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高中数学人教版新课标A选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计.说课ppt课件
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1．能根据具体问题特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．2．能正确区分分类加法计数原理和分步乘法计数原理．本节重点：两个基本原理的应用．本节难点：正确区分分类和分步．加法原理的重点在一个“类”字，乘法原理的重点在一个“步”字，即“分类则加，分步则乘”．应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类办法是彼此独立的、并列的；应用乘法原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成．1．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要 还是需要 ．2．分类要做到 ，分类后再分别对每一类进行计数，最后用 求和，得到总数．3．分步要做到 ，步与步之间要 ，根据 ，把完成每一步的方法数相乘得到总数．分类分步不重不漏分类加法计数原理步骤完整相互独立分步乘法计数原理[例1] 书架的第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书．(1)从这些书中任取一本数学、一本语文、一本英语共三本书的不同取法有多少种？(2)从这些书中任取三本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？[解析] (1)完成这个工作可分三个步骤：第一步，从6本不同的数学书中，任取一本，有6种取法；第二步，从6本不同的语文书中，任取一本，有6种取法；第三步，从5本不同的英语书中，任取一本，有5种取法．根据分步计数原理，共有6×6×5＝180种不同取法．(2)本题实际上是从17本书中任取三本放在三个不同位置．完成这个工作分三个步骤：第一步，从17本书中任取一本放在第一个位置上，共有17种不同的方法；第二步，从16本书中任取一本放在第二个位置上，共有16种不同的方法；第三步，从15本书中任取一本放在第三个位置上，共有15种不同的方法．根据分步乘法计数原理，共有17×16×15＝4080种不同的排法．[点评] 本题是根据分步乘法计数原理解题，使用这个原理的关键是：依据题意把完成一件事恰当地分成若干个步骤．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有多少种不同的取法．[解析] 取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90(种)不同取法；取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72(种)不同取法；取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80(种)不同取法．综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90＋72＋80＝242(种)不同取法.[例2] x、y是满足1≤x≤4、2≤y≤7的整数，以(x，y)(x≤y)为坐标的点有多少个？[解析] 当x＝1或2时，2≤y≤7，以(x，y)(x≤y)为坐标的点各有6个．当x＝3时，3≤y≤7，有5个点；当x＝4时，4≤y≤7，有4个点．根据加法原理，满足条件的点共有：6＋6＋5＋4＝21(个)． 设x∈{0，－2,3,4}，y∈{5,6，－7,8}，则以(x，y)为坐标的点，在第一象限的有________个，在第二象限的有________个，在第三象限的有________个，在第四象限的有________个，在坐标轴上的有________个．[解析] 依据各个象限及坐标轴上点的符号特点解题．完成一个点需分两步，第一步确定x，第二步确定y.由乘法原理知答案依次为6；3；1；2；4.[例3] 由1,2,3,4可以组成多少个自然数(数字可以重复，最多只能是四位数)?[解析] 组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个；第二类：二位自然数，又可分为两步来完成，先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)；第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64(个)；第四类：四位自然数，又可分四步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4×4＝256(个)．由分类加法计数原理知，可以组成的不同的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)．[点评] (1)在同一题目中涉及到这两个定理时，必须搞清是先“分类”，还是先“分步”，“分类”和“分步”的标准又是什么．(2)该题是先分类，后分步，按自然数的位数“分类”，按组成数的过程“分步”．用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位奇数？[解析] 方法一：按末位是1,3,5分三类计数：第一类：末位是1，共有4×4×3＝48个；第二类，末位是3的共有3×4×3＝36个；第三类末位是5的共有3×4×3＝36个，由分类加法计数原理知共有48＋36＋36＝120(个)．方法二：符合条件的数有3×4×4×3－2×4×3＝120(个)．[例4] 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？