2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第七章　不等式 7-3 word版含答案

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1．在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________．

答案：8

解析：由sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bsin C，得

sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，

两边同时除以cos Bcos C，得

tan B＋tan C＝2tan Btan C，

令tan B＋tan C＝2tan Btan C＝m，

因为△ABC是锐角三角形，

所以2tan Btan C>2，

则tan Btan C>1，m>2.

又在三角形中有

tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C

＝－·m＝＝m－2＋＋4

≥2＋4＝8，

当且仅当m－2＝，即m＝4时等号成立，

故tan Atan Btan C的最小值为8.

2．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．

答案：160

解析：设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m，因为无盖长方体的容积为4 m3，高为1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m，依题意，得y＝20×4＋10＝80＋20≥80＋20×2＝160，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，

所以该容器的最低总造价为160元．

3．设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．

答案：－2

解析：∵a＋b＝2，

∴＋＝＋

＝＋＝＋＋

≥＋2 ＝＋1.

当且仅当＝且a<0，

即b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．

课外拓展阅读

基本(均值)不等式在压轴题中的应用

关于基本(均值)不等式的高考试题，它可以涉及的知识点很多，尤其是在数列、解析几何中运用时，难度一般较大，需要有较强的分析问题及解决问题的能力．

1．与数列搭配

基本不等式在数列解答题中多出现在第(2)问中，常见的是比较大小或证明不等式，问题的求解需要有较强的运算能力．

　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1＝1，且a1，a2，a7成等比数列．

(1)求数列{an}的前n项和Sn；

(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：2Tn－9bn－1＋18>(n>1)．

　(1)根据等差数列和等比数列的性质易求；(2)中数列{bn}满足bn＝，这是一个等差数列的前n项和与一个关于n的一次函数之比，数列{bn}极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决．

(1)　因为a1，a2，a7成等比数列，

所以a＝a1a7，即(a1＋d)2＝a1(a1＋6d)．

又a1＝1，d≠0，所以d＝4.

所以Sn＝na1＋d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n.

(2)　因为bn＝＝＝2n，

所以{bn}是首项为2，公差为2的等差数列．

所以Tn＝＝n2＋n.

所以2Tn－9bn－1＋18＝2n2＋2n－18(n－1)＋18

＝2n2－16n＋36＝2(n2－8n＋16)＋4

＝2(n－4)2＋4≥4，当且仅当n＝4时等号成立．①

＝

＝＝≤

＝4，当且仅当n＝，即n＝3时等号成立．②

又①②中等号不可能同时取到，

所以2Tn－9bn－1＋18>(n>1)．

温馨提示

本题在求解时注意，两次放缩取等号的条件不一致，最后结果不能取等号．

2．与函数、导数共现

在函数的解答题中出现的基本(均值)不等式一般都与导数有密切的联系，在多数情况下问题的求解需要构造新的函数，通过合理转化，巧妙放缩去完成．求解这类问题一般难度较大，在高考中常以压轴题的形式出现，需要较强的综合能力．

　已知h(x)＝ln(x＋1)－.

(1)当a>0时，若对任意的x≥0，恒有h(x)≥0，求实数a的取值范围；

(2)设x∈N且x>2，试证明：ln x≥＋＋＋…＋.

(1)　h(x)＝ln(x＋1)－，

则h(x)的定义域为(－1，＋∞)，

h′(x)＝－＝.

①当0<a≤1时，对任意的x≥0，h′(x)≥0恒成立，

则h(x)在上单调递减，h(x)在x∈．

(2)　由(1)知，ln(1＋x)≥，

所以ln x＝ln

＝ln 2＋ln ＋ln ＋…＋ln

＝ln(1＋1)＋ln＋ln＋…＋ln

≥＋＋…＋

＝＋＋＋…＋.

所以ln x≥＋＋＋…＋.