2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第十一章　计数原理、概率、随机变量及其分布 11-7 word版含答案

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1．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而

P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；

P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；

P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；

P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；

P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；

P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；

P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.

所以X的分布列为

(2)由(1)知，P(X≤18)＝0.44，P(X≤19) ＝0.68，故n的最小值为19.

(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．

当n＝19时，

E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.

当n＝20时，

E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04 ＝4 080.

可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.

2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0分．

已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；

(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．

解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，

记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，

记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．

由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC.

由事件的独立性与互斥性，得

P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD) ＋P(ABD) ＋P(ABC)

＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()

＝×××＋2××××＋×××＝.

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.

(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.

由事件的独立性与互斥性，得

P(X＝0)＝×××＝，

P(X＝1)＝2××××＋×××＝＝，

P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，

P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，

P(X＝4)＝2××××＋×××＝＝，

P(X＝6)＝×××＝＝.

可得随机变量X的分布列为

所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.

课外拓展阅读

离散型随机变量的分布列答题模板

　已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．

　(1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率P1＝×＝.

(2)由题意，X的可能取值为200,300,400.

则P(X＝200)＝＝；

P(X＝300)＝＋＝；

P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝.

∴X的分布列如下：

　求离散型随机变量分布列及期望的一般步骤：

第一步：找出随机变量X的所有可能取值；

第二步：求出X取每一个值时的概率；

第三步：列出分布列．

方法点睛

(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．

(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．

(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.