[解析] 第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法．第二类：“多面手”去参加日语时，选出会英语的一人即可，有6种选法．第三类：他既不参加英语又不参加日语，则需从日语和英语中各选一人，有2×6＝12(种)方法．故共有2＋6＋2×6＝20(种)选法．[点评] 解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应用哪个原理来解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成一件事”的含义．具体应用时灵活性很大，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则是“化繁为简”．某文艺小组有20人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中14人会唱歌，10人会跳舞．从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种选法？[解析] 只会唱歌的有10人，只会跳舞的有6人，既会唱歌又会跳舞的有4人．这样就可以分成四类完成：第一类：从只会唱歌和只会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×6＝60(种)；第二类：从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×4＝40(种)；第三类：从只会跳舞和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得6×4＝24(种)；第四类：从既会唱歌又会跳舞的人中选2人，有6种方法．根据分类加法计数原理，得选出会唱歌与会跳舞的各1人的选法共有60＋40＋24＋6＝130(种)．[例5] 1260有多少个不同的正约数．[解析] 1260＝22×32×5×7,1260的约数的结构形成可表示为2a·3b·5c·7d，其中a＝0、1、2；b＝0、1、2；c＝0、1；d＝0、1，根据乘法原理有N＝3×3×2×2＝36(个)．[点评] 1260正约数的结构形式为2a·3b·5c·7d，故完成找1260的一个正约数这件事情，只有当含有2、3、5、7各几个都完成后，这个约数才算确定下来，如含1个2,2个3，不知5和7的情形．此约数就尚未确定．而含1个2,2个3,0个5,0个7，此时约数为21×32×50×70＝18.写出3 570的所有正偶数因数．[解析] 3 570＝2×3×5×7×17所有的正偶数因数为2；2×3,2×5,2×7,2×17；2×3×5,2×3×7,2×3×17；2×5×7,2×5×17；2×7×17；2×3×5×7,2×3×5×17；2×3×7×17；2×5×7×17；2×3×5×7×17.共16个正偶数因数．一、选择题1．一个礼堂有4个门，若从一个门进，从任一门出，共有不同走法( )A．8种 B．12种 C．16种 D．24种[答案] C[解析] 由分步乘法计数原理得共有不同走法种数为4×4＝16，故选C.2．在2、3、5、7、11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为( )A．20 B．10 C．5 D．24[答案] B[解析] 假分数的分子不小于分母．故以2为分母的有4个；以3为分母的有3个；以5为分母的有2个；以7为分母的只有1个．由加法原理知共有4＋3＋2＋1＝10个．3．有5列火车停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )A．78种 B．72种 C．120种 D．96种[答案] A[解析] 不考虑不能停靠的车道，5辆车共有5×4×3×2×1＝120(种)停法，A停在3道上的停法有4×3×2×1＝24(种)；B停在1道上的停法有4×3×2×1＝24(种)；A、B分别停在3道和1道的停法有3×2×1＝6(种)，故符合题意的停法有120－24－24＋6＝78(种)．二、填空题4．乒乓球队有男运动员7人，女运动员6人，从中选一人担任队长有________种方案；派出两人参加男、女混合双打比赛有________种选派方案．[答案] 13 425．在一块并排10垄的田地上，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有________种(结果用数字作答)．[答案] 6[解析] A种第1垄，B可种8、9、10垄有3种方法，A种第2垄，B可种9、10垄有2种方法，A种第3垄，B只能种第10垄，∴共有选垄方法3＋2＋1＝6种．[点评] 本题求的是“选垄方法”，而不是“种植方法”，若求不同种植方法，则A种第1垄，B种第8垄与A种第8垄，B种第1垄为不同方法，应有不同种植方法2×6＝12种．三、解答题6．现有高三四个班的学生共34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？[解析] (1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四班的学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种)．(3)分六类：每类又分两步，从一、二班的学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班的学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班的学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班的学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班的学生中各选1人，有8×10种不同的选法：从三、四班的学生中各选1人，有9×10种不同的选法；所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
