数学选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计.教课内容ppt课件
展开1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用
1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会利用两个基本原理分析和解决一些简单的实际问题.
2013年3月3日政协十一届三次会议在北京举行,某政协委员3月2日要从泉城济南前往北京参加会议.他有两类快捷途径:一是乘坐飞机,二是乘坐动车组.假如这天飞机有3个航班可乘,动车组有4个班次可乘.
[问题] 此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径?[提示] 3+4=7.此委员这一天从济南到北京共有7种快捷途径.
1.完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=___________种不同的方法.2.如果完成一件事情有n类不同方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,…在第n类方法中有mn种不同的方法,则完成这件事情共有N= _________________ 种不同的方法.
1.完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法,那么完成这件事情共有N=__________种不同的方法.2.如果完成一件事情需要n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,…做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事情共有N= _________________种不同方法.
关于分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系
1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为( )A.7B.12C.64D.81解析: 要完成长裤与上衣配成一套,分两步:第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同选法;第2步,选长裤,从3条长裤中任选一条,有3种不同选法.故共有4×3=12种不同的配法.答案: B
2.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )A.18个B.17个C.16个D.10
解析: 分两类:第1类,M中的元素作横坐标,N中的元素作纵坐标,则有3×3=9个在第一、二象限内的点;第2类,N中的元素作横坐标,M中的元素作纵坐标,则有4×2=8个在第一、二象限内的点.由分类加法计数原理,共有9+8=17个点在第一、二象限内.答案: B
3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有________.解析: 第1步取b的数,有6种方法;第2步取a的数,也有6种方法.根据分步乘法计数原理,共有6×6=36种方法.答案: 36
4.有不同的红球8个,不同的白球7个.(1)从中任意取出一个球,有多少种不同的取法?(2)从中任意取出两个不同颜色的球,有多少种不同的取法?解析: (1)由分类加法计数原理得,从中任取一个球共有8+7=15种取法.(2)由分步乘法计数原理得,从中任取两个不同颜色的球共有8×7=56种取法.
新华中学高一有优秀班干部5人,高二有优秀班干部7人,高三有优秀班干部8人,现在学校组织他们去参加旅游活动,需要推选一人为总负责人,有多少种不同的选法?
方法一(定义法):由于要从三个年级的优秀班干部中选出一人,故可分为三类:第一类从高一的5名优秀班干部中选取一人,有5种选法;第二类从高二的7名优秀班干部中选取一人,有7种选法;第三类从高三的8名优秀班干部中选取一人,有8种选法.又根据分类加法计数原理知,共有5+7+8=20种不同的选法.
方法二(枚举法):因为只取一人,这样设三个年级的优秀班干部分别为A1,A2,A3,A4,A5;B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7;C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,从以上20种情况中选一人有20种选法.方法三(表格法):因为推选1人,从三个年级中选取,列表如下:所以共有5+7+8=20种选法.
[规律方法] 利用分类加法计数原理解题的步骤和原则
1.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?解析: 根据题意,将十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知:符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个.
从{-3,-2,-1,0,1,2,3}中,任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2+bx+c的系数,如果抛物线经过原点,且顶点在第一象限,则这样的抛物线共有多少条?
[规律方法] 利用分步乘法计数原理的步骤:
2.要安排一份5天的值班表,每天有一个人值班,共有5个人,每个人值多天或不值班,但相邻两天不准由同一个人值班,此值班表共有多少种不同的排法?解析: 先排第一天,可排5人中任一人,有5种排法;再排第二天,此时不能排第一天已排的人,有4种排法;再排第三天,此时不能排第二天已排的人,有4种排法;同理,第四、五天各有4种排法.由分步乘法计数原理可得值班表不同的排法共有:N=5×4×4×4×4=1 280种.
◎用0到6这7个数字,可以能组成多少个没有重复数字的四位偶数?【错解一】 分4步进行:第1步,排个位,在0,2,4,6中选一个有4种方法;第2步,排十位,有6种方法;第3步,排百位有5种方法;第4步,排千位有4种方法,共有方法种数4×6×5×4=480.
【错解二】 考虑到首位不能排数字0,分4步进行:第1步,排千位,在1,2,3,4,5,6中选1个,有6种方法;第2步,排个位,在0,2,4,6中选1个,有4种方法;第3步,排十位,在余下的5个数字中选1个,有5种方法;第4步,排百位,在余下的4个数字中选1个,有4种方法;共有6×4×5×4=480种方法.
[提示] 错解一忽视数字0不能在首位的约束,按此排法有可能为“0134”这种不符合要求的情况.错解二忽视了题目“无重复数字的四位数”的约束,按此排法有可能为“2032”,不符合条件.若先排首位,应考虑排的是1,3,5还是2,4,6,因它直接关系到第2步排个位的选取;若先排个位,应考虑是否排0,因为它关系到首位的选排.
【正解】 分两类:第1类,首位取奇数数字(可取1,3,5中任一个),则末位数字可取0,2,4,6中任一个,而百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位则不能取与这三个数字重复的数字,故共有3×4×5×4=240种取法.第2类,首位取2,4,6中某个偶数数字,如2时,则末位只能取0,4,6中任一个,百位又不能取与上述重复的数字,十位不能取与这三个数字重复的数字,故共有3×3×5×4=180种取法.故共有240+180=420个无重复数字的四位偶数.
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