2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第十一章　计数原理、概率、随机变量及其分布 11-8 word版含答案

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1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)

A．0.648   B．0.432 

C．0.36   D．0.312

答案：A

解析：3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.

2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)

A．0.8   B．0.75 

C．0.6   D．0.45

答案：A

解析：根据条件概率公式P(B|A)＝，可得所求概率为＝0.8.

课外拓展阅读

误用“二项分布与超几何分布”

二项分布和超几何分布是两类重要的概率分布模型，这两种分布存在着很多的相似之处，在应用时应注意各自的适用条件和情境，以免混用出错．

　某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．现在在总共8小块地中，随机选4小块地种植品种甲，另外4小块地种植品种乙．种植完成后若随机选出4块地，其中种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望．

→→

　X的所有可能取值为0,1,2,3,4，

且P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝.

故X的分布列为

X的数学期望为

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.

易错提示

本题容易错误地得到X服从二项分布，每块地种植甲的概率为，故X～B(4,0.5)．错误的根源在于每块地种植甲或乙不是相互独立的，它们之间是相互制约的，无论怎么种植都要保证8块地中有4块种植甲，4块种植乙，事实上X应服从超几何分布．如果将题目改为：在8块地中，每块地要么种植甲，要么种植乙，那么在选出的4块地中种植甲的数目为X，则这时X～B(4,0.5)(这时这8块地种植的方法总数为28，会出现所有地都种植一种作物的情况，而题目要求4块地种植甲，4块地种植乙，其方法总数为C)．

　某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．

(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；

(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．

　(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ的所有可能取值分别为1,2,3；η的所有可能取值分别为0,1,2,3.

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝.

所以考生甲正确完成题数的概率分布列为

E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.

因为P(η＝0)＝C3＝，

同理，P(η＝1)＝，

P(η＝2)＝，P(η＝3)＝.

所以考生乙完成题数的概率分布列为

E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.

(2)因为P(ξ≥2)＝＋＝0.8，

P(η≥2)＝＋＝，

所以P(ξ≥2)>P(η≥2)．

故从正确完成题数的数学期望分析，两人水平相当；

从至少完成2题的概率分析，甲通过的可能性大．

因此可以判断甲的实验操作能力较强．

易错提示

本题容易错误地得到甲、乙两考生正确完成的题数均服从二项分布，实际上题目中已知甲、乙两考生按照题目要求独立完成全部实验操作，甲考生正确完成的题数服从超几何分布，乙考生正确完成的题数服从二项分布．