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人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明授课课件ppt
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这是一份人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明授课课件ppt，共46页。PPT课件主要包含了充分条件，明显成立等内容，欢迎下载使用。
主题：分析法【自主认知】证明不等式： 成立，可用下面的方法进行.证明：要证明 由于 只需证明 展开得 只需证明6<7，显然6<7成立.所以 成立.
据上面的内容，回答下列问题(1)本题证明从哪里开始？提示：从结论开始.(2)证题思路是什么？提示：寻求每一步成立的充分条件.
➡根据以上探究过程，试着写出分析法的定义及流程.1.分析法的定义一般地，从要证明的_____出发，逐步寻求使它成立的_________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个_________的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法.又叫逆推证法或执果索因法.
2.分析法的流程其中Q表示要证明的结论，P1，P2，P3，…，P分别表示使Q，P1，P2，…，Pn成立的_____条件，P表示最后寻求到的一个明显成立的条件.
【合作探究】1.分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：分析法的推理过程是演绎推理，因为分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的结论都是正确的，不同于合情推理中的猜想.
2.分析法的证题思路是什么？提示：分析法的基本思路是“执果索因”.由求证走向已知，即从数学题的待证结论或需要求证的问题出发，一步一步探索下去，最后寻找到使结论成立的一个明显成立的条件，或者是可以证明的条件.3.分析法证题的模式一般是什么？提示：“要证……”“只需证……”“即证……”的语言模式.
【拓展延伸】综合法与分析法证明格式的区别(1)综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件.它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立.(2)分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件，它的证明格式：要证×××，只需证明×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立.
【过关小练】1.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a+b+c=0，求证 则证明的依据应是( )A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0
【解析】选C. ⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.
2.证明不等式 (a≥2)成立所用的最适合的方法是 .【解析】由于此式两边都有根号，由其特点可用分析法证明此不等式.答案：分析法
【归纳总结】1.对分析法的两点说明(1)思维方法：分析法是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至找到已知事实的方法.(2)分析法的形式：“结论→需知1→需知2→…→已知”.
2.分析法与综合法的区别与联系
类型一：分析法证明不等式【典例1】设a，b为实数，求证： 【解题指南】讨论 成立的条件，分a+b≥0和a+b<0两种情况.
【证明】若a+b<0， 显然成立.若a+b≥0，要证 成立，只需证a2+b2≥ (a+b)2成立，即证a2+b2≥ (a2+2ab+b2)成立，即证 (a2-2ab+b2)≥0，即 (a-b)2≥0成立，
因为 (a-b)2≥0成立，且以上每步都可逆.所以a+b≥0时， 成立，综上可知：a，b为实数时， 成立.
【延伸探究】若本例改为“已知a>0，b>0，求证 ”，如何证明？【证明】要证 只需证 即证(a-b)( )≥0，因为a>0，b>0，所以a-b与 符号相同，不等式(a-b)( )≥0成立，所以原不等式成立.
【规律总结】分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法.而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法.
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语.
【巩固训练】当a≥2时，求证 【证明】要证 只需证 只需证 只需证 只需证
只需证(a+1)(a-2)0，只需a>0，b>0，a-b>0，即a，b要满足的条件为a>b>0.
类型二：分析法证明其他问题【典例2】求证：以过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦为直径的圆必与直线x= 相切.【解题指南】
【证明】如图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′，要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|= |AB|.由抛物线的定义有|AA′|=|AF|，|BB′|=|BF|，
所以|AB|=|AA′|+|BB′|，因此只需证|MM′|= (|AA′|+|BB′|).根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2=2px焦点的弦为直径的圆必与直线x= 相切.
【规律总结】分析法证明问题的两个关键点(1)利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误.(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.
【巩固训练】如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：AF⊥SC.
【证明】要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC).只需证AE⊥平面SBC，只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC)，由SA⊥平面ABC可知，BC⊥SA成立.所以AF⊥SC.
【补偿训练】若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证： 为偶函数.【证明】记F(x)= 欲证F(x)为偶函数，只需证F(-x)=F(x)，即证 由已知，函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称，而函数f(x)与f(-x)的图象也是关于y轴对称的，
所以f(-x)=f(x+1).于是有 所以 为偶函数.
