高中数学人教版新课标A选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计.教案及反思

计数原理

1.掌握分类计数原理，分布计数原理的概念.

2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别.

3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题.

1.分类计数原理与分步计数原理

(1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有___________________种不同的方法

注意：分类计数原理又称为加法原理；

弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容；

解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成；

每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重).

(2)分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有____________________种不同的方法.

注意：分步计数原理又称为乘法原理；

弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤；

解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性；

每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代.

2.分类计数原理和分步计数原理的区别

辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是__________的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是___________的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事。

类型一 分类计数原理

例1：王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？

练习1：用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,不同的支付方法有(　　)种

A.3 B.5 C.9 D.12

练习2：把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有（　　）

A.4种 B.5种 C.6种 D.7种

类型二 分步计数原理

例2：要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？

练习1：有四名同学同时参加了学校的100 m, 800 m, 1 500 m三项跑步比赛,则获得冠军(无并列名次)的可能性有(　　)

A.43种 B.34种 C.12种 D. 24种

练习2：将5封信投入3个邮筒中,不同的投法有(　　)种

A.53 B.35 C.15  D.5

类型三 分类计数原理与分步计数原理的区别

例3：设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，问：

(1)从中取一幅画布直房间，有多少种不同的选法？

(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有多少种不同的选法？

练习1：已知集合若从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系的第一、第二象限不同点的个数为(　　)

A.18 B.16 C.14 D.10

类型四 两个原理的综合应用

例4：有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同英的书，共有________种不同的取法.

练习1：有不同的中文书9本,不同的英文书6本,不同的法文书5本,从其中取出不是同一国文字的书2本,则不同的取法有(　　)种.

A.40 B.56 C.124 D.129

1.从A地到B地每天有直达班车4班，从A地到C地，每天有5个班车，从C地到B地，每天有3个班车，则从A地到B地，每天共有(　　)种不同乘车方法.

A.12 B.60 C.19 D.17

2.将6个苹果投入4个袋子里，不同的投法共有(　　)

A.64种 B.46种 C.4种 D.24种

３.从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是(　　)

A.100个 B.90个 C.81个 D.72个

４.书架上原来并排放者5本不同的书，现在要插入3本不同的书，那么不同的插法有(　　)

A.336种 B.120种 C.24种 D.18种

５.某校会议室有四个进入门，若从一个门进，另一个门出，不同的走法有________种.

６.由三个数码组成的号码锁，每个号码可取0，1，2……９中任意一个数字，不同的开锁号码设计共有________个.

基础巩固

1.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有　　)

A.4种 B.5种 C.6种 D.7种

2.一个包内有7本不同的故事书,另一个包内有5本不同的教科书,从两个包内任取一本的取法有(　　)

A.7种 B.5种 C.12种 D.35种

3.从甲地到乙地每天有火车10班,汽车15班,飞机3班,轮船2班,一天内乘不同班次的运输工具由甲地到乙地,不同的走法有(　　)

A.10种 B.20种 C.30种 D.40种

4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法数为(　　)

A.42 B.30 C.20 D.12

5.4名学生报名参加地理探宝、人与自然、航模课外兴趣小组,每人选报一种,则不同报名种数有(　　)

A.34 B.43 C.12 D.4

6.已知集合若从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系的第一、第二象限不同点的个数为(　　)

A.18 B.16 C.14 D.10

7.有不同的中文书9本,不同的英文书6本,不同的法文书5本,从其中取出不是同一国文字的书2本,则不同的取法有　　)种.

A.40 B.56 C.124 D.129

8.用1,2,…,9九个数字,可组成的四位数共有______个,可组成的七位数共有______个.

能力提升

1.(2014·全国大纲卷)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)

A．60种 B．70种 C．75种 D．150种

2.（2014·全国大纲）卷航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有(　　)

A．12种 B．16种 C．24种 D．36种

3.满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)

A．14 B．13 C．12 D．9

4.（2014·福建卷）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)

A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5 

B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5

C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5) 

D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)

5.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(　　)

A．9 B．14 C．15 D．21

6.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要(　　)

A．3360元 B．6720元 C．4320元 D．8640元

7.集合A、B的并集AB ={a，b，c}，当A≠B时(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A、B)对的个数有多少？

8.已知在区间(400,800]上,问:(1)有多少个能被5整除且数字允许重复的整数?(2)有多少个能被5整除且数字不重复的整数？