高中数学人教版新课标A选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计.课文内容ppt课件

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计.课文内容ppt课件，共46页。PPT课件主要包含了自主学习新知突破，不重不漏，步骤完整，合作探究课堂互动，组数问题，种植与涂色问题，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

1．进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理．2．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题．
现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组，若推选两人做小组组长，这两人需来自不同的班级．[问题]　有多少种不同的选法？
[提示]　分六类，每类又分两步，从一班、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
两个计数原理在解决计数问题中的方法
1．分类要做到“____________”，分类后再对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．2．分步要做到“________”——完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
应用两个计数原理应注意的问题
两个计数原理的使用方法(1)合理分类，准确分步处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，接下来要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)．也就是要确定一个合理的分类标准．分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性．
(2)特殊优先，一般在后解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想． (3)分类讨论，数形结合，转化与化归分类讨论就是把一个复杂的问题，通过正确划分，转化为若干个小问题予以击破，这是解决计数问题的基本思想．数形结合，转化与化归也是化难为易，化抽象为具体，化陌生为熟悉，化未知为已知的重要思想方法，对解决计数问题至关重要．
解析：　由分步乘法计数原理得5×5×5×5×5×5＝56.答案：　A
2．(2015·郑州高二检测)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)A．30种B．35种C．42种D．48种
解析：　选3门课程，要求A，B两类至少各选1门，可分为两种情况，一类是A类选修2门，B类选修1门，共有3×4＝12种选法；另一类是A类选修1门，B类选修2门，共有3×6＝18种选法．根据分类加法计数原理可得符合条件的选法共有12＋18＝30(种)．答案：　A
3．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示五个盒子中．要求每个盒子只能放一个小球，且A不能放1,2号，B必须放在与A相邻的盒子中．则不同的放法有________．
解析：　以小球A放的盒为分类标准，共分为三类：第一类，当小球放在4号盒内时，不同的放法有3×2×1＝6(种)；第二类，当小球放在3号盒内时，不同的放法有3×3×2×1＝18(种)；第三类，当小球放在5号盒内时，不同的放法有3×2×1＝6(种)．综上所述，不同的放法有6＋18＋6＝30(种)．答案：　30种
4．由数字1,2,3,4(1)可组成多少个3位数；(2)可组成多少个没有重复数字的3位数；(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字．
解析：　(1)百位数共有4种选法；十位数共有4种选法；个位数共有4种选法，根据分步乘法计数原理知共可组成43＝64个3位数．(2)百位上共有4种选法；十位上共有3种选法；个位上共有2种选法，由分步乘法计数原理知共可组成没有重复数字的3位数4×3×2＝24(个)．(3)组成的三位数分别是432,431,421,321共4个.
有0,1,2，…8这9个数字．(1)用这9个数字组成四位数，共有多少个不同的四位数？(2)用这9个数字组成四位的密码，共有多少个不同的密码？[思路点拨]　四位密码的首位可为0，四位数的首位不能为0.
　(1)题中未强调四位数的各位数字不重复，故只需强调首位不为0，依次确定千、百、十、个位，各有8,9,9,9种方法．所以共能组成8×93＝5 832个不同的四位数．(2)与(1)的区别在于首位可为0.所以共能组成94＝6 561个不同的四位密码．
[规律方法]　对于组数问题的计数：一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，每类中再分步来计数；但当分类较多时，可用间接法先求出总数，再减去不符合条件的数去计数．
1．(1)用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的①四位密码？②四位数？(2)从1到200的这200个自然数中，每个位数上都不含数字8的共有多少个？
解析：　(1)①完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120个．
②完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96个．
(2)本题应分3类来解决：第1类，一位数中，除8以外符合要求的数有8个；第2类，两位数中，十位数除0,8以外有8种选法，而个位数除8以外有9种选法，故两位数中符合要求的数有8×9＝72个；第3类，三位数中，①百位数为1，十位数和个位数上的数字除8以外都有9种选法，故三位数中，百位数为1的符合要求的数有9×9＝81个；
②百位数为2的数只有200这一个符合要求．故三位数中符合要求的数有81＋1＝82个．由分类加法计数原理知，符合要求的数字共有8＋72＋82＝162个．
用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色．
(1)若n＝6，则为甲图着色时共有多少种不同的方法；(2)若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.
