数学第二章 推理与证明综合与测试一课一练

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考前过关训练(二)

推理与证明

(30分钟　50分)

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.若有一段演绎推理:“大前提:对任意实数a,都有=a.小前提:已知a=-2为实数,结论:=-2.这个结论显然是错误的,这是因为　(　　)

A.大前提错误   B.小前提错误

C.推理形式错误   D.非以上错误

【解析】选A.因为n为偶数时,若有意义,则a≥0.故大前提错误.

2.(2016·济宁高二检测)如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是　(　　)

A.P(n)对n∈N*成立   B.P(n)对n>4且n∈N*成立

C.P(n)对n=5成立   D.P(n)对n=3不成立

【解析】选D.因为P(n)对n=4不成立,所以A错误.无法判断n>4时,P(n)是否成立.

假设P(n)对n=3成立,则根据推理关系,得P(n)对n=4成立,与条件P(n)对n=4不成立矛盾.

所以假设不成立.

3.证明命题:“f(x)=ex+在(0,+∞)上是增函数”,现给出的证法如下:

因为f(x)=ex+,所以f′(x)=ex-.

这因为x>0,所以ex>1,0<<1,所以ex->0,即f′(x)>0,

所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,此处使用的证明方法是　(　　)

A.综合法    B.分析法

C.反证法    D.以上都不是

【解析】选A.本证明是从已知条件出发用已知定理证得结论,是综合法.

4.已知c>1,a=-,b=-,则正确的结论是　(　　)

A.a>b    B.a<b

C.a=b    D.a,b大小不确定

【解析】选B.因为c>1,所以a>0,b>0,

又a=-=,

b=-=,

因为+>+

所以<

所以a<b正确.

5.(2016·北京高考)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.

在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则　(　　)

A.2号学生进入30秒跳绳决赛

B.5号学生进入30秒跳绳决赛

C.8号选手进入30秒跳绳决赛

D.9号选手进入30秒跳绳决赛

【解题指南】从进入立定跳远决赛的8人中,按知道的成绩由小到大找出哪几个人必进入决赛.

【解析】选B.进入立定跳远决赛的学生是1到8号.由同时进入两项决赛的有6人可知,1号到8号恰有6人进入30秒跳绳决赛.在1号到8号的30秒跳绳决赛成绩中,3,6,7号学生的成绩高于1,4,5号学生,1号和5号成绩相同,所以1,3,5,6,7号学生必进入30秒跳绳决赛.

6.(2016·榆林高二检测)对非零实数x,y,z,定义运算“⊕”满足:(1)x⊕x=1;(2)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)·z,若f(x)=e2x⊕ex-ex⊕e2x,则下列判断正确的是　(　　)

A.f(x)是增函数又是奇函数

B.f(x)是减函数又是奇函数

C.f(x)是增函数又是偶函数

D.f(x)是减函数又是偶函数

【解析】选A.在(2)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)·z中,令x=y=z,得x⊕(x⊕x)=(x⊕x)·x,再由(1)x⊕x=1,得x⊕1=x;在(2)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)·z中,令z=y,得x⊕(y⊕y)=(x⊕y)·y,从而(x⊕y)·y=x⊕1=x,所以x⊕y=,所以f(x)=e2x⊕ex-ex⊕e2x=ex-e-x,故f(x)既是增函数又是奇函数.

二、填空题(每小题4分,共12分)

7.已知椭圆中有下列结论:椭圆+=1(a>b>0)上斜率为1的弦的中点在直线+=0上,类比上述结论可推出:双曲线-=1(a>0,b>0)上斜率为1的弦中点在直线________上.

【解析】结合椭圆、双曲线方程结构特征可知,斜率为1的弦中点应在直线-=0上.

答案:-=0

8.对奇数列1,3,5,7,9,…,进行如下分组:第一组含一个数{1};第二组含两个数{3,5};第三组含三个数{7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19};…试观察猜想每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为____________.

【解析】由于1=13,3+5=8=23,7+9+11=27=33,13+15+17+19=64=43,…,猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)=n3.

答案:f(n)=n3

9.(2016·天津高二检测)如图所示是一个有n层(n≥2,n∈N*)的六边形点阵,它的中心是一个点,算作第1层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,…,第n层每边有n个点,则这个点阵共有________个点.

【解析】设第n层共有an个点,结合图形可知a1=1,a2=6,…,an+1=an+6(n≥2,

n∈N*),则an=6+(n-2)×6=6n-6(n≥2,n∈N*),前n层所有点数之和为Sn=1+=3n2-3n+1,故这个点阵共有3n2-3n+1个点.

答案:3n2-3n+1

三、解答题(每小题10分,共20分)

10.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0.

【证明】假设a,b,c中至少有一个不大于0,不妨设a≤0,若a<0,则由abc>0,得bc<0,由a+b+c>0得,b+c>-a>0,

所以ab+bc+ac=a(b+c)+bc<0,这与已知ab+bc+ac>0矛盾.

又若a=0,则abc=0与abc>0矛盾.

“a≤0”不成立,所以a>0,同理可证b>0,c>0.

11.(2016·安庆高二检测)设f(x)=,g(x)=(其中a>0,且a≠1).

(1)5=2+3请你推测g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示.

(2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.

【解析】(1)由f(3)g(2)+g(3)f(2)=·+·=,

又g(5)=,

因此g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).

(2)由g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),

即g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2),

于是推测g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).

证明:因为f(x)=,g(x)=(大前提).

所以g(x+y)=,g(y)=,

f(y)=,(小前提及结论)

所以f(x)g(y)+g(x)f(y)=·+·==g(x+y).

【补偿训练】1.如图(1),在三角形ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC,则AB2=BD·BC;

若类比该命题,如图(2),三棱锥A-BCD中, AD⊥面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有什么结论?命题是否是真命题.

　　　　              图(1)　　　　　　  图(2)

【解析】命题是:三棱锥A-BCD中,AD⊥面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有=S△BCM·S△BCD,是一个真命题.

证明如下:

在图中,连接DM,并延长交BC于点E,连接AE,BM,CM,则有DE⊥BC.

因为AD⊥平面ABC,所以AD⊥AE.

又AM⊥DE,

所以AE2=EM·ED.

于是=

=·=S△BCM·S△BCD.

2.(2016·肥城高二检测)已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an).试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)的值.

【解析】因为an=,

f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),

所以f(1)=1-a1=1-=,

f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)·=×=,

f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=f(2)=×=,

由此猜测f(n)=.

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