2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第十一章　计数原理、概率、随机变量及其分布 11-3 word版含答案

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1．(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)

答案：10

解析：由(2x＋)5，得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－ rCx，令5－＝3，得r＝4，此时系数为10.

2．在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________．(用数字作答)

答案：60

解析：(1 －2x)6的展开式的通项Tr＋1＝C(－2)rxr，

当r＝2时，T3＝C(－2)2x2＝60x2，

所以x2的系数为60.

3．8的展开式中x7的系数为________．(用数字作答)

答案：－56

解析：二项展开式的通项Tr＋1＝C(x2)8－rr＝(－1)rCx16－3r，令16－3r＝7，得r＝3，故x7的系数为－C＝－56.

4．若5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.

答案：－2

解析：5的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r·x＝Ca5－r·x，令10－r ＝5，得r＝2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2.

5．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)

答案：－20

解析：x2y7＝x·(xy7)，其系数为C，

x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C，

∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.

课外拓展阅读

二项展开式中赋值法的应用

　在(2x－3y)10的展开式中，求：

(1)二项式系数的和；

(2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

(4)奇数项系数和与偶数项系数和；

(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．

　求二项式系数的和或各项系数的和的问题，常用赋值法求解．

　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)

各项系数的和即为a0＋a1＋…＋a10，

奇数项系数的和为a0＋a2＋…＋a10，

偶数项的系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，

x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，

x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.

由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．

(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.

(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.

(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.

偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.

(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.①

令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，

得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②

①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，

∴奇数项系数的和为；

①－②，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，

∴偶数项系数的和为.

(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；

x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.

方法点睛

(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(2)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意．例：若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数的和为f(1)，奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＝，令x＝0，可得a0＝f(0)．