人教版新课标A选修1-23.1数系的扩充和复数的概念练习题

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课时提升作业(九)

复数的几何意义

(25分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.(2014·重庆高考)实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(　　)

A.第一象限       B.第二象限

C.第三象限       D.第四象限

【解题指南】根据复数的几何意义直接写出复数对应复平面内点的坐标进行判断.

【解析】选B.实部为-2，虚部为1的复数所对应的复平面内的点为(-2，1)，位于第二象限，故选B.

【补偿训练】(2015·郑州高二检测)已知a∈R,且0<a<1,i为虚数单位,则复数z=a+(a-1)i在复平面内所对应的点位于　(　　)

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

【解析】选D.因为0<a<1,所以a>0且a-1<0,故复数z=a+(a-1)i在复平面内所对应的点(a,a-1)位于第四象限.故选D.

2.(2015·大连高二检测)若复数z=(a2-3a+2)+(a2-4)i对应的点在虚轴上(不包含原点),则实数a的值等于　(　　)

A.1   B.2   C.1或2   D.±2

【解析】选A.复数z对应的点的坐标是(a2-3a+2,a2-4),依题意应有解得a=1,即实数a的值等于1.

3.已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,则实数x的取值范围是　(　　)

A.-<x<2    B.x<2

C.x>-     D.x<-或x>2

【解析】选A.依题意应有<,即5x2-6x+2<10,解得-<x<2,故选A.

【补偿训练】1.使|lox-4i|≥|3+4i|成立的x的取值范围是(　　)

A.        B.(0，1]∪[8，+∞)

C.∪[8，+∞)     D.(0，1)∪(8，+∞)

【解析】选C.因为|lox-4i|≥|3+4i|==5，

所以(lox)2+42≥25，所以≥9，

所以lox≥3或lox≤-3，所以0<x≤或x≥8.

2.已知i为虚数单位，z1=a+i，z2=2-i，且|z1|=|z2|，求实数a的值.

【解析】因为a为实数，

所以|z1|=，|z2|==，

因为|z1|=|z2|，

所以=.

所以a2=4，所以a=±2

4.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(　　)

A.4+8i   B.8+2i   C.2+4i   D.4+i

【解析】选C.复数6+5i对应A点坐标为(6,5),-2+3i对应B点坐标为(-2,3).由中点坐标公式知C点坐标为(2,4),所以点C对应的复数为2+4i.故选C.

5.在复平面内,O为原点,若向量对应的复数z的实部为3,且||=3,如果点A关于原点的对称点为点B,则向量对应的复数为　(　　)

A.-3   B.3   C.3i   D.-3i

【解析】选A.根据题意设复数z=3+bi,由复数与复平面内的点、向量的对应关系得=(3,b),

已知||=3,即=3,解得b=0,故z=3,

点A的坐标为(3,0).

因此,点A关于原点的对称点为B(-3,0),所以向量对应的复数为z'=-3.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.复数z=-5-12i在复平面内对应的点到原点的距离为　　　　.

【解析】由题意知||=|z|==13.

答案:13

【补偿训练】(2015·武汉高二检测)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2-3i，则z2=　　　　.

【解析】z1在复平面上的对应点为(2，-3)，关于原点的对称点为(-2，3)，故z2=-2+3i.

答案：-2+3i

7.设z为纯虚数，且|z-1|=|-1+i|，则复数z=　　　.

【解题指南】设z=ai(a∈R，且a≠0)，利用模长公式来求解.

【解析】因为z为纯虚数，

所以设z=ai(a∈R，且a≠0)，

则|z-1|=|ai-1|=.

又因为|-1+i|=，所以=，即a2=1，

所以a=±1，即z=±i.

答案：±i

8.已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内的对应点在第三象限,则实数x的取值范围是　　　　.

【解析】由已知,得解得1<x<2.

答案:(1,2)

【补偿训练】i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=　　　　.

【解题指南】利用复数的几何意义求解.

【解析】根据复数的几何意义,z1=2-3i与z2=-2+3i关于原点对称.

答案:-2+3i

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?

(1)|z|=2.(2)|z|≤3.

【解题指南】利用复数模的计算公式转化为实际x,y满足的条件来求解.

【解析】(1)|z|=2,表明向量的模(长度)等于2,即点Z到原点的距离等于2,因此满足|z|=2的点Z的集合是以原点O为圆心,以2为半径的圆.

(2)满足条件|z|≤3的点Z的集合是以原点为圆心,以3为半径的圆及其内部.

