2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第十一章　计数原理、概率、随机变量及其分布 11-9 word版含答案

 www.ks5u.com 真题演练集训

1．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．

答案：

解析：由题意知，试验成功的概率p＝，

故X～B，所以E(X)＝2×＝.

2．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．

附：≈12.2.

若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.

解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为

＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，

s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.

②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.

3．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

解：(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10 ＋0.05＝0.55.

(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.10 ＋0.05＝0.15.

 又P(AB) ＝P(B)，

故P(B|A)＝＝＝＝.

因此所求概率为.

(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为

E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.

课外拓展阅读

离散型随机变量的期望问题

离散型随机变量的期望常与茎叶图、频率分布直方图、分层抽样、函数、不等式等知识相结合，这就为设计新颖、内在联系密切、思维方法灵活的考题开辟了广阔的空间．近年高考中有关离散型随机变量的期望的题目多以解答题形式呈现，一题多问，这样既降低了起点，又分散了难点，能较全面地考查必然与或然思想、处理交汇性问题的能力和运算求解能力，难度多为中等，分值在12分左右．现一起走进离散型随机变量的期望，欣赏其常见的交汇方式与解题方法．

一、离散型随机变量的期望与茎叶图的交汇问题

　为备战2017年青年跳水世锦赛，我国跳水健儿积极训练，在最近举行的一次选拔赛中，甲、乙两名运动员为争夺一个参赛名额进行了七轮激烈的比赛，甲、乙两名选手七轮比赛的得分如图所示，已知甲的平均得分比乙的平均得分少1.

(1)求甲得分的众数与乙得分的极差；

(2)若从甲、乙两名运动员不低于80且不高于90的得分中各任选1个，记甲、乙两名运动员得分之差的绝对值为ξ，求ξ的分布列及其期望．

　(1)观察茎叶图中甲的数据，判断出现次数最多的数据，即众数；观察茎叶图中乙的数据，找出最高分与最低分，相减可得乙得分的极差；(2)先求ξ的所有可能取值，然后利用古典概型的概率计算公式，求出ξ取各个值时的概率，列出其分布列，最后利用期望的定义求出期望值．

　(1)由茎叶图可知，甲、乙两名运动员七轮比赛的得分情况如下：

甲：78,80＋m,84,85,84,85,91；

乙：79,84,84,86,87,84,91.

则乙的平均得分为＝×(79＋84＋84＋86＋87＋84＋91)＝85，

所以甲的平均得分为＝85－1＝84，

即×＝84，解得m＝1.

所以甲得分的众数为84,85，乙得分的极差为91－79＝12.

(2)设甲、乙两名运动员的得分分别为x，y，

则ξ＝|x－y|.

由茎叶图可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,5,6.

当ξ＝0时，x＝y＝84，

故P(ξ＝0)＝＝；

当ξ＝1时，x＝85，y＝84或86，

故P(ξ＝1)＝＝；

当ξ＝2时，x＝84，y＝86或x＝85，y＝87，

故P(ξ＝2)＝＋＝；

当ξ＝3时，x＝81，y＝84或x＝84，y＝87，

故P(ξ＝3)＝＋＝；

当ξ＝5时，x＝81，y＝86，

故P(ξ＝5)＝＝；

当ξ＝6时，x＝81，y＝87，

故P(ξ＝6)＝＝.

所以ξ的分布列为

ξ的期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＋6×＝.

突破攻略

本题以实际生活为背景，并融入排列、组合、古典概型的概率、随机变量的分布列与期望等知识进行探求，有很强的现实意义与时代气息．破解离散型随机变量的期望与茎叶图的交汇题的关键：一是看图说话，即看懂茎叶图，并能适时提取相关的数据；二是会求概率，即利用排列、组合知识，以及古典概型的概率公式求随机变量的概率；三是活用定义，利用随机变量的数学期望的定义进行计算．

二、离散型随机变量的期望与函数的交汇问题

　某次假期即将到来，喜爱旅游的小陈准备去厦门游玩，初步打算去鼓浪屿、南普陀寺、白城浴场三个景点，每个景点有可能去的概率都是，且是否游览某个景点互不影响，设ξ表示小陈离开厦门时游览的景点数．

(1)求ξ的分布列、期望及其方差；

(2)记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间　(1)依题设条件可判断ξ服从二项分布，利用二项分布公式即可求出其分布列、期望及方差；(2)先求出二次函数f(x)的图象的对称轴方程，利用f(x)单调性，可求出ξ的取值范围，即可求出事件A的概率．

　(1)依题意，得

ξ的所有可能取值分别为0,1,2,3.

因为ξ～B，

所以P(ξ＝0)＝C×3＝，

P(ξ＝1)＝C×1×2＝，

P(ξ＝2)＝C×2×1＝，

P(ξ＝3)＝C×3＝.

所以ξ的分布列为

所以ξ的期望为E(ξ)＝3×＝1，

ξ的方差为D(ξ)＝3××＝.

(2)因为f(x)＝2＋1－ξ2的图象的对称轴方程为x＝ξ，

又函数f(x)＝x2－3ξx＋1在　某学院为了调查本校学生“阅读相伴”(“阅读相伴”是指课外阅读超过1个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内“阅读相伴”的天数，并将所得的数据分成以下六组：，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中“阅

读相伴”天数超过20的人数；

(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中“阅读相伴”天数超过20的人数，求Y的分布列及数学期望E(Y)．

　(1)观察频率分布直方图，求出“阅读相伴”天数超过20的频率，即可求出其频数；(2)依题设条件可判断Y服从超几何分布，因此可利用超几何分布的概率公式求出Y取各个值时的概率，列出分布列，最后求出E(Y)的值．

　(1)由题图可知，“阅读相伴”天数未超过20的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，

所以“阅读相伴”天数超过20的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.

(2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2.

所以P(Y＝0)＝＝，

P(Y＝1)＝＝，

P(Y＝2)＝＝.

所以Y的分布列为

所以Y的数学期望E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.

突破攻略

本题将传统的频率分布直方图背景赋予新生的数学期望，立意新颖、构思巧妙．求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，对于这些实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从超几何分布H(N，M，n)，则随机变量X的概率可利用概率公式P(X＝m)＝(m＝0，1，…，n，)求得，期望可直接利用公式E(X)＝求得．