类型三：综合法与分析法的综合应用【典例3】已知a，b，c表示△ABC的三边长，m>0，求证： 【解题指南】根据在△ABC中任意两边之和大于第三边，再利用分析法与综合法结合证明不等式成立.
【证明】要证明 只需证明 即可，所以 因为a>0，b>0，c>0，m>0，所以(a+m)(b+m)(c+m)>0.
因为a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)=abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-bcm-acm-cm2=2abm+am2+abc+bm2-cm2=2abm+abc+(a+b-c)m2.因为△ABC中任意两边之和大于第三边，
所以a+b-c>0，所以(a+b-c)m2>0，所以2abm+abc+(a+b-c)m2>0，所以
【延伸探究】1.(变换条件)本例增加条件“三个内角A，B，C成等差数列”求证： 【证明】要证 即证 即证 即证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，即证c2+a2=ac+b2.
因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B=60°.由余弦定理，有b2=c2+a2-2cacs60°，即b2=c2+a2-ac.所以c2+a2=ac+b2成立，即命题得证.
2.(改变问法)证明： 【证明】要证 只需证a+b+(a+b)c>(1+a+b)c.即证a+b>c.而a+b>c.显然成立.所以
【规律总结】综合法、分析法的应用(1)综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路.(2)在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.
(3)在实际解决问题中，先分析由条件能产生什么结论，再分析要产生需要的结论需要什么条件，逐步探求两者之间的联系，寻找解答突破口，确定解题步骤，然后用综合法写出解题的过程.
【巩固训练】设a，b，c均为大于1的正数，且ab=10.求证：lgac+lgbc≥4lg c.【证明】由于a>1，b>1，故要证明lgac+lgbc≥4lg c，只要证明 ≥4lg c，又c>1，故lg c>0，所以只需证明 ≥4，即 ≥4，
因为ab=10，故lg a+lg b=1.只需证明 ≥4，(*)由于a>1，b>1，故lg a>0，lg b>0，所以0
因为a，b是相异的正数，所以ab>0，(a-b)2>0，所以-8ab(a-b)2<0.所以该一元二次方程没有实数根.
主题：分析法【自主认知】证明不等式： 成立，可用下面的方法进行.证明：要证明 由于 只需证明 展开得 只需证明6<7，显然6<7成立.所以 成立.
据上面的内容，回答下列问题(1)本题证明从哪里开始？提示：从结论开始.(2)证题思路是什么？提示：寻求每一步成立的充分条件.
➡根据以上探究过程，试着写出分析法的定义及流程.1.分析法的定义一般地，从要证明的_____出发，逐步寻求使它成立的_________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个_________的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法.又叫逆推证法或执果索因法.
2.分析法的流程其中Q表示要证明的结论，P1，P2，P3，…，P分别表示使Q，P1，P2，…，Pn成立的_____条件，P表示最后寻求到的一个明显成立的条件.
【合作探究】1.分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：分析法的推理过程是演绎推理，因为分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的结论都是正确的，不同于合情推理中的猜想.
2.分析法的证题思路是什么？提示：分析法的基本思路是“执果索因”.由求证走向已知，即从数学题的待证结论或需要求证的问题出发，一步一步探索下去，最后寻找到使结论成立的一个明显成立的条件，或者是可以证明的条件.3.分析法证题的模式一般是什么？提示：“要证……”“只需证……”“即证……”的语言模式.
【拓展延伸】综合法与分析法证明格式的区别(1)综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件.它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立.(2)分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件，它的证明格式：要证×××，只需证明×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立.
【过关小练】1.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a+b+c=0，求证 则证明的依据应是( )A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0
【解析】选C. ⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.
2.证明不等式 (a≥2)成立所用的最适合的方法是 .【解析】由于此式两边都有根号，由其特点可用分析法证明此不等式.答案：分析法
【归纳总结】1.对分析法的两点说明(1)思维方法：分析法是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至找到已知事实的方法.(2)分析法的形式：“结论→需知1→需知2→…→已知”.