【一题多解】本题还可用下面的解法

设z=x+yi(x,y∈R)

(1)由|z|=2,得=2,所以x2+y2=4,

所以点Z的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆.

(2)由|z|≤3,得≤3,所以x2+y2≤9,

所以点Z的集合是以原点为圆心,以3为半径的圆及其内部.

【补偿训练】已知z1=x2+i，z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立，求实数a的取值范围.

【解题指南】根据复数的代数形式求模后，转化为含参数的二次不等式来求解.

【解析】因为|z1|=，|z2|=|x2+a|，且|z1|>|z2|，

所以>|x2+a|⇔(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.

不等式等价于①：1-2a=0⇒a=，

即a=时，0·x2+>0恒成立.

或②：⇒-1<a<.

所以a∈.

因此实数a的取值范围是.

10.实数m分别取什么数时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.

(1)对应的点在第三象限?

(2)对应的点在直线x+y+4=0?

【解析】z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.因为m∈R,所以z的实部为m2+5m+6,虚部为m2-2m-15.

(1)要使z对应的点在第三象限,必有⇒

所以-3<m<-2.

(2)要使z对应的点在直线x+y+4=0上,必有点(m2+5m+6,m2-2m-15)满足方程x+y+4=0,所以(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,解得m=-或m=1.

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论中正确的是　(　　)

A.z对应的点在第一象限    B.z一定不是纯虚数

C.z对应的点在实轴上方    D.z一定是实数

【解析】选C.因为2t2+5t-3=(t+3)(2t-1)的值可正、可负、可为0,t2+2t+2=

(t+1)2+1≥1,所以排除A,B,D.故选C.

2.下列命题中的假命题是(　　)

A.复数的模是非负实数

B.复数等于零的充要条件是它的模等于零

C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件

D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|

【解析】选D.①任意复数z=a+bi(a，b∈R)的模|z|=≥0总成立.所以A为真；

②由复数相等的条件z=0⇔⇔|z|=0，故B为真；

③若z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R).

若z1=z2，则有a1=a2，b1=b2，

所以|z1|=|z2|，

反之由|z1|=|z2|，推不出z1=z2，

如z1=1+3i，z2=1-3i时|z1|=|z2|，故C为真；

④不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，所以D为假命题.故选D.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.复数z=sin40°+isin230°的模等于　　　　.

【解析】|z|=

===1.

答案:1

4.若复数z1=3-5i,z2=1-i,z3=-2+ai在复平面内所对应的点在同一条直线上,则实数a=　　　　　.

【解题指南】根据三个复数对应的点共线,可得到任两点连线的斜率相等,建立方程可求a的值.

【解析】设复数z1,z2,z3分别对应点P1(3,-5),

P2(1,-1),P3(-2,a),

由已知可得=,从而可得a=5.

答案:5

三、解答题(每小题10分，共20分)

5.实数k为何值时,复数z=k2-3k-4+(k2-5k-6)i对应的点位于:(1)x轴正半轴上?(2)y轴负半轴上?(3)第四象限的角平分线上?

【解题指南】先确定复数的实部与虚部,并求出复数z的对应点,再进行计算.

【解析】因为k为实数,所以k2-3k-4,k2-5k-6都为实数,所以复数z=k2-3k-4+(k2-5k-6)i的对应点Z的坐标为(k2-3k-4,k2-5k-6).

(1)若对应点位于x轴正半轴上,

则解得k=6.

(2)若对应点位于y轴负半轴上,

则解得k=4.

(3)若对应点位于第四象限的角平分线上,

又第四象限的角平分线的方程为y=-x(x>0),

所以解得k=5.

【补偿训练】已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围).

(1)在实轴上.

(2)在第三象限.

(3)在抛物线y2=4x上.

【解析】复数z=(a2-1)+(2a-1)i在复平面内对应的点是(a2-1，2a-1).

(1)若z对应的点在实轴上，则有2a-1=0，解得a=.

(2)若z对应的点在第三象限，则有解得-1<a<.

(3)若z对应的点在抛物线y2=4x上，则有(2a-1)2=4(a2-1)，即4a2-4a+1=4a2-4，解得a=.

6.复数i，1，4+2i分别对应平面上A，B，C三点，另取一点D作平行四边形ABCD，求BD的长.

【解析】由题意得向量对应的复数为1-i，设D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，则=(4-x，2-y)，由=，

得解得

所以D对应的复数为3+3i，

所以=(2，3)，则||=，即BD的长为.

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