初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试精品课后测评

小专题(十三)　活用乘法公式计算求值

类型1　直接运用乘法公式计算求值

1．计算：

(1)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)；

解：原式＝[(x＋2y)(x－2y)](x2－4y2)

＝(x2－4y2)(x2－4y2)

＝x4－8x2y2＋16y4.

(2)(a＋b－3)(a－b＋3)；

解：原式＝[a＋(b－3)][a－(b－3)]

＝a2－(b－3)2

＝a2－(b2－6b＋9)

＝a2－b2＋6b－9.

(3)(x2＋x－3)(x2－x－3)；

解：原式＝(x2－3＋x)(x2－3－x)

＝(x2－3)2－x2

＝x4－6x2＋9－x2

＝x4－7x2＋9.

(4)(3x－2y)2(3x＋2y)2.

解：原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2

＝(9x2－4y2)2

＝81x4－72x2y2＋16y4.

2．先化简，再求值：

(1)(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，其中a＝－3；

解：原式＝1－a2＋a2－4a＋4＝－4a＋5.

当a＝－3时，原式＝12＋5＝17.

(2)(河池中考)(3＋x)(3－x)＋(x＋1)2，其中x＝2；

解：原式＝9－x2＋x2＋2x＋1

＝2x＋10.

当x＝2时，原式＝2×2＋10＝14.

(3)(x＋2y)2－(x－2y)2－(x＋2y)(x－2y)－4y2，其中x＝－2，y＝.

解：原式＝(x2＋4xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)－(x2－4y2)－4y2

  ＝x2＋4xy＋4y2－x2＋4xy－4y2－x2＋4y2－4y2

  ＝－x2＋8xy.

当x＝－2，y＝时，

原式＝－(－2)2＋8×(－2)×

＝－12.

类型2　运用乘法公式进行简便计算

3．用简便方法计算：

(1)2002－400×199＋1992；

解：原式＝2002－2×200×199＋1992

＝(200－199)2

＝1.

(2)999×1 001；

解：原式＝(1 000－1)×(1 000＋1)

＝1 0002－12

＝999 999.

(3)40×39；

解：原式＝(40＋)(40－)

＝402－()2

＝1 600－

＝1 599.

(4)1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－1；

解：原式＝(1002－992)＋(982－972)＋(962－952)＋…＋(22－1)

＝(100＋99)＋(98＋97)＋(96＋95)＋…＋(2＋1)

＝(100＋1)＋(99＋2)＋(98＋3)＋(97＋4)＋…＋(51＋50)

＝50×(100＋1)

＝5 050.

(5)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1.

解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1

  ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)＋1

  ＝(24－1)(24＋1)＋1

  ＝28－1＋1

  ＝256.

类型3　乘法公式的技巧

4．已知a，b都是正数，a－b＝1，ab＝2，则a＋b＝(B)

A．－3　　　B．3　　　C．±3　　　D．9

5．若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n＝2．

6．若x＋y＝3，xy＝1，则x2＋y2＝7．

7．已知a2＋b2＝13，(a－b)2＝1，则(a＋b)2＝25．

8．计算：

(1)(a＋b＋c)2；

解：原式＝(a＋b)2＋c2＋2(a＋b)c

＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.

(2)(a＋b)3；

解：原式＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.

(3)(a－b)3；

解：原式＝a3－3a2b＋3ab2－b3.

(4)(a＋b)(a2－ab＋b2)；

解：原式＝a3＋b3.

(5)(a－b)(a2＋ab＋b2)；

解：原式＝a3－b3.

(6)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．

解：原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]

＝(x－y)2－(m－n)2

＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.

9．已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝16，求xy的值．

解：∵(x＋y)2－(x－y)2＝4xy＝25－16＝9，

∴xy＝.

10．已知(m－53)(m－47)＝24，求(m－53)2＋(m－47)2的值．

解：(m－53)2＋(m－47)2

＝[(m－53)－(m－47)]2＋2(m－53)(m－47)

＝(－6)2＋48

＝84.

11．如果a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．

解：由两等式，得a＋b＝－c，a2＋b2＝1－c2.

∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，

∴ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]

＝[(－c)2－(1－c2)]

＝c2－.

原式＝ab＋c(a＋b)＝(c2－)＋c(－c)＝－.