2.分析法与综合法的区别与联系
类型一：分析法证明不等式【典例1】设a，b为实数，求证： 【解题指南】讨论 成立的条件，分a+b≥0和a+b<0两种情况.
【证明】若a+b<0， 显然成立.若a+b≥0，要证 成立，只需证a2+b2≥ (a+b)2成立，即证a2+b2≥ (a2+2ab+b2)成立，即证 (a2-2ab+b2)≥0，即 (a-b)2≥0成立，
因为 (a-b)2≥0成立，且以上每步都可逆.所以a+b≥0时， 成立，综上可知：a，b为实数时， 成立.
【延伸探究】若本例改为“已知a>0，b>0，求证 ”，如何证明？【证明】要证 只需证 即证(a-b)( )≥0，因为a>0，b>0，所以a-b与 符号相同，不等式(a-b)( )≥0成立，所以原不等式成立.
【规律总结】分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法.而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法.
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语.
【巩固训练】当a≥2时，求证 【证明】要证 只需证 只需证 只需证 只需证
只需证(a+1)(a-2)
类型二：分析法证明其他问题【典例2】求证：以过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦为直径的圆必与直线x= 相切.【解题指南】
【证明】如图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′，要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|= |AB|.由抛物线的定义有|AA′|=|AF|，|BB′|=|BF|，
所以|AB|=|AA′|+|BB′|，因此只需证|MM′|= (|AA′|+|BB′|).根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2=2px焦点的弦为直径的圆必与直线x= 相切.
【规律总结】分析法证明问题的两个关键点(1)利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误.(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.
【巩固训练】如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：AF⊥SC.
【证明】要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC).只需证AE⊥平面SBC，只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC)，由SA⊥平面ABC可知，BC⊥SA成立.所以AF⊥SC.
【补偿训练】若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证： 为偶函数.【证明】记F(x)= 欲证F(x)为偶函数，只需证F(-x)=F(x)，即证 由已知，函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称，而函数f(x)与f(-x)的图象也是关于y轴对称的，
所以f(-x)=f(x+1).于是有 所以 为偶函数.
类型三：综合法与分析法的综合应用【典例3】已知a，b，c表示△ABC的三边长，m>0，求证： 【解题指南】根据在△ABC中任意两边之和大于第三边，再利用分析法与综合法结合证明不等式成立.
【证明】要证明 只需证明 即可，所以 因为a>0，b>0，c>0，m>0，所以(a+m)(b+m)(c+m)>0.
因为a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)=abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-bcm-acm-cm2=2abm+am2+abc+bm2-cm2=2abm+abc+(a+b-c)m2.因为△ABC中任意两边之和大于第三边，
所以a+b-c>0，所以(a+b-c)m2>0，所以2abm+abc+(a+b-c)m2>0，所以
【延伸探究】1.(变换条件)本例增加条件“三个内角A，B，C成等差数列”求证： 【证明】要证 即证 即证 即证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，即证c2+a2=ac+b2.
因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B=60°.由余弦定理，有b2=c2+a2-2cacs60°，即b2=c2+a2-ac.所以c2+a2=ac+b2成立，即命题得证.
2.(改变问法)证明： 【证明】要证 只需证a+b+(a+b)c>(1+a+b)c.即证a+b>c.而a+b>c.显然成立.所以
【规律总结】综合法、分析法的应用(1)综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路.(2)在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.
(3)在实际解决问题中，先分析由条件能产生什么结论，再分析要产生需要的结论需要什么条件，逐步探求两者之间的联系，寻找解答突破口，确定解题步骤，然后用综合法写出解题的过程.
【巩固训练】设a，b，c均为大于1的正数，且ab=10.求证：lgac+lgbc≥4lg c.【证明】由于a>1，b>1，故要证明lgac+lgbc≥4lg c，只要证明 ≥4lg c，又c>1，故lg c>0，所以只需证明 ≥4，即 ≥4，
因为ab=10，故lg a+lg b=1.只需证明 ≥4，(*)由于a>1，b>1，故lg a>0，lg b>0，所以0
因为a，b是相异的正数，所以ab>0，(a-b)2>0，所以-8ab(a-b)2<0.所以该一元二次方程没有实数根.
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