解析：　(1)对区域A，B，C，D按顺序着色，为A着色有6种方法，为B着色有5种方法，为C着色有4种方法，为D着色有4种方法，由分步乘法计数原理，共有着色方法6×5×4×4＝480(种)．(2)对区域A，B，C，D按顺序着色，为A着色有n种方法，为B着色有n－1种方法，为C着色有n－2种方法，为D着色有n－3种方法，
利用分步乘法计数原理，不同的着色方法数是：n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，解得(n2－3n)(n2－3n＋2)＝120.即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－120＝0.∴(n2－3n－10)(n2－3n＋12)＝0.∴n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(舍去)，解得n＝5或n＝－2(舍去)，故n＝5.
[规律方法]　本题是一个涂色问题，是计数问题中的一个难点．求解时要注意以下两点：一要考察全面；二要注意策略．如上述解法把A，D作为讨论区域，求解时优先考察这两个区域．
2.如图有4个编号为1、2、3、4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻(有公共边界)的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？
解析：　分为两类：第一类：若1、3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法(与1相同)，4有4种涂法．故N1＝5×4×1×4＝80种．第二类：若1、3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法．故N2＝5×4×3×3＝180种．综上可知不同的涂法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260种．
两个计数原理的综合应用
假设在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ [思路点拨]　因有两人既会下象棋又会下围棋，在选两人时要分类讨论．
[规律方法]　应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是分清“分类”与“分步”．使用分类加法计数原理时必须做到不重不漏，各类的每一种方法都能独立完成；使用分步乘法计数原理时分步必须做到各步均是完成事件必须的、缺一不可的步骤．
3．(1)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数个数是多少？(2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＞a2且a3＞a2，则称这样的三位数为凹数(如102,323,756等)，那么所有凹数个数是多少？
解析：　(1)分8类：当中间数为2时，百位只能选1，个位可选1、0，由分步乘法计数原理，有1×2＝2个；当中间数为3时，百位可选1、2，个位可选0、1、2，由分步乘法计数原理，有2×3＝6个；同理可得：当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个；故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个．
(2)分8类：当中间数为0时，百位可选1～9，个位可选1～9，由分步乘法计数原理，有9×9＝81个；当中间数为1时，百位可选2～9，个位可选2～9，由分步乘法计数原理，有8×8＝64个；同理可得：当中间数为2时，有7×7＝49个；当中间数为3时，有6×6＝36个；当中间数为4时，有5×5＝25个；
当中间数为5时，有4×4＝16个；当中间数为6时，有3×3＝9个；当中间数为7时，有2×2＝4个；当中间数为8时，有1×1＝1个；故共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285个．
◎有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？
【错解】　第一步，种植A试验田有4种方法；第二步，种植B试验田有3种方法；第三步，种植C试验田有3种方法；第四步，种植D试验田有2种方法；由分步乘法计数原理知，共有N＝4×3×3×2＝72种种植方法． [提示]　　若按A，B，C，D的顺序依次种植作物，会导致D试验田的种植数受C试验田的影响，情况复杂．实际上种植C，D两块试验田再作为一步，用分类加法计数原理求解．
【正解】　方法一：第一步，第二步与错解相同．第三步，若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此时有1×3＝3种种植方法．若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D也有2种种植方法，共有2×2＝4种种植方法．由分类加法计数原理知，有3＋4＝7种方法．第四步，由分步乘法计数原理有N＝4×3×7＝84种不同的种植方法．
方法二：(1)若A，D种植同种作物，则A，D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×3＝36种种植方法．(2)若A，D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种种植方法．综上所述，由分类加法计数原理，共有N＝36＋48＝84种种植方法.