.-1或4 D.-1或6

    解析:由于MN={3},故3M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,

    所以得m=-1.

    答案:B

    3.给出下列复数:-2i,3+,8i2,isinπ,4+i;其中表示实数的有(填上序号) ____________.

    解析:为实数;8i2=-8为实数;i·sinπ=0·i=0为实数,其余为虚数.

    答案:②③④

    4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为(  )

    A.z=-2-i B.z=2-3i C.z=3+2i D.z=-3-2i

    解析:A中|z|=<3;B中对应点(2,-3)在第四象限;C中对应点(3,2)在第一象限;D中对应点(-3,-2)在第三象限,|z|=>3.

    答案:D

    5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为(  )

    A.一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆

    解析:|z|2-2|z|-3=0,

    (|z|-3)(|z|+1)=0,

    |z|=3,表示一个圆,故选A.答案:A

    6.已知在ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.

    解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,

    所以=(-1,2),=(-2,-3).又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),

    所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i

    7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点,

    (1)在虚轴上,求复数z;

    (2)在实轴负半轴上,求复数z.

    答案:(1)若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,

    所以m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.

    (2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0,m2-m-2<0,m=1

    能力提升

    8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.

    解析:z为虚数,m-sinθ-cosθ≠0,即msinθ+cosθ.

    sinθ+cosθ[-,],

    m(-,-)(,+).答案:(-,-)(,+)

    9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(aR)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.

    解析:若复数为纯虚数,则有a2-a-2=0,|a-1|-10

    a=-1.故复数不是纯虚数时a-1.

    答案:{a|a-1}

    10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________.

    解析:依题意知Z点在第二象限且在直线y=-x上,

    设z=-a+ai(a>0).

    |z|=1,a2=.而a>0,a=.z=答案:z=

    11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________.解析:设z=a+bi(a,bR),

    则|z|=,代入方程得,a+bi+=2+8i,解得a=-15z=-15+8i.答案:-15+8i

    12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若MP=P,求实数m的值.

    解析:MP=P,MP,

    (m2-2m)+(m2+m-2)i=-1(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,

    得解得m=1;(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,解得m=2.综上可知m=1m=2.答案:m=1m=2

    13.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θR),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线.解析:设复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i对应的点为Z(x,y),

    x=2+cosθ,y=1+sinθcosθ=x-2,sinθ=y-1所以(x-2)2+(y-1)2=1.

    所以复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.

    答案:复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.

     

    14(20142015·山东鱼台一中高二期中)已知复数zm(m1)(m22m3)i(mR)

    (1)z是实数,求m的值;

    (2)z是纯虚数,求m的值;

    (3)若在复平面C内,z所对应的点在第四象限,求m的取值范围.

    答案: (1)z为实数,m22m30,解得m=-3m1.

    (2)z为纯虚数,解得m0.

    (3)z所对应的点在第四象限,

    解得-3<m<0.

     

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