1．能根据具体问题特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．2．能正确区分分类加法计数原理和分步乘法计数原理．本节重点：两个基本原理的应用．本节难点：正确区分分类和分步．加法原理的重点在一个“类”字，乘法原理的重点在一个“步”字，即“分类则加，分步则乘”．应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类办法是彼此独立的、并列的；应用乘法原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成．1．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要 还是需要 ．2．分类要做到 ，分类后再分别对每一类进行计数，最后用 求和，得到总数．3．分步要做到 ，步与步之间要 ，根据 ，把完成每一步的方法数相乘得到总数．分类分步不重不漏分类加法计数原理步骤完整相互独立分步乘法计数原理[例1] 书架的第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书．(1)从这些书中任取一本数学、一本语文、一本英语共三本书的不同取法有多少种？(2)从这些书中任取三本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？[解析] (1)完成这个工作可分三个步骤：第一步，从6本不同的数学书中，任取一本，有6种取法；第二步，从6本不同的语文书中，任取一本，有6种取法；第三步，从5本不同的英语书中，任取一本，有5种取法．根据分步计数原理，共有6×6×5＝180种不同取法．(2)本题实际上是从17本书中任取三本放在三个不同位置．完成这个工作分三个步骤：第一步，从17本书中任取一本放在第一个位置上，共有17种不同的方法；第二步，从16本书中任取一本放在第二个位置上，共有16种不同的方法；第三步，从15本书中任取一本放在第三个位置上，共有15种不同的方法．根据分步乘法计数原理，共有17×16×15＝4080种不同的排法．[点评] 本题是根据分步乘法计数原理解题，使用这个原理的关键是：依据题意把完成一件事恰当地分成若干个步骤．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有多少种不同的取法．[解析] 取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90(种)不同取法；取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72(种)不同取法；取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80(种)不同取法．综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90＋72＋80＝242(种)不同取法.[例2] x、y是满足1≤x≤4、2≤y≤7的整数，以(x，y)(x≤y)为坐标的点有多少个？[解析] 当x＝1或2时，2≤y≤7，以(x，y)(x≤y)为坐标的点各有6个．当x＝3时，3≤y≤7，有5个点；当x＝4时，4≤y≤7，有4个点．根据加法原理，满足条件的点共有：6＋6＋5＋4＝21(个)． 设x∈{0，－2,3,4}，y∈{5,6，－7,8}，则以(x，y)为坐标的点，在第一象限的有________个，在第二象限的有________个，在第三象限的有________个，在第四象限的有________个，在坐标轴上的有________个．[解析] 依据各个象限及坐标轴上点的符号特点解题．完成一个点需分两步，第一步确定x，第二步确定y.由乘法原理知答案依次为6；3；1；2；4.[例3] 由1,2,3,4可以组成多少个自然数(数字可以重复，最多只能是四位数)?[解析] 组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个；第二类：二位自然数，又可分为两步来完成，先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)；第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64(个)；第四类：四位自然数，又可分四步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4×4＝256(个)．由分类加法计数原理知，可以组成的不同的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)．[点评] (1)在同一题目中涉及到这两个定理时，必须搞清是先“分类”，还是先“分步”，“分类”和“分步”的标准又是什么．(2)该题是先分类，后分步，按自然数的位数“分类”，按组成数的过程“分步”．用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位奇数？[解析] 方法一：按末位是1,3,5分三类计数：第一类：末位是1，共有4×4×3＝48个；第二类，末位是3的共有3×4×3＝36个；第三类末位是5的共有3×4×3＝36个，由分类加法计数原理知共有48＋36＋36＝120(个)．方法二：符合条件的数有3×4×4×3－2×4×3＝120(个)．[例4] 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？[解析] 第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法．第二类：“多面手”去参加日语时，选出会英语的一人即可，有6种选法．