2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第十一章　计数原理、概率、随机变量及其分布 11-2 word版含答案

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1．(1)求7C－4C的值；

(2)设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋nC＋(n＋1)C＝(m＋1)C.

(1)解：7C－4C＝7×－4×＝0.

(2)证明：当n＝m时，结论显然成立．当n>m时，

(k＋1)C＝

＝(m＋1)·

＝(m＋1)C，k＝m＋1，m＋2，…，n.

又C＋C＝C，

所以(k＋1)C＝(m＋1)(C－C)，k＝m＋1，m＋2，…，n.

因此，(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C＝(m＋1)C＋

＝(m＋1)C＋(m＋1)＝(m＋1)C.

2．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．

(1)求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.

(2)X的所有可能值为0,1,2，且

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

综上知，X的分布列为

故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

课外拓展阅读

特殊元素(位置)优先安排法解排列组合问题

　3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为(　　)

A．360  B．288  C．216  D．96

　分两步计算：第一步，计算满足3位女生中有且只有两位相邻的排法，将3位女生分成两组，插空到排好的3位男生中；第二步，在第一步的结果中排除甲站两端的排法．

　3位男生排成一排有A种排法，3名女生分成两组．其中2名排好看成一个整体有CA种排法，这两组女生插空到3名男生中有A种插法，于是6位同学排成一排且3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有CAAA＝432(种)．

其中男生甲在排头或排尾时，其余两男生的排法有A种，两组女生插到2名男生中有A种插法．于是男生甲在排头或排尾，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有2AACA＝144(种)．

所以满足条件的排法共有432－144＝288(种)．故选B.

　B

方法点睛

该题涉及两个特殊条件：“男生甲不站两端”与“3位女生中有且只有两位女生相邻”，显然对于“男生甲不站两端”这类问题可利用间接法求解，将其转化为“男生甲站两端”的问题，要优先安排男生甲，然后再安排其他元素；对于“三位女生中有且只有两位女生相邻”中的相邻问题利用捆绑法；而不相邻问题可以利用插空法求解．