2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第十一章　计数原理、概率、随机变量及其分布 11-1 word版含答案

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1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24  B．18  C．12  D．9

答案：B

解析：由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(种)走法，故选B.

2．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)

A．18个  B．16个

C．14个  D．12个

答案：C　

解析：由题意可得，a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．

3．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)

A．24  B．48

C．60  D．72

答案：D

解析：由题意可知，个位可以从1,3,5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA＝3×4×3×2×1＝72，故选D.

4．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)

A．144个   B．120个 

C．96个   D．72个

答案：B

解析：当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有CA个偶数．故符合条件的偶数共有2A＋CA＝120(个)．

课外拓展阅读

应用两个计数原理求解涂色问题

　如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为________．

　染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．

　解法一：可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．

当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1,2,3.

若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；

若C染4，则D可染3或5，有2种染法；

若C染5，则D可染3或4，有2种染法．

可见，当S，A，B已染好时，C，D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．

解法二：以S，A，B，C，D顺序分步染色．

第一步，点S染色，有5种方法；

第二步，点A染色，与S在同一条棱上，有4种方法；

第三步，点B染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；

第四步，点C染色，也有3种方法，但考虑到点D与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类：当A与C同色时，点D有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以点C有2种染色方法，点D也有2种染色方法．

所以不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．

解法三：按所用颜色种数分类．

第一类，5种颜色全用，共有A种不同的方法；

第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A种不同的方法；

第三类，只用3种颜色，则A与C，B与D必定同色，共有A种不同的方法．

由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为

A＋2×A＋A＝420(种)．

　420

方法点睛

两个计数原理综合应用的常见题型与求解策略