第三类：他既不参加英语又不参加日语，则需从日语和英语中各选一人，有2×6＝12(种)方法．故共有2＋6＋2×6＝20(种)选法．[点评] 解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应用哪个原理来解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成一件事”的含义．具体应用时灵活性很大，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则是“化繁为简”．某文艺小组有20人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中14人会唱歌，10人会跳舞．从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种选法？[解析] 只会唱歌的有10人，只会跳舞的有6人，既会唱歌又会跳舞的有4人．这样就可以分成四类完成：第一类：从只会唱歌和只会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×6＝60(种)；第二类：从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×4＝40(种)；第三类：从只会跳舞和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得6×4＝24(种)；第四类：从既会唱歌又会跳舞的人中选2人，有6种方法．根据分类加法计数原理，得选出会唱歌与会跳舞的各1人的选法共有60＋40＋24＋6＝130(种)．[例5] 1260有多少个不同的正约数．[解析] 1260＝22×32×5×7,1260的约数的结构形成可表示为2a·3b·5c·7d，其中a＝0、1、2；b＝0、1、2；c＝0、1；d＝0、1，根据乘法原理有N＝3×3×2×2＝36(个)．[点评] 1260正约数的结构形式为2a·3b·5c·7d，故完成找1260的一个正约数这件事情，只有当含有2、3、5、7各几个都完成后，这个约数才算确定下来，如含1个2,2个3，不知5和7的情形．此约数就尚未确定．而含1个2,2个3,0个5,0个7，此时约数为21×32×50×70＝18.写出3 570的所有正偶数因数．[解析] 3 570＝2×3×5×7×17所有的正偶数因数为2；2×3,2×5,2×7,2×17；2×3×5,2×3×7,2×3×17；2×5×7,2×5×17；2×7×17；2×3×5×7,2×3×5×17；2×3×7×17；2×5×7×17；2×3×5×7×17.共16个正偶数因数．一、选择题1．一个礼堂有4个门，若从一个门进，从任一门出，共有不同走法( )A．8种 B．12种 C．16种 D．24种[答案] C[解析] 由分步乘法计数原理得共有不同走法种数为4×4＝16，故选C.2．在2、3、5、7、11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为( )A．20 B．10 C．5 D．24[答案] B[解析] 假分数的分子不小于分母．故以2为分母的有4个；以3为分母的有3个；以5为分母的有2个；以7为分母的只有1个．由加法原理知共有4＋3＋2＋1＝10个．3．有5列火车停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )A．78种 B．72种 C．120种 D．96种[答案] A[解析] 不考虑不能停靠的车道，5辆车共有5×4×3×2×1＝120(种)停法，A停在3道上的停法有4×3×2×1＝24(种)；B停在1道上的停法有4×3×2×1＝24(种)；A、B分别停在3道和1道的停法有3×2×1＝6(种)，故符合题意的停法有120－24－24＋6＝78(种)．二、填空题4．乒乓球队有男运动员7人，女运动员6人，从中选一人担任队长有________种方案；派出两人参加男、女混合双打比赛有________种选派方案．[答案] 13 425．在一块并排10垄的田地上，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有________种(结果用数字作答)．[答案] 6[解析] A种第1垄，B可种8、9、10垄有3种方法，A种第2垄，B可种9、10垄有2种方法，A种第3垄，B只能种第10垄，∴共有选垄方法3＋2＋1＝6种．[点评] 本题求的是“选垄方法”，而不是“种植方法”，若求不同种植方法，则A种第1垄，B种第8垄与A种第8垄，B种第1垄为不同方法，应有不同种植方法2×6＝12种．三、解答题6．现有高三四个班的学生共34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？[解析] (1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四班的学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种)．(3)分六类：每类又分两步，从一、二班的学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班的学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班的学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班的学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班的学生中各选1人，有8×10种不同的选法：从三、四班的学生中各选1人，有9×10种不同的选